构造正方形化归熟悉图形妙解题

2022-04-16苏州工业园区东沙湖实验中学倪明慧

中学数学 2022年18期

关键词：垂线过点四边形

⦿苏州工业园区东沙湖实验中学倪明慧

1 引言

正方形是一种特殊的四边形，遇到问题，若能熟练运用正方形的判定定理，合理构造正方形，活用正方形的性质，往往会收到意想不到的解题效果.

2 构造的方法与途径

2.1 正方形与形外等边三角形

图1

例1四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠ADC=150°，且AB=AD=DC.求∠ABC的度数.

分析：通过构造垂线的方法，在AB的右侧构造边长为AB的正方形，从而把不熟悉的计算问题，转化为正方形背景下的计算问题，找到了方法，明确了知识，确定了思路，解答自然水到渠成.

解：如图1，过点B作BE⊥AB，垂足为B，过点D作DE⊥AD，垂足为D，直线BE，DE交于点E，连接EC.

∵∠BAD=∠ABE=∠ADE=90°，

∴四边形ABED是矩形.

∵AB=AD，

∴四边形ABED是正方形.

∴∠BED=90°，AB=AD=BE=DE.

∵∠ADC=150°，AB=AD=DC，

∴DC=DE，∠EDC=60°，即△DCE是等边三角形.

∴EC=DE=BE，∠DEC=60°，∠BEC=150°.

∴∠EBC=15°.

∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=90°-15°=75°.

点评：运用邻边相等的矩形是正方形构造正方形，这是解题的关键.运用正方形的性质，融合已知，巧用含有60°角的等腰三角形是等边三角形，把问题转化为正方形与形外以正方形边为边的等边三角形问题，化陌生为熟悉，提高解题效率.

2.2 正方形与旋转模型

图2

分析：通过构造垂线的方法，把计算问题背景转化为正方形背景下的旋转计算型问题.用好旋转的性质、正方形的性质，成为解题的关键.

图3

解：如图3，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥DE，与AC的延长线交于点F.

∵∠BAF=∠AED

=∠EDF=90°，

∴四边形AEDF是矩形.

∵AD平分∠BAC，

∴DE=DF，四边形AEDF是正方形.

∴∠AFD=90°，AE=ED=DF=FA.

∵∠BDC=90°=∠EDF,

∴∠BDE=∠CDF.

∴△BDE≌△CDF.

∴BE=CF.

∵AE=FA，

∴AB-BE=AC+CF.

点评：以两个直角为正方形的一组对角，运用构造垂线方法生成四边形，运用邻边相等的矩形是正方形构造正方形，这是解题的关键.构造正方形的同时生成一对旋转90°即可全等的直角三角形模型，利用三角形全等性质、正方形的性质、方程思想，可以使得问题顺利求解.这种构造正方形的方法值得熟练掌握.

2.3 正方形半角模型

图4

分析：通过构造垂线的方法，把计算问题背景转化为正方形背景下的半角模型计算问题.用好半角模型、正方形的性质，成为解题的关键.

图5

解：如图5，延长AB至点G，使AB=BG=2，延长DC至点N，使DC=CN=2，连接GN，延长AE交GN于点H.

∵四边形ABCD是矩形，AG=AD=4，

∴四边形AGND是正方形，四边形BGNC是矩形.

延长NG至点M，使MG=DF.

∵∠ADF=∠AGM=90°，AD=AG，MG=DF,

∴△ADF≌△AGM，AM=AF，

∠GAM=∠DAF.

∵∠EAF=45°，

∴∠DAF+∠GAH=45°.

∴∠GAM+∠GAH=45°，即∠MAH=∠HAF=45°.

∴△AMH≌△AFH.

∴MH=HF=DF+GH.

∴BE是△AGH的中位线，GH=1.

设DF=x，则

HF=x+1，NH=GN-GH=3，

FN=DN-DF=4-x.

图6

点评：通过构造正方形，矩形背景下的问题转化为正方形背景下的半角模型，从而灵活运用三角形的全等、三角形中位线定理、勾股定理将问题步步破解.构造正方形成为解题的关键和基础，熟练掌握正方形的半角模型图是解题的核心和根本.除了常见结论，半角模型还有如下一个新结论，也要熟练掌握.如图6，半角模型的一个新结论BG2+DH2=GH2.感兴趣的读者可以尝试解答.