直观想象及其教学

2022-03-27李昌官

中国数学教育（高中版） 2022年3期

关键词：直观想象直观想象

摘要：直观想象不仅是一种解决数学问题的方法与技能，也是一种思维习惯与思维方式. 在探讨和明晰直观想象的含义与水平、功能与价值、过程与方法的基础上，提出了加强和改进直观想象教学的策略与方法.

关键词：直观;想象;直观想象;直观想象水平;直观想象教学

直观想象不仅是一种解决数学问题的方法与技能，也是一种思维习惯与思维方式. 数学教学应有意识地、有效地提升学生的直观想象意识与能力.

一、直观想象的含义与水平

1. 直观想象的含义与表现

直观与抽象相对，是指通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识. 徐利治先生认为，直观是借助经验、观察、测试或类比联想所产生的对事物关系直接的感知与认识. 数学中的直观主要有现实直观、几何直观、代数直观、模式直观等.

想象是指对于不在眼前的事物想象出它的具体形象. 心理学上指在知觉材料的基础上，经过新的配合，人在头脑里对已储存的表象进行加工、改造形成新形象的心理过程. 想象是利用原有的表象形成新形象的过程. 它能突破时间和空间的限制，预见没有看到的或未来将会发生的事情.

直观想象由“形成直观”与“展开想象”两个基本环节组成，是在“直观”的基础上“想象”. 直观想象有广义与狭义之分. 广义的直观想象包括一切直观和直观基础上的想象. 狭义的直观想象主要是指“几何直观”和“空间想象”，是“几何直观”基础上的“空间想象”.

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）指的“直观想象”是狭义的“直观想象”，下面讨论的也是狭义的“直观想象”. 它是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养. 主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.

直观想象的表现主要有三个方面：一是通过抽象和想象，用几何图形描述、刻画现实世界，把现实问题转化为几何问题;二是寻找“数”背后的“形”，利用几何图形描述代数问题，借助几何直观理解代数问题，探索解决问题的思路与方法;三是借助空间想象，把握事物的形态变化与运动规律，感悟事物的本质，发现事物之间的联系.

2. 直观想象的特点与水平

直观想象具有直接性、生动性、情境性、丰富性和经验性等特点.

《标准》依据情境与想象的关联程度，把直观想象分为水平一、水平二、水平三. 吴立寶、刘哲雨等人基于直观想象与现实的联系，把直观想象分为原型直观、表象直观、想象直观三个层次. 这里，依据创造成分与难度的高低，把直观想象分为如下四种水平.

水平一是原型直观，即借助原型形成的直观，是通过观察具体事物的原型而感知其几何属性，形成几何表象. 这里的事物原型既可以是各种物体和几何图形，也可以是具有明显几何特征的各种代数式和代数关系式. 原型直观是最原始、最直接、最简单的数学直观.

水平二是构图直观，即通过画图、构图形成对事物的几何要素及其关系的直观认识，进而借助图形思考和解决问题. 构图直观与原型直观的区别在于，原型直观是客观世界、前人或他人直接“呈现或给出”的直观，而构图直观则需要自己构图，包括根据代数式画出图形.

水平三是想象直观，即借助想象形成的直观，是指在头脑中想象事物的几何要素及其关系，想象它们变化与发展的情况，形成新的心理表象. 想象直观能弥补静态的图形直观难以刻画运动变化和事物全貌的不足.

水平四是理性直观，即理性起到潜在支撑作用的直观，是指通过把握事物数与形两方面的特点与规律，形成关于事物变化规律、事物本质的直观认识.

二、直观想象的意义与价值

1. 直观想象的学科价值

康德认为，一种知识不论以何种方式和通过什么手段与对象发生关系，它借以和对象发生直接关系、并且一切思维作为手段以之为目的的，还是直观. 数与形是客观事物的两种基本属性，是同一枚硬币的两面. 数学是研究数量关系和空间形式的一门科学. 几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分. 这种区分也许用另一对词刻画更好，即“洞察”对“严格”，两者在真正的数学研究中都起着本质的作用. 它们在教育中的意义也是清楚的. 我们的目标应是培养学生发展这两种思维模式，过分强调一种而损害另一种是错误的. 几何并不只是数学的一个分支，更是一种思维方式，它渗入数学的所有分支.

2. 直观想象的工具价值

在大多数情况下，数学的结果是“看”出来的，而不是“证”出来的. 这就像我们做很多事情那样，先建立起一个目标，然后再踏踏实实地向这个目标迈进. 事实上，不仅仅是数学，在许多学科中对于结果的预测和对于原因的探究，起步阶段依赖的都是直观. 基于“形”的直观想象与基于“数”的精确运算相结合不仅是研究和解决函数问题、解析几何问题、立体几何问题、向量问题的基本策略与方法，也是研究和解决一般数学问题的基本策略与方法. 借助直观想象，我们能更好地理解问题，发现问题的本质，进而化难为易、化繁为简;能更好地发现解决问题的思路与方法，甚至发现问题的初步结论.

