高中数学定理的教学结构和路线

陈莉

摘  要：通过对数学定理的特征分析和学生学习的认知心理分析，即在对定理知识、定理学习、定理教授三方面综合分析的基础上，形成相对统一与稳定的数学定理教学结构，并应用于高中数学定理教学，形成具体的教学路线.

关键词：数学定理;教学结构;教学路线

数学定理是指由公理、定义或已被证明为真的其他数学命题，运用推理规则，可以推出一系列数学真命题. 数学定理在数学知识体系中占有重要地位，并且被广泛应用于知识发展与问题解决的过程中. 在高中数学课程中，数学定理一般都具有核心知识的地位，如何进行数学定理的教学是教学研究中的重要课题. 本文旨在通过分析数学定理的特征和学生学习的认知心理，形成相对统一与稳定的数学定理教学结构，以及具体的教学路线.

一、数学定理的特征分析

数学定理不仅包括显性化、静态化的知识本体，还包括发生、发展等一系列程序性、过程性相关的隐性化、动态化知识. 因而厘清数学定理的知识特征，对教学有着重要的指导意义.

1. 数学定理的可发现性

奥苏贝尔将命题学习分为类属发现学习、形成发现学习和类比发现学习. 在高中阶段，数学定理的学习主要是形成发现学习，即需要教师精心设计、启发引导，从而使得学生借助教师所提供的素材和提出的问题，经历观察、比较、实验、分析、抽象、概括、归纳、类比等系列过程，形成对定理存在性的认知与认同. 例如，线面垂直的判定定理可以通过对折纸张能站立于水平桌面这一简单实验让学生对折痕同纸张与桌面交线的位置关系进行实验、观察、分析、比较，从而发现判定定理的条件.

2. 数学定理的可证性

数学定理的证明是获得定理、认识定理最根本的途径. 分析、寻求证明方法的过程离不开对知识的梳理与应用. 因此，数学定理的证明是建立在所学数学概念、公理或其他数学定理基础上的对知识的系统性、综合性应用. 例如，正弦定理的证明可以建立在初中所学直角三角形知识的基础上，也可以建立在任意角的坐标表示的基础上，还可以运用向量知识来实现.

3. 数学定理的结构性

数学定理具备命题的结构特征：条件与结论. 对数学定理的解构实际上就是对定理的使用范围、条件、依据、性质、关系等逐一剖析，只有全然符合条件，才能运用定理获得相应的结论. 例如，函数零点存在定理的运用条件是函数在区间[a，b]内同时具备图象的连续性和端点函数值的异号性，运用定理获得的结论为该函数在区间[a，b]内至少有一个零点.

4. 数学定理的多重表征性

部分数学定理可以用自然语言、符号语言或图形语言进行多重表征. 例如，线面平行的判定定理既可以用文字语言“如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行”来表述，也可以用符号语言“[a∥b，a?α]且[b?α][?][a∥α]”来简洁地表达，亦可以用“线线平行[?]线面平行”来概括地表达. 此外，数学定理的名称本身也可能是一种表征形态，如二项式定理.

5. 数学定理的应用性

数学定理的存在意义通常是为了某个知识的研究推广（如二项式定理），或者是某类问题的解决（如正弦定理、余弦定理），因而具备鲜明的应用性和工具性特征. 应用数学定理的過程也是学生内化该定理知识的过程. 例如，平面向量分解定理，只有理解了该定理的本质，才能理解向量坐标的获得原理，才能进一步理解具体问题解决中确定一组基向量的重要性.

二、数学定理的认知心理分析

数学定理的学习并不是一个独立知识的学习，其所涵盖的知识往往与学生已有的认知结构中的相关知识与概念构成上位关系、下位关系或并列关系. 因而相较于数学概念的学习，数学定理的学习不仅仅是知识本身，还包括了相关概念、定理、公理等知识之间的关系. 除此之外，其学习过程中还包括了较为复杂的独立思考及发现和整合相关知识信息的过程，因而从心理机制上来说，数学定理的学习要比数学概念的学习复杂得多.

