发挥教师主导作用 引发学生深度学习——以“函数的零点与方程的解”教学为例

吴润文

(广东省广州市真光中学,510380)

“深度学习”是触及学生心灵的教学,如何引起学生的理智兴趣,使学习成为一件富有吸引力的事情,如何激发学生全身心地投入有思想、有情感、有创造力的活动.本文以2019年人教版新教材必修第一册第四章“4.5.1函数的零点与方程的解”教学为例,探讨如何发挥教师主导作用使学生主动积极的深度学习．

一、案例呈现

1.从具体函数引入概念

师:给出二次函数f(x)=x2-2x-3.观察它的图象与x轴的交点横坐标以及方程x2-2x-3=0的根有什么关系(图1)?

生:二次函数f(x)与x轴交点的横坐标是-1和3,它们是方程x2-2x-3=0的根,即方程x2-2x-3=0的实数根就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标．

师:与二次函数的零点一样,对于一般函数f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.请同学们思考:函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的根、函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标三者之间有何联系?

生:函数的零点就是方程的根,也是函数的图象与x轴交点的横坐标．

师:这就从两个角度刻画了函数y=f(x)的零点的特征．从代数方面而言,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根;从几何方面而言,函数y=f(x)的零点是函数的图象与x轴交点的横坐标．这也是解决函数零点问题的两种思路．

设计意图新教材已经在之前介绍过二次函数的零点的概念,是学生的“最近发展区”,从观察具体函数到总结一般规律,符合学生认知水平．

2.探究新知环节

师:请同学们利用函数零点的概念解决以下问题.

练习1求下列函数的零点:

(1)f(x)=x+1；

(2)f(x)=x2-4x+3.

(3)f(x)=2x-4；

(4)f(x)=log2x-1.

练习2函数

的零点是______．

生1:通过解方程f(x)=0求出方程的根就是函数零点．

生2:也可以画图,函数图象与x轴交点的横坐标就是函数零点．

师:同学们用代数法解方程,或者用几何法求图象交点,都可较好地解决函数零点问题．如lnx+2x-6=0这样不能用公式求解的方程,要研究其相应函数的零点问题怎么办呢?思考:函数f(x)=lnx+2x-6是否有零点?

生1:可以研究函数的图象．函数f(x)=lnx+2x-6的图象与x轴有交点,就代表函数有零点(如图2)．

生2:方程lnx+2x-6=0可以改写为lnx=-2x+6,所以作出两个图象,它们也有一个交点(如图3)．

师:两位同学都是用几何法作出函数的图象,根据图象找出零点.大家能总结一下这两种画图的方法吗?

生:方法1直接作出函数y=f(x)的图象,图象与x轴公共点的个数就是函数f(x)零点的个数.方法2由f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象公共点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.

师:通过几何法可知函数f(x)=lnx+2x-6有零点,有几个呢?为什么?

生:有一个.因为函数f(x)=lnx+2x-6在定义域内是增函数,所以它只有一个零点．

师:对于这个问题,不妨还是从具体函数f(x)=x2-2x-3出发,观察它的图象,发现它在区间[2,4]上有零点．这时,函数图象与x轴有什么关系?

生:可以发现,在零点附近,函数图象“穿过”x轴．

师:函数在端点x=2和x=4的取值有什么规律?

生:取值异号．

师:在区间[-2,0]上是否也有这种关系?你认为应如何利用函数f(x)的取值规律来刻画这种关系?

生:因为f(2)f(4)<0,函数f(x)=x2-2x-3在区间(2,4)内有零点x=3.同样地,f(-2)f(0)<0,函数f(x)=x2-2x-3在区间(-2,0)内有零点x=-1.

师:请同学们把结论推广到一般函数．

在教师的引导下,通过小组合作归纳,得到函数零点的存在性定理(定理略).

师:根据存在性定理,应如何解决函数f(x)=lnx+2x-6在(1,3)上是否有零点?

