把握数学概念的本质，提升数学教学的效能

⦿江苏省常熟市昆承中学 张 超

数学概念是数学知识的核心内容，也是掌握其他数学知识的基础，学好数学概念可以使知识的运用更加灵活，使学生更加能够理解数学的本质.然而数学概念具有抽象性和复杂性的特点，常常使很多学生望而生畏，无法理解其内涵，影响了其他数学知识的学习.因此，数学概念的教学效果对于数学课堂的学习效能有着重大影响.在教学中，教师要从学生的角度出发，重视数学概念的生成和学生的感悟，不能采用让学生强行记忆的方式进行数学概念的教学，只有这样才能提升数学概念的教学效果.笔者拟以“锐角三角函数”一课为例，从分析数学概念教学的问题出发，探讨有效推进数学概念教学的策略.

1 忽视学生感悟的概念导入，导致学习低效

案例1导入“锐角三角函数”

(1)Rt△ABC中，∠C为直角，AC的长度为3，BC的长度为4，求AB的长度.

(2)Rt△ABC中，∠C为直角，AC的长度为3，∠B的度数是40°，求AB的长度.

设计评析：本例是通过问题进行导入，第(1)问在已有的对勾股定理认知的基础上，学生很容易求出AB的长度.接着教师继续提出第(2)问，学生已有的知识储备难以求出AB的长度，从而设疑导入.看似是精心设计，为了激发学生的探究欲，实则却忽视了导入的必要性，“为了导入而导入”，这样的导入就失去了意义，学生只是跟随教师盲目操作，对新学的知识没有很深的印象.

改进建议：本例可以通过创设以下情境进行导入——小华和小方两人一起步行，小华在倾斜角为30°的斜坡上步行，小方在倾斜角为40°的斜坡上步行，两人在同一水平上步行了150 m，请问谁登得高？高多少呢？

改进评析：修改之后的设计通过连续的追问引入课题，第一个问题大部分学生都能回答，一下子激发了学生的兴趣，使学生对学习充满信心.在此基础上，学生试图去回答登得高多少时，却发现遇到了困难，无法解决其中的数量关系，这时自然地引入课题，使得学生充满了想要探究的好奇心，一下子吸引了学生的注意力.这样的设计既考虑了学生已有的知识经验和认知水平，又让学生带着疑问进入了学习状态，发挥了导入的最佳效应.

数学概念的导入首先要使学生从心理上产生认同感，这就需要创设符合学生生活实际的情境，使学生明晰引入数学概念以及建立这一概念的理由，激发学习动力，为深入学习做好心理准备.

2 忽视概念生成的探究，导致学习低效

案例2正弦定义

(1)由特殊到一般概括正弦的定义.

已知Rt△ABC中，∠C为直角.

①如果∠A的度数为30°，那么∠A所对的直角边与斜边的比是多少？

②如果∠A的度数为45°，那么∠A所对的直角边与斜边的比是多少？

③如果∠A的度数为60°，那么∠A所对的直角边与斜边的比是多少？

(2)请大家观察几何画板的演示，思考一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角A取固定值时，∠A的对边与邻边的比是固定的吗？

(3)经过大家的共同证明，我们得到了一个结论：在Rt△ABC中，对于锐角的任何一个固定值，它的斜边与对边的比是固定的，与Rt△ABC的大小无关.

(4)归纳总结：在Rt△ABC中，∠A所对的边与斜边的比值随∠A的变化而变化；∠A不变，则比值不变.

教师板书正弦定义：在△ABC中，∠C为直角，那么锐角A的对边与斜边的比就叫做∠A的正弦，记作sinA.

师：这里要注意sinA是一个完整的符号，不是一个乘积形式，符号中的“∠”是习惯省去的，而单独的“sin”也是没有意义的.

设计评析：上述设计体现了教师希望通过由特殊到一般归纳正弦定义的良苦用心，问题由易到难，便于学生接受.但是在整个流程中学生始终处于被动地位，正弦定义的概念并不是学生在探究中主动获取的，是被动地接受的.在学生观察几何画板演示的过程中，学生被动接受了∠A的对边与邻边的比值是一个固定值，教师并没有引导学生去论证和思考，只是直接把结论灌输给了学生.这一环节中，学生只需用到记忆性思维，而没有调动其他的思维形式，然而强行记忆是容易遗忘的，也将影响到知识和技能的运用.

改进建议：上述流程可以变为引导学生探索的过程，改进如下.