由于数学概念与数学定理的学习难度不同，很多学者认为两者的学习方式与学习层次也都是不同的. 其同样认为，加涅的信息加工理论更能揭示定理学习的过程. 所谓信息加工观点就是将人脑类比计算机，把它看成类似于计算机的信息加工系统. 简单来说，就是通过计算机对刺激信息的加工来拟合学生对定理的学习过程.

1. 信息刺激——关注定理产生的情境

信息刺激一般是指所提供的教学材料. 信息加工理论中要实现从外界环境到感觉记忆，则必须要有一定的外部信息刺激，从而引发感觉记忆中部分相关信息受到注意，并获得进一步的加工（思考理解）. 这些外部信息刺激的来源就是数学教学中所组织的材料，其组织的方式往往被置于某个情境（生活情境、数学情境或科学情境）中. 通过情境向学生呈现所需的知觉材料，从而促进学生的知觉加工. 例如，在引出直线与平面垂直的判定定理时，可以利用田径赛场上的跨栏和衣架等图片信息来刺激学生进行学习的意义及如何快速判定的思考.

2. 信息编码——建立相关知识间的联系

所谓信息编码是指对知识的重构. 信息编码的过程实际上就是对知识之间关系识别、梳理与重构，从而获得更为有意义的结论. 因而信息编码实际上就是使信息发生本质性转变的过程. 当然这一过程的顺利程度取决于学生个体知识的丰富程度. 知识经验越丰富，则其编码过程也就越顺利. 例如，在引出直线与平面垂直的判定定理时，可以通过图片信息或实验信息建立线面垂直、线线垂直、与无数条直线垂直、与有限条直线垂直等信息联系，从而做出线面垂直判定的猜想.

3. 信息记忆——解构定理的结构

信息记忆在学生接收到信息刺激时就已经开始了. 在有限时间内记忆的信息量，除了受学生本身处于长效记忆知识的丰富程度影响，还可以通过教师合理、有效的信息组织，或引导学生将散乱的信息组块并建立起相互联系的方式来提升. 信息记忆的最终目标就是在对信息进行合理编码后，使其变为长时记忆被存储.

事实上，在定理的学习过程中，定理的获得与证明不足以使该定理成为长时记忆被保存. 因而教师可以结合引入的情境，帮助学生形成探究、推导定理的过程性情境记忆;也可以利用定理的多重表征性，对该定理进行多重编码，使得学生能从语义、符号、图形等多方面形成记忆系统;还可以利用定理本身的结构性特征，从语义、符号、图形等多方面剖析定理，使学生形成相对概括、稳定的认知记忆.

4. 信息提取——熟练定理的应用

定理应用的熟练程度取决于信息提取的顺利程度. 研究表明，信息提取的顺利程度取决于信息在长时记忆中记忆痕迹的强度. 而记忆痕迹的强度又与相应信息所受到的加工深度有直接关系. 在定理教学中，可以通过在定理理解时稍作停顿、剖析解读来进一步地强化记忆的痕迹;还可以在应用定理时，通过对问题再审视，进一步对信息进行深加工，从而形成更为整体的结构观.

例如，在正弦定理的教学中，可以对正弦定理从结构的对称性、三角函数的单一性、边与角的对应性、范围的任意性、元素的完整性五个方面进行解构剖析，帮助学生形成初步的定理应用观;还可以在例题的解答中，通过对问题解决过程的再审视，进一步完善正弦定理的应用观：正弦定理适用于已知“两角一边”和“两边一对角”的解三角形问题. 通过这一过程，帮助学生构建关于正弦定理更具层次性和完整性的认知结构.

三、数学定理的教学结构与路线

数学教学结构是以教师的教和学生的学为基础框架，以数学教学内容为核心，以教学过程为顺序，实现数学的知识结构、学生的认知结构、教师的导学结构三者有机、有序、有效的系统联系. 数学定理的教学也必然存在相对稳定的结构系统.

1. 数学定理教学的一般结构

结合上述分析，笔者将数学定理教学结构设定为：情境发现—联系分析—归纳证明—辨析解构—巩固应用—回顾反思.

