网格与圆作图新题

⦿天津南开日新学校 耳 洁 张树义

在近几年的各地考试中有一种与网格和圆有关的作图题，这类题综合性强，层次高，能很好考查学生综合运用数学知识解决问题的能力.这类题常以压轴题出现，由于题型新，因此可参考的题目并不多.笔者新编了一些网格与圆相结合的作图题，给出题目的分析、解答和涉及的知识点，供大家教学时参考，不妥之处，恳请大家指正.

1 网格面积问题

“网格面积”类作图问题可涉及：作一个图形，其面积等于已知数值;作面积最大、最小的图形;把一个图形分成有一定要求的两部分；等等.

图1

分析：不难算出△ABC的面积为5，可知△ABP的面积是△ABC面积的一半，则考虑作△ABC的中位线与圆交于点P.

解：如图2，取格点D，E，连接DE交网格线于点F.取格点G，连接FG交AC于点H.设BC与网格线交于点M，作射线HM与圆交于点P，连接AP，BP，则点P即为所求.

图2

涉及知识点： ①三角形中位线性质; ②平行线间的距离 ; ③网格作图基本动作——比例分线段.

图3

解：如图4，取格点C，D，连接CD交AB于点E.取格点F，G，H，N，连接FG，HN，两线段相交于点M.连接EM与圆交于点P，连接AP，BP，则点P即为所求.

图4

涉及知识点：①垂径定理的推理; ②网格作图基本动作——比例分线段; ③网格作图基本动作——画已知线段的垂线.

2 网格角度问题

“网格角度”类作图问题可涉及：作一个角等于适当角度;平分已知角;作一个角等于一个角的几倍;平分弧；弧的倍分；等等.

图5

分析：如图6，延长线段AB至格点E，延长线段BA至格点F，则∠FAC=45°，故∠CAB=135°.所以作∠EAM=∠MAN=∠NAC=45°即可.

图6

解：如图6，取格点G，连接AG并延长交圆弧于点M.取格点H，连接AH并延长交圆弧于点N.点M，N即为所求.

涉及知识点： ①圆周角定理的推论;②等腰直角三角形的判定与性质;③网格作图基本动作——画指定大小的角或作角的平分线.

3 网格线段问题

“网格线段”类作图问题可涉及：作两条线段相等；找圆心；作切线；将军饮马问题；胡不归问题；阿氏圆问题；作最长、最短的线段；等等.

图7

解：如图8，取格点H，G，连接GH交AB于点M.取格点N，连接NH交AC于点F，连接MF交AD于点E.点E，F即为所求.

图8

涉及知识点：①圆周角定理的推论；②全等三角形的判定与性质；③最短路径问题，即垂线段最短；④网格作图基本动作——比例分线段；⑤网格作图基本动作——画已知线的垂线(或平行线).

图9

解：如图10，取格点D，连接CD交网格线于点E.连接AE交半圆于点F.连接BF交AC于点P，点P即为所求.

图10

涉及知识点：①最值，即胡不归问题;②相似三角形的判定和性质;③网格作图基本动作——画已知线的垂线(构造等腰直角三角形);④网格作图基本动作——比例分线段.

例6如图11,将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，动点P到点A的距离为2，点Q是线段BP的中点，连接线段CQ，当线段CQ最小时，在图中用无刻度的直尺画出点P和点Q，并简要说明画法.

图11

解：如图12，取格点D，连接AD.取格点E，F，连接EF交AD于点P.连接BP，取格点K,连接CK交BP于点Q.点P，Q即为所求.

图12

涉及知识点：①最值，即隐圆问题；②三角形中位线性质；③网格作图基本动作——比例分线段.

4 作图思路总结

结合以上六个例题，汇总常见作图的思路:

(1)通过圆周角90°确定直径；

(2)通过两直径确定圆心；

(3)通过等弧所对圆周角相等确定角平分线；

(4)通过直径确定圆周角90°(即两直线垂直关系)；

(5)通过隐圆确定动线段的最短、最长线段.

5 结束语

网格作图问题承载着几何直观能力、逻辑推理与合情推理能力、运算能力、应用意识、创新意识等学科核心素养的落地体现，同时，蕴涵着转化、化归、数形结合、数学建模等数学思想，是中考命题的热点之一.以往网格作图问题通常依托于全等、相似、线与线的相对位置、三角形或四边形的基本性质，让学生利用网格作垂直、平行，构造相似与全等，将线段n等分[1].而今试题增加了圆这一背景后，增加了知识的综合性，使试题更灵活，借助圆心、半径、直径、圆心角、圆周角、切线等的基本性质，作图更便捷，思维更广阔，既能考查学生综合解决问题的能力，又能呈现出更加美观的作图效果.利用网格与圆相关性质的结合还可以解决更多几何变换中旋转、翻折等典型问题.