挖掘隐含条件 缩小角的范围

张刚

摘 要：本文通过列举几例来说明缩小角的范围的常用策略，如利用三角函数值符号“缩角”，利用三角函数有界性“缩角”，利用三角函数值大小“缩角”，利用“sinα±cosα”重要结论“缩角”等.

关键词：隐含条件;角的范围;三角函数

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）04-0002-04

在三角函数求值、求角问题中，都需要注意角的取值范围，如果所给条件范围合适，则迅速破解，但大多数情况下，题目条件都会设置一定障碍，特别是角的范围.因此，面对三角函数问题，就需要挖掘题目的隐含条件，缩小角的范围，进行合理取舍.

1 利用三角函数值符号“缩角”

例1 已知sin75°+α=13，且0°<α<180°，则sin15-α=.

解析 设t=75°+α，即t-75°=α，sint=13.

因为75°<75°+α<225°，所以75°

又因为sint=13>0，所以75°

又因为sint=13<12，则150°

所以sin15°-α=sin15°-t+75°

=sin90°-t

=cost

=-1-sin2t

=-1-19

=-223.

评注 因为0°<α<180°，所以75°<75°+α<225°，这个范围内cost的符号可正可负，上述解法中缩小角的范围的方法是根据函数值的符号，如由sint=13>0，得到75°

但是这还不够，这个范围内cost的结果仍然有两种可能，因此需要进一步缩小角的范围.本题由于sint=13<12，则0°

2 利用三角函数有界性“缩角”

例2 若α，β∈0，π2，cosα-β2=32，sinα2-β=-12，则cosα+β=.

解析 因为α-β2∈-π4，π2，

α2-β∈-π2，π4，

所以sinα-β2=±12，

cosα2-β=32，

cosα2+β2=cosα-β2-α2-β

=cosα-β2cosα2-β

+sinα-β2sinα2-β

=12或1.

故cosα+β=2cos2α2+β2-1=-12或1.

但是当cosα+β=1时，α+β=0，故舍去.

所以cosα+β=-12.

评注 本题解题过程中，由sinα-β2=±12无法排除其中的任何一个值，因此cosα+β出现两个值-12或1.但是当cosα+β=1时，α+β=0，不满足α，β∈0，π2，所以1应该舍去.因此，三角问题若出现两解情况，一般情况下都是直接计算，最后进行验证，从而排除增解达到缩角的目的，

3 利用三角函数值大小“缩角”例3 （1）已知α，β为锐角，tanα=17，sinβ=1010，求a+2β的值.

（2）已知α是锐角，cosα-π6=513，求sinα-π6的值.

解析 （1）由sinβ=1010，得cosβ=31010.

则tanβ=13，tan2β=2tanβ1-tan2β=34，

tanα+2β=tanα+tan2β1-tanαtan2β=1.

因为α，β∈0，π2，tanα=13<1，sinβ=1010<22，得0<α<π4，0<β<π4.所以0<α+2β<3π4.

故a+2β=π4.

（2）因为cosα-π6=513，

所以sinα-π6=±1213.

又因为α是锐角，-π6<α-π6<2π3，-12

故sinα-π6=1213.

评注 本题（1）的信息隐藏在tanα=17，sinβ=1010这些具体的函数值内部.对于（2），虽然

sinα-π6的值可能是±1213，但是由于-π6<α-π6<2π3，所以-12

例4  如图1，在平面直角坐标系中，以Ox轴为始边作两锐角α，β，它们终边分别与单位圆交于A，B两点，且A，B的横坐标分别为7210，31010.

图1

（1）求tan∠AOB;

（2）求α+2β的值.

解析 因为α，β是锐角，cosα=7210，cosβ=31010，则sinα=210，sinβ=1010.

所以tanα=17，tanβ=13，

tan∠AOB=tanβ-α=13-171+13×17=211，

tan2β=2×131-19=68=34，

tanα+2β=tanα+tan2β1-tanαtan2β=17+341-17×34=1.

因为tanα=17<1，tanβ=13<1，

所以0<α<2β<3π4.

因为在区间0，3π4上正切值为1的角只有一个π4，所以α+2β的值是π4.

评注 本题中，因为0

4 利用“sinα±cosα”重要结论“缩角”

例5 若π2<α<π，且sinα+cosα=105，则tanα=.

解析 将sinα+cosα=105两边平方，得2sinαcosα=-35.

所以2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=-35.

进而tanα=-3或-13.

因为π2<α<π，sinα+cosα=105>0，

所以sinα>cosα.

进而tanα>1，故tanα=-3.

评注 sinα±cosα的值的正负隐含了sinα，cosα的绝对值的大小关系.如果对等式平方，则根据sinα，cosα的正负，可以判断sinα，cosα的正负.对于此类问题，根据符号法则可得到sinα，cosα的大小关系，进而可判断tanα大于1还是小于1.

5 利用辅助角公式求值“缩角”

例6 已知θ∈π2，π，1sinθ+1cosθ=22，则cos2θ=.

解析 由条件，得sinθ+cosθsinθcosθ=22.

即sinθ+cosθ=22sinθcosθ.

所以2sinθ+π4=2sin2θ.

解得θ+π4=2θ+2kπ或θ+π4=π-2θ+2kπk∈Z.

即θ=-2kπ+π4或θ=π4+2kπ3k∈Z.

又θ∈π2，π，得θ=11π12，2θ=11π6.

所以cos2θ=cos11π6=cos2π-π6=cosπ6=32.

评注 利用三角函数关系构造方程（组）直接求解出sinα，cosα的值后，借助三角函数辅助角公式，根据π2<α<π很容易舍掉多余的解，实现缩角目的，