3. 直观想象的教育价值

从学生的视角来看，直观想象是一种有用、有趣、好玩、富有魅力的学习方法和解决问题的方法. 它能有效激发学生学习数学的兴趣，增强他们学好数学的信心，发展他们的思维能力，尤其是有助于他们学会学习数学，学会数学创造. 因为那种创造发明的要素，那种起指导和推动作用的直观要素，虽然常常不能用简单的哲学公式来表述，但是它们却是任何数学成就的核心，即使在再抽象的领域里也是如此. 数学教育应着力提高学生利用图形描述和刻画事物的能力，以及利用图形探索和发现解决问题思路的能力.

四、直观想象教学的策略与方法

1. 深化学生对数与形关系的认识

希尔伯特曾指出，算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图象化的公式. 法国女数学家索菲·热尔曼也曾指出，代数不过是书写的几何，而几何不过是图形的代数. 教师应通过具体事例让学生深切地感受数与形的和谐统一，增强他们借助直观想象思考和解决问题的意识，形成借助直观想象思考和解决问题的习惯.

2. 强化观察与操作

直观是想象的基础，直观源于观察与操作. 关于物体的认识，并不是由于该物体的静止的心理复写而成的，乃是由于使它发生变化，并且对这些变化的过程有所了解形成的. 一种智慧行为，最重要的是由于协调操作、联合、整理（从引入次序的意义上讲）等而形成的. 为了给直观想象提供丰富而正確的素材，数学教学应该强化学生自身的观察与操作，尤其要引导他们积累图形的平移、旋转、翻折、伸缩等变换的经验.

3. 强化学生自身的直观想象实践与感悟

直观想象是情境化、经验化的. 一个合理的想象需要逻辑的支撑，一个有效的想象还需要经验的积累. 为了更好地丰富和积累直观想象的经验，在画图和多媒体显示图象或图形以前，教师应引导学生多想象. 在画出或显示之后，应引导学生多用心感悟，然后有意识地、逐步地提高画图、悟图的标准. 用以直观地阐明原理内容的图形，应当力求简洁而单纯，且应尽可能消除附加的东西，以使学生的思维清晰而不被搅乱，同时还要提醒学生经常注意那些被描绘的细节的特征.

4. 强化与数学概念、逻辑推理的融合

直觉的可靠性是以坚实的学科知识为基础的，即直觉凭借对学科知识的熟悉来起作用. 缺乏概念的直观是空虚的，缺乏直观的概念是盲目的. 由于直观想象的目的往往是把现实问题和代数模型转化为几何模型，因此有效的直观想象离不开一定的数学概念，应该把直观想象教学与数学概念教学有机结合起来，或者说应强化数学概念的几何直观. 就直觉与逻辑的关系而言，直觉是逻辑的先导，而逻辑是直觉的护栏. 就学生思维发展而言，应通过追寻直觉背后的逻辑与引领逻辑的直觉，使直觉思维与逻辑思维相互协调、相互促进. 就数学问题解决而言，思路的探寻与发现往往依靠直观想象，而问题的最终解决则离不开逻辑推理. 因此，数学教学应强化直观想象与逻辑推理的融合.

5. 尽可能使直观想象达到理性直观水平

直观想象是人与生俱来的本能，但直观想象水平的提高离不开教学和训练. 数学教学应处理好“观直观之源，获原型直观”“画几何图形，获构图直观”“展想象之翼，获想象直观”“思缘由依据，获理性直观”之间的关系，既夯实较低水平直观想象的基础，又不止步于这个水平;应在直观与逻辑的结合上下功夫、做文章，尽可能使学生把想象的缘由、依据、来龙去脉弄得更清楚一些、更明白一些，进而达到理性直观的水平.

五、结束语

数学教学应在清楚直观想象的含义、表现、水平、功能、过程与方法的基础上，把作为解决问题的方法与技能的直观想象教学与作为思维习惯和思维方式的直观想象教学有机结合起来，有效提升学生的直观想象素养.

参考文献：

[1]徐利治. 谈谈我的一些数学治学经验[J]. 数学通报，2000（5）：1-4.

[2]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3]吴立宝，刘哲雨，康玥. 直观想象素养的内涵与结构探究[J]. 现代基础教育研究，2018，31（9）：109-113.

[4]康德. 纯粹理性批判[M]. 邓晓芒，译. 北京：人民教育出版社，2017.

[5]阿蒂亚. 数学的统一性[M]. 袁向东，编译. 大连：大连理工大学出版社，2014.

[6]史宁中. 数学思想概论（第2辑）：图形与图形关系的抽象[M]. 长春：东北师范大学出版社，2015.

[7]R.柯朗，H.罗宾. 什么是数学：对思想和方法的基本研究[M]. 左平，张饴慈，译. 上海：复旦大学出版社，2012.

[8]中国科学院自然科学史研究所数学史组，中国科学院数学研究所数学史组. 数学史译文集[M]. 上海：上海科学技术出版社，1981.

[9]昂利·彭加勒. 科学与方法[M]. 李醒民，译. 北京：商务印书馆，2010.