从问题中“来”，到模型中“去”——关于隐圆模型的解题应用

⦿江苏省常熟市沙家浜中学 曹鸣军

1 引例探究

引例(2021年江苏徐州市中考卷第18题)在△ABC中，若AB=6，∠ACB=45°，则△ABC的面积的最大值为______.

分析：定长AB所对角∠ACB为定角，结合圆周角定理中“同弧或等弧所对的圆周角相等”，可构建圆来体现上述特性，即AB定值→弧AB定长→所对圆周角∠ACB定角，故点C位于过A，B，C三点的圆上.后续利用圆的性质分析最值.

图1

2 模型解读与探究

上述问题突破的关键是求CM的最大值，解析时借助了圆的特殊性质，实则问题中隐含了“定长对定角”隐圆模型.即定长——AB，定角——∠ACB=45°，且二者为相对关系.

2.1 模型解读

若长度固定的线段AB所对的动角∠P为定值，则点P的运动轨迹为过A，B，P三点的圆的一部分，如图2所示.该模型所蕴含的基本原理为弦AB所对同侧的圆周角始终相等.

图2

2.2 解题策略

“定长对定角”隐圆模型在几何中有着广泛的应用，实际解题时，建议分三步突破.

第一步，提取“定长”“定角”，确定隐圆模型；

第二步，基于定长和定角所在三角形作外接圆，通过解三角形确定圆心位置及半径；

第三步，利用圆的性质推导关键线段，完成求解.

2.3 问题再探

2021年广东中考卷第17题的破解过程同样涉及到了“定长对定角”隐圆模型，同样利用三点共线来求线段最值.下面进一步探究隐圆模型.

例1(2021年广东中考卷第17题)在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3.点D是平面上的一个动点，∠ADB=45°，则线段CD长度的最小值为______.

分析：已知AB=2，∠ADB=45°，显然满足“定长+定角”，可构建隐圆⊙O，则点D在⊙O上运动.结合几何性质可确定⊙O的半径，利用圆的性质、三点共线可确定最值情形.

图3

3 拓展探究

隐圆模型可有效用于几何问题求解，如最值问题、取值问题、求线段长问题等.隐圆模型的类型较为众多，除了上述的“定长对定角”模型外，还有常用的“直径对直角”模型、“四点共圆”模型等.下面结合实例进一步探究隐圆模型.

拓展模型一：“直径对直角”模型

“直径对直角”模型，即点C是线段AB外的一点，若∠ACB=90°，则点C位于以AB为直角的圆上；也可逆向推导，若点C位于以AB为直径的圆上，则∠ACB=90°.该模型是基于圆周角定理所构建的.解题时可依据该模型来确定动点轨迹，也可推导夹角大小.

例2(2021年江苏常州市中考卷第18题)如图4所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CBA=30°，AC=1，D是AB上一点(点D与点A不重合).若在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A，D成为直角三角形的三个顶点，则AD长的取值范围是______.

图4

分析：要求Rt△ABC的直角边上存在点与A和D组成直角三角形，则可以借助“直径对直角”模型，以AD为直径画圆，与BC和AC的交点就为其中满足条件的点.后续利用圆的性质即可推导AD的取值范围.

解：以AD为直径作⊙O，与BC的相切于点M，连接OM，则OM⊥BC，此时在Rt△ABC的直角边长存在3个不同的点分别和点A，D组成直角三角形，如图5所示.逐步增大AD长，则⊙O与BC将有两个交点，可出现满足条件的4个点.当AD=AB时，则只有1个满足条件的点.

图5

当点D与点B重合时，即AD=AB=2，即AD的最大极限为2.

评析：上述探究的核心是构建直角三角形，故可引入“直径对直角”隐圆模型来研究线段长问题.同时解析过程涉及到了动态分析，可通过研究极限情形来“化动为静”.

拓展模型二：“四点共圆”模型

“四点共圆”模型，即在同一平面内的四个不同的点在一定条件下可以确定一个圆，利用该模型的性质可以推导角度关系，以及线段长.而构建“四点共圆”模型的策略有多种，可以从线段长入手，也可借助四边形的性质.

例3(2021年浙江嘉兴市中考卷第9题)如图6，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，D在AC上，且AD=2，点E是AB上的动点，连接DE.点F，G分别是BC和DE的中点，连接AG，FG.当AG=FG时，线段DE的长为( ).

图6

分析：E是AB上的动点，在Rt△ADE中，始终有AG=DG=GE，所以当AG=FG时，点A，E，F，D到点G的距离相等，即四点共圆，且点G为圆心.结合圆周角定理可推知△DEF为直角三角形，由勾股定理，可求解.

图7

评析：上述解析过程充分结合中点特性推导线段等长关系，推知四点共圆，构建了隐圆模型，进而提取直角三角形，隐圆模型在解题过程中起到了关键作用.实际上，证明全等三角形可推知△DEF为等腰直角三角形，进而求出直角边DF长也可完成求解.

4 教学反思

上述通过剖析考题解法，提取其中的几何模型，并深入探究了隐圆的几个重要模型，其中隐圆的构建策略及模型特征有着重要的学习价值，下面结合教学实践，进一步反思.

4.1 关注几何圆，总结圆的特性

圆是初中几何较为特殊的图形，其弧状特征区别于其他图形，理解圆的定义，掌握圆的几何性质是探究学习的关键.尤其是垂径定理、圆周角定理、圆心角定理，是后续构建隐圆模型的关键.教学中要引导学生深入总结圆的特性，结合几何知识开展定理证明.同时可对定理进行归纳，深入剖析定理中角度、弦长之间的关系，构建几何联系.

4.2 注重问题引导，体验探究过程

上述隐圆的探究过程，采用了问题引导、知识探究的方式，即从典型中考题入手，引导学生解析问题，然后开展解后反思，总结提炼模型.这种探究方式可以极大地调动学生的思维，让学生参与教学过程，从问题中“来”，回归到问题中“去”，深刻感知模型的应用价值.因此，实际教学应多采用问题引导、过程探究的方式，引导学生反思、归纳，生成相应的解题策略.

4.3 重视构图过程，掌握建模方法

隐圆构建是解题的关键，从上述解析过程可知，隐圆的构建是建立在对应的知识基础上，如原考题结合“同弧或等弧所对的圆周角相等”来构建圆，例2结合“圆上各点到圆心的距离相等”来构建圆.因此构图背后所隐含的是圆的性质定理及作图方法，故教学中要引导学生总结隐圆的构建策略，包括从角度入手、等线段长入手等，帮助学生总结建模方法，提升建模能力.

总之，深入探究典型问题的解析方法，挖掘问题中隐含的模型价值，对于提升解题能力有着极大的帮助.隐圆模型在几何问题中有着广泛的应用，同时隐圆具有多种模型，上述所探究的只是其中较为常用的三种，除此之外还有“定点定长”模型、“定角定高”模型等.教学中要引导学生勤思考、多总结、巧运用，合理渗透模型思想，充分提高学生的数学思维能力.