生:因为f(1)f(3)<0,由函数零点的存在性定理可知,函数f(x)=lnx+2x-6在(1,3)上至少有一个零点．函数y=f(x)在定义域内是增函数,所以它只有一个零点．

设计意图通过提供恰当的“教学材料”,帮助学生“亲身”经历知识的发现与构建过程,使学生真正成为学习的主体．

3.巩固拓展，深度学习

(1)定理理解

练习1若f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点． ( )

若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)f(b)<0． ( )

若f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点． ( )

(2)定理运用

练习2判断函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点所在区间( )

(A)(-1,0) (B)(0,1)

(C)(1,2) (D)(2,3)

例1已知f(x)=2|x-1|+x-a,若函数有且仅有两个零点,求实数a的取值范围.

学生小组合作探究得到几何和代数两种方法(解题过程略).

(3) 深度学习

设计意图在有难度、有挑战的学习任务面前,学生感到自己是活动的主体,能够独立操作这些内容,从而引发学生积极主动地深度学习．

二、教学思考及建议

1.确定促进学生自觉发展的“最近发展区”

要确定最近发展区,前提是要确定学生现在知道什么、能做什么、对什么有兴趣,能够操作什么内容、能够以什么方式完成什么样的活动，等等．以本节课为例,学生首先学习二次函数的零点概念,但对概念产生的原因以及作用都不清楚,理解停留在浅层学习上．故设计具体的二次函数f(x)=x2-2x-3,让学生观察它的图象与x轴交点的横坐标与方程x2-2x-3=0的根有什么关系.从具体到一般,学生很容易接受函数零点概念的两个特征,一是从代数方面:函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根;二是从几何方面:函数y=f(x)的零点是函数的图象与x轴的交点的横坐标．然后抛出具有难度有挑战性的问题:函数f(x)=lnx+2x-6是否有零点?激发学生的求知欲．这就体现教师的作用在于帮助学生作为主体去挑战困难、克服困难,从现有水平主动积极地走向未来水平．

2.帮助学生真正成为教学主体

教师的作用在于帮助学生“亲身”经历知识的发现与建构过程,使学生成为教学主体．以本节课为例,教学设计还是从具体函数f(x)=x2-2x-3出发,观察它的图象,让学生发现它在区间[2,4]上有零点,接着追问:函数图象与x轴有什么关系?函数在端点x=2和x=4的取值有什么规律?然后通过小组合作探索并归纳总结出函数零点的存在性定理．无论从学生的经验积累以及认知能力看,蕴藏在概念与原理背后的思想几乎不可能依靠学生去独立发现,时间也不允许．数学课堂上,教师如同向导一样,很多时候更象是带领学生在数学王国里一边欣赏风景一边做解说,学生需要聚精会神紧跟着教师的思路往前走,而当教师将隐藏在概念与原理背后的思想展露无遗后,学生应该能够水到渠成地完成归纳与总结,得出最后的结论．

3.挖掘学生的智慧潜能,引发学生的深度学习

深度学习的任务是让学生达到未来的水平,这个未来的水平比学生现有水平要高得多．要达到这样的水平,就必须学习有困难的内容、完成有挑战的任务,即维果茨基所说的“教学要走在发展的前面”,具体表现为赞科夫所表述的“高难度进行的教学”．本节课设计的两个问题，例题1和2就是这样具有挑战有难度的学习任务．学生伴随着与老师、同学的交流、沟通、合作、启发、竞争等活动,深入积极的探讨学习,成功地完成学习任务．事实证明,只要方法得当,每个学生都能够从低级知识出发走向高级知识的学习．要做到这样的深度学习,离不开教师的主导作用,教师应当做到与学生进行顺畅的沟通与交流,营造民主、平等的教学氛围,关注学生的学习状态,及时调整教学进度及策略,以期更好地帮助学生学习与发展．