（1）情境发现.

组织相关材料，在具体情境中刺激学生引起注意、形成感知. 材料可以来自生活或数学学科本身，要能够造成学生认知上的冲突，引起学生足够的注意，或者具有共性，能够引发学生的思考. 当然，还可以归纳提出核心问题.

（2）联系分析.

通过启发与引导，帮助学生形成选择性知觉进行联想. 通过这一过程，帮助学生建立材料信息与原有知识之间的联系，梳理两者之间的关系. 两者之间的关系越清晰，对于问题的认知也就越明朗. 在这一过程中，逐步形成问题解决的架构雏形.

（3）归纳证明.

通过指导，帮助学生实现用数学语言归纳数学一般规律或证明数学定理. 也就是学生对信息编码形成概括认知的过程. 这一过程中往往还包含了一些数学的技能和思想方法.

（4）辨析解构.

通过引导、辅助，帮助学生进一步提炼数学定理的特性，形成长时记忆，实现认知固化. 这是对数学定理进行剖析、解构的过程.

（5）巩固应用.

设计相关例题，帮助学生逐步熟练对新学定理在应用过程中的信息提取. 通过对原问题的变式与拓展，强化学生对新定理的应用，使学生逐步构建起相关知识网络，形成相应的数学技能与数学思想方法.

（6）回顾反思.

通过对前面学习过程的理性回顾，使学生有意识地进一步建構相关的知识系统和知识网络，让学习过程中的记忆更为融合，帮助学生进行更深层次的理解与思考.

经过数学定理教学结构中的六个环节，最终形成在教学结构、认知规律、学生学习、教师教学四个层面上对数学定理教学的综合设计，如图1所示.

2. 数学定理的教学路线

以沪教版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”）必修第二册第六章“三角”第三节“解三角形”第1课时“正弦定理”的教学为例，分析在此结构下的具体教学路线.

（1）情境引入.

“正弦定理”是作为任意角的三角函数研究的一类应用，重在揭示任意三角形的边与角之间的客观规律，是解决实际生活中三角形问题的有效工具. 根据定理本身的实用价值，选择教材中给出的测定火场距离这一实际问题作为本节课的引入情境. 通过实际问题引起学生的注意，进而通过对此实际问题的抽象得到相应的数学问题.

情境：某林场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点[A]和[B，] 某日两个观测点的林场人员分别观测到[C]处出现火情. 在[A]处观测到火情发生在北偏西[40°]方向，而在[B]处观测到火情在北偏西[60°]方向，已知[B]在[A]的正东方向[10]千米处. 现在要确定火场[C]距[A，B]多远.（精确到1千米.）

将此问题转化为数学问题：如图2，在[△ABC]中，已知[∠A=130°，∠B=30°，c=10，] 求[b]与[a]的长.（精确到1.）

由此，将正弦定理的学习定位在提出问题、分析问题、解决问题的模式上进行.

（2）问题探究.

对于上述数学问题，高一学生在初中阶段已经可以通过作高，将原有斜三角形转化为直角三角形来解决. 将未知转化为已知是解决问题常用的思想方法，在课堂中必然会有部分学生采用. 那么，如何让学生回避这种方法，而将新问题与高中所学任意角的三角函数知识进行联系呢？

在本节课的设计中，采取“以疏代阻”的方式，直接将此抽象后的数学问题作为课前思考问题，让学生尝试解决，从而找到学生在问题解决中的共性——作高，并利用学生由作高造成的思路混乱、解题复杂提出问题：能否在斜三角形中直接求解？建立起作高解题的间接、复杂与正弦定理求解的直接、简单的认知冲突，激发学生学习正弦定理的兴趣.

（3）定理推导.

正弦定理可以通过多种方法加以证明，具体如下.

① 作高法.

利用作高，将斜三角形转化为直角三角形证明. 此方法学生容易接受，但需要进行锐角、钝角三角形的分类讨论. 同时，此方法是建立在学生所学初中数学知识基础上的，与教材知识体系的设定不符，因而可以作为课外补充.

