让数学运算有序进阶 让学生思维自然拔节

摘  要：聚焦“一题两解”的逻辑与运算，应用学习进阶理论，探究数学运算中的进阶要素和进阶策略，理解运算对象，迁移运算经验，创新运算程式，为发展学生的高阶思维提供可靠的“学习支架”.

关键词：数学运算;学习进阶;理解;迁移;创新

在课程改革的大背景下，数学学科核心素养成为高中数学课程的总体目标.《普通高中数学课程标准（2017年版）》首次明确提出数学学科六大核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析. 其中，数学运算历来是课程和教学的核心内容，也是促进学生思维发展的重要抓手.

一、数学运算和学习进阶

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则，对数、式和量等运算对象进行代换或变换，体现问题解决的过程. 数学运算并不是一般意义上的数学计算，除了简单的数字计算外，还有各类数学式子和方程的变形，以及极限、微积分、逻辑代数的运算等. 数学运算的逻辑序列包括理解运算对象、掌握运算法則、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果.

学习进阶是学习者在较大的时间跨度内学习某一主题概念所遵循的连贯的、典型的学习路径的描述，一般呈现为层次性、结构性和关联性的认知序列. 学习进阶理论认为，学生对于某一概念或规律的认知不可能一蹴而就，必须以学生已有的知识和经验为进阶起点，以预期的学习目标为进阶终点，期间经历许多不同的中间水平，即表征学生思维层级和学习水平的“阶”. 数学运算具有综合性、系统性、层次性的特点，使学生数学运算能力的发展必定会经历由简单到复杂、由低阶到高阶、由具体到抽象的过程，应用学习进阶理论为学生的运算思维向高阶演进提供可靠的“学习支架”，助力数学运算素养的自然拔节.

二、“一题两解”背后的逻辑和运算

1. 进阶分析

（1）进阶起点分析.

理解运算对象是实施数学运算的前提，否则数学运算就成为无源之水、无本之木. 题目涉及复数的实部、虚部、模;涉及共轭复数、相等复数之间的关系;涉及复数的四则运算法则，以及共轭复数、复数的模的有关性质;涉及共轭复数和复数的模的相互转化关系;涉及四元方程组、实系数一元二次方程、虚系数一元二次方程.

掌握运算法则是实施数学运算的基础. 对于复数的模的运算，比较直接的构想是将复数的代数形式和模的几何意义衔接起来，而利用复数的模的性质[z2=zz]来转化值得重视;对于复数方程的处理，可以直接代入实部、虚部，依据复数相等的原则得到数量关系，也可以对等式两边同时取共轭复数或取模进行转化;对于求解复数的积，最常见的做法是分别求出两个复数再求它们的积，也可以将复数的积视为整体直接求解.

经过前期的学习，学生对复数的相关运算已经具有零散的经验，但是也存在一些迷思认识. 例如，复数的模的平方等于复数的平方，复数的和与差的模等于复数的模的和与差，复数范围内用判别式判断一元二次方程的解的个数，题目有多余条件（提供三个方程只求两个未知数），等等.

（2）进阶目标预设.

通过求解题目，学生应该树立自主探究运算方向的意识，厘清问题的本质在于解复数方程，学会待定系数法、消元法、整体法、等价转化法、配方法等运算方法，能够尝试设计有效、恰当、简捷的运算程序，并迁移至同类或相似的问题情境中，形成反思运算结果的理性精神，培养思维的发散性、严谨性、批判性和创造性.

2. 进阶层级预设

根据上述分析，题目教学应聚焦问题的本质，暴露学生的迷思，引发学生的思辨，提炼解决问题的一般思路和创新举措，促进数学学科核心素养的持续发展. 数学运算在题目中的学习进阶层级如下表所示.

3. 进阶途径与策略

为了完成层级一的进阶，可以改变问题的设问方式，引发学生的认知冲突，促进学生对问题本质的执着追求;为了实现层级二的进阶，有必要设置有梯度、有思维深度的算理问题，驱动和引领学生思辨并体验解决方案的繁与简，自觉迁移数学运算的一般观念，深度剖析简化运算的内在逻辑;为了达成层级三的进阶目标，数学运算不能局限于思维活动的“上半场”，可以继续引导学生观察、比较条件和结论的形式，通过自主联想、合作交流、经验迭代等方式，创新思维活动的“下半场”，优化运算程序，拓宽运算视界.

4. 教学实践片断

（1）认知冲突，深化理解.

师：基于以往的学习经验，你能说说这是一个什么类型的问题吗？

生1：我感觉就是一个解方程组的问题，只不过是在复数范围内求解，两个未知数[z1，z2]与实数范围内的[x，y]一样.

师：有道理！请大家仔细看一看条件，还有其他发现吗？

生2：我有个疑问. 为什么只有两个未知数，却提供了三个方程呢？是不是条件多余呢？

一石激起千层浪！学生纷纷交流讨论.

师：谁能解释其中的原因吗？

师：考虑得很深刻！其实问题的本质是在复数范围内求解二元方程组，而复数实际上是一个“二元数”，通过设两个复数的代数式，代入三个关系式，结合复数的模和复数相等的概念，就可以将该复数方程组转化为在实数范围内含有四个关系式的四元二次方程组.

进阶评估：在学生思维的最近发展区设问，直抵问题的本质. 通过认知冲突，营造“愤”“悱”之境;通过联系和转化，祛除迷思干扰，同化原有认知，进而深刻理解运算对象.

3. 注重素养融合

基于两种解法的比较分析，我们深感数学学科核心素养“你中有我，我中有你”. 它们相互融合，既各有侧重，又和谐统一. 生4的解法中对运算复杂程度的预估体现数学运算与代数直观的密切相关;生5的解法中“两边取共轭”和“整体代换”的重要算法思想与逻辑推理不可分割，在运算中体会推理，在推理中简化运算;对原题的合理改编是应用数据分析促进理性思维的有益尝试. 综观解题活动，数学运算、逻辑推理、数据分析和直观想象等素养融为一体，相得益彰，为学生的深度学习开辟思维广场.

参考文献：

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[4]周军.“数列中的存在性问题”进阶教学[J]. 江苏教育，2021（37）：44-47，52.