(1)探究问题

已知Rt△ABC中，∠C为直角.

①如果∠A的度数为30°，那么∠A所对的直角边与斜边的比是多少？

②如果∠A的度数为45°，那么∠A所对的直角边与斜边的比是多少？

③如果∠A的度数为60°，那么∠A所对的直角边与斜边的比是多少？

(2)观察分析

请大家观察几何画板的演示，思考一般情况下，Rt△ABC中，当锐角A取固定值时，∠A的对边与邻边的比是固定的吗？

(3)猜想证明

学生经过讨论阐述自己的想法，然后猜测：一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角A取固定值时，∠A的对边与邻边的比是固定的.

(4)动手实践

在教师的引导下，改变点B的位置(如图1)学生通过测量计算∠A的对边与邻边的比看有没有发生变化；当∠A的度数发生改变时，再次通过测量计算比值进行对比.

图1

(5)推理论证

经过猜想和实践之后如何证明这个结论，为什么∠A的对边与邻边的比不发生变化呢？在教师的提示下学生自主探索，可以通过相似三角形的知识进行推理验证.

(6)再次探究

师：经过刚才的证明，大家已经知道了∠A的对边与邻边的比与点B的位置是无关的，那么它与∠A的度数是否有关呢？我们应该用什么方法验证呢？

生1：可以改变∠A的度数再次进行测量.

师：很好！请大家来操作一下.

师：很好！但是这个结论还是需要通过理论进行证明，大家看看是否可以用几何图形来验证？

生3：如图2，以O为圆心，OP为半径的圆上有一点P，在PH与OP的比值中，当角度增大时，PH变大，因此在分母不变的情况下，比值越来越大.

图2

(7)总结规律

通过画图可以清晰地看到角度与比值的变化关系，再次验证了结论：角度变化，比值也相应变化.这种随着角度变化，比值发生变化的规律就是正弦的定义，我们可以用sinA来表示∠A的正弦.

改进评析：通过教师引导下的探究，学生积极参与到学习活动中，经过思考、讨论、总结，逐步理解了正弦的概念，为进一步学习三角函数奠定了基础.锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，学生在探究的过程中学会了运用所学知识解决问题，理解知识之间的逻辑关系.在证明猜想的过程中，教师引导学生利用相似三角形证明比值相等，真正深化了学生对概念的理解.

两种设计方式表面上学习效果没有太大差别，但是从更深层次来看，第二种设计给学生创设了探索的平台，锻炼了学生的思维，更加有利于学生的发展.

3 不恰当地使用新知，影响学生对概念的理解 课堂教学中一般都有一个当堂巩固的环节，通过习题对当堂所学知识进行巩固训练.

案例3课堂巩固

(1)已知Rt△ABC中，∠C为直角，AC的长度为3，BC的长度为4，求sinA和sinB的值.

(2)已知在△ABC中，CD是AB边上的高，CD的长度为12，AD的长度为9，BD的长度为5，求sinA,sinB,sin∠ACD和sin∠BCD的值.

(3)在Rt△ABC中，∠C为直角，a的长度为1，c的长度为2，求sinB的值.

设计评析：上述练习都是在直角三角形中求正弦值，一方面题型单一，学生基本只需要单一的固定思维就能解决，没有起到锻炼思维的作用；另一方面容易给学生一种误导，只有在直角三角形中才能求锐角三角函数的值.因此，对学生的学习能力起不到应有的提升作用，一旦题型稍作改变，学生可能就一筹莫展了.

改进建议：(1)在Rt△ABC中，∠C为直角，AB的长度为5，BC的长度为3，求∠A的正弦.

(2)在Rt△ABC中，∠C为直角，BC的长度为3，sinA的值为3∶5，求AB和AC的长度.

变式训练：在Rt△ABC中，∠C为直角，BC的长度为3，sinA的值为3∶5，求sinB的值.

改进评析：改进后的练习，不仅检测了学生对正弦知识的掌握情况，突出了重点，而且还通过变式训练，培养了学生通过设置参数解题的方法.这样的设计调动了学生的多种思维，提升了学生的解题能力，全面巩固了所学知识.

课堂巩固的目的是为了了解学生知识的掌握情况，因此在习题设计时要注意问题的广度，重视思维过程，提高习题的质量，促进学生积极思考.

总之，数学概念的教学要摒弃给学生教概念的做法，要以学习活动为抓手，在引导学生探究思考的过程中，积累活动经验，提高学习能力，深入理解数学概念的本质.