② 向量法.

利用向量投影或数量积进行证明. 此方法是建立在理解向量数量积的基础上的. 而在教材体系中，向量知识在解三角形知识之后，因而可以作为向量的一类应用来进行学习.

③ 解析法.

通过建系，利用三角函数定义证明. 解析法是教材中研究任意三角函数的基本方法，符合教材知识体系.

④ 外接圆法.

利用三角形的外接圆，将问题转化到直角三角形中进行证明. 此方法需要掌握一些与圆相关的知识与结论，对于使用沪教版教材的学生而言，此部分知识在初中被归为拓展知识，属于选学内容. 故该方法可以作为课后拓展让学有余力的学生开阔视野.

综上所述，无论采用哪种证明方法，都与学生本身所具备的前期知识有着非常密切的联系. 结合上述分析，本节课选择解析法证明正弦定理. 通过斜三角形的内角[A]是除直角外[0，π]内的任意角，进而将此角置入平面直角坐标系中，利用任意角的三角函数知识给出三角形三点的坐标表示，再利用学生研究三角形的常用思维——研究面积、周长，引导学生表示面积，发现正弦定理，最终证明定理.

（4）定理巩固.

正弦定理一般是以公式的形态被记忆，因而如何通过对定理的再分析来记忆公式就比较重要了.

本节课通过提出问题“观察这个定理，它有什么特点值得关注？”来激发学生观察与思考的兴趣，得到“都是分式结构”“它是对称的”“都是三角形的边与角”“都是用正弦”等观察结果，从而帮助学生归纳总结出正弦定理具有“结构的对称性”“三角函数的单一性”“边与角的对应性”“范围的任意性”“元素的完整性”等特征. 不仅帮助学生更好地记忆了公式，也引发了正弦定理的“对边与对角”“知三求一”等初步应用观.

（5）定理应用.

结合建立起的定理初步应用观，顺利解决情境问题中已知三角形的“两角一边”求边问题，以及已知“两边一对角”问题，形成具体的定理应用观.

进而，将“两边一对角”问题变式为“两边及夹角”，引发学生进一步思考：同样是“已知两边一角”问题，为什么一个解法易，一个却难？正弦定理容易解决的是哪些解斜三角形问题？通过建立原问题的“易”与变式问题的“难”的冲突，帮助学生构建起在正弦定理应用过程中对边和角对应性条件的重要性认知，同时帮助学生归纳总结出正弦定理可以解决已知“两角一边”“两边一对角”的三角形问题，进而引发思考：三角形中有没有其他类似结论可以帮助解决此类问题？顺势为余弦定理的学习埋下伏笔.

（6）课堂小结.

从所学引所思：今天我们学习了什么？

③ 两类问题——已知“两角一边”或“两边一对角”的解斜三角形问题.

④ 两种方法——（解决新问题的两种方法）将新问题转化为熟悉问题进行解决;运用所学，探究出新的结论来解决.

通过对课堂的小结，进一步回顾、思考学习的过程，并总结出定理应用的结构化特征，从而帮助学生通过结构分析顺利提取相关知识解决问题.

通过以上六个环节，形成完整的正弦定理教学的具体实施路线，如图3所示.

四、结语

数学定理基本教学结构的形成是建立在对定理知识、定理学习、定理教授这三方面综合分析的基础上的. 简单来说，就是建立在“学什么”“怎么学”“如何教”基础上的相对统一与稳定的教学结构. 在此结构下形成的定理教学具体实施路线，能够让有限的定理教学课堂结构更合理、组织更科学、教学更高效. 当然，这一结构还有待在具体实践过程中进一步检验与优化.

参考文献：

[1]李祎. 数学教学方法论[M]. 福州：福建教育出版社，2010.

[2]王富英，吳立宝，黄祥勇. 数学定理发现学习的类型分析[J]. 数学通报，2018，57（10）：14-17.

[3]曹才翰，章建跃. 数学教育心理学（第二版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2006.

[4]付海伦. 数学教学结构系统及其科学化[J]. 教育科学研究，1996（1）：19-21.