一道课本不定方程应用题的运用

⦿福建省三明市明溪县城关中学 杨发宁

1 课本原题

(人教版七年级下册第112页)

例1现有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共值7元.1角、5角、1元硬币各取多少枚[1]？

分析：先设三种硬币的数量分别为x，y，z，再利用已知的等量关系列出三元一次方程组并解方程组，然后由整除性质即可确定所求整数解问题的答案.

解法一：设1角、5角、1元的硬币分别取x枚、y枚、z枚，那么

①

②

而x,y,z都为正整数，且z<7，1+9z是4的倍数，则z=3.此时y=7，x=5符合题意.

所以1角取5枚，5角取7枚，1元取3枚.

解法二：设1角、5角、1元的硬币各取x枚、y枚、z枚，根据题意，得

③

④

由x，y，z都为不小于10的整数，可知x=5或10.

当x=5时，y=7，z=3，符合题意.

当x=10时，y=-2，z=7，不符合题意.

所以，1角取5枚、5角取7枚、1元取3枚.

下面主要以近年“中考题”为例作些剖析.

2 在选择题中的应用

例2(2020年黑龙江龙东中考)在一次知识竞赛中，为嘉奖成绩突出的同学，主办方计划用200元采购a，b，c三种文具，其中a种文具的单价为每个10元，b种文具的单价为每个20元，c种文具的单价为每个30元，在所有钱都刚好用完且c种文具不多于两个的情况下，有多少种采购方案( ).

A.8种 B.10种 C.12种 D.14种

分析：根据题目文字得到两个关键信息——购买三种奖品的总金额为200元；c种奖品个数为1或2.根据题目需要设出两个未知数，得出一个二元一次方程，再根据二元一次方程的解都为整数及a，b，c的实际意义确定二元一次方程的解.

解：设购买a种奖品m个，b种奖品n个.

当c种奖品个数为1时，根据题意得10m+20n+30=200，即m+2n=17.

因为m，n都是正整数，则0<2n<17，所以n=1，2，3，4，5，6，7，8.

当c种奖品个数为2时，根据题意得10m+20n+60=200，即m+2n=14.

因为m，n都是正整数，则0<2n<14，所以n=1，2，3，4，5，6.

综上所述，共有8+6=14种购买方案.故选：D.

点评：解题的第一步应该了解题目的含义，找出题目的关键信息；再根据题意设未知数列出方程或方程组；最后根据实际意义，由方程的解为自然数，得出符合题意的解.

3 在填空题中的应用

例3(2020年黄石中考改编)数学课上何老师讲到我国古代的数学成就——《九章算术》，书中有这样一个数学问题：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”翻译成现代文：“今知道5头牛和2只羊，加起来一共价值19两银子；2头牛和5只羊，加起来一共价值16两银子问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”．如果某商人准备用19两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊，且银两须全部用完)，那么商人的购买方法共有种，列出所有的可能购买方案．

分析：先根据题意求出每头牛、每只羊值的银子数；再根据“19两银子购买牛、羊”列一个二元一次方程，求出这个二元一次方程的整数解即可.

解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子.

所以每头牛值3两银子，每只羊值2两银子．

设19两银子购买a头牛，b只羊.

因为a，b都是正整数，所以a=5或3或1.即当a=5时，b=2；当a=3时，b=5；当a=1时，b=8.

所以，商人共有三种购买方法.购买5头牛，2只羊；购买3头牛，5只羊；购买1头牛，8只羊．

点评：本题主要考查了运用二元一次方程(组)解决实际问题的能力.首先根据题意列出二元一次方程组并解之，求出牛与羊的单价；再根据题意列出一个二元一次方程即不定方程，根据实际意义与整除的性质，求出不定方程的正整数解.

4 在解答题中的应用

例4(2021年杭州模考)现有120 t口罩要运输到上海抗疫救灾，可供选择的车型有甲、乙、丙三种，三种车的具体信息如表1所示：

表1 每辆车的运载能力和运费信息

(1)为提高运送效率，可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，每辆车均满载，已知它们的总辆数为16，你能使用方程组求出所有可能的运送方案吗?

(2)哪种方案的运费最少?最少是多少元?

分析：(1)设甲型车有x辆，乙型车有y辆，丙型车有z辆，列出方程组，再根据x，y，z均为非负整数，从而得出答案.

(2)根据(1)中方案得出运费，进行比较即可.

所以有三种运送方案：甲型车8辆，丙型车8辆；甲型车6辆，乙型车5辆，丙型车5辆；甲型车4辆，乙型车10辆，丙型车2辆.

(2)三种方案的运费分别为

400×8+600×8=8 000(元)；

400×6+500×5+600×5=7 900(元)；

400×4+500×10+600×2=7 800(元).

因为8000>7900>7800，所以调用甲型车4辆，乙型车10辆，丙型车2辆时运费最少，且最少是7 800元.

点评：本题涉及三个未知数，但只有两个等量关系，只能列出两个三元一次方程，可先消元，将两个三元一次方程转化为一个二元一次方程，再用含一个未知数的式子表示另一个未知数，利用整体思想和筛选法讨论未知数的实际意义解决问题.

从上面的例子可以看出：通过一道课本简单习题的解决，引出多道较难的中考题，我们感到课本习题大有可为.正如美国著名数学教育家G.波利亚所说：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾.”从简单的题目中提炼解题方法，反思题目中的数学思想、解题策略，并变式研究是解题教学必不可少的环节.我们要以课本习题为蓝本，分析题目的特征，认真研究解法，精选同类问题的变式进行适当训练，归纳同类问题的通法.特别是近年来的一些中考题，因为中考题有一定的导向性和启发性，反映中考命题方向和命题规律.通过“做”题的过程，对“列方程解应用题”进行系统复习，让学生经历独立探究、思考、理性推理、深刻反思等数学活动过程，形成感性认识与理性思维的提升，培养学生语言文字与数学符号的转化意识，构建方程模型解决实际问题的模式，完成知识构建，提升数学能力，发展学生数学素养核心素养，获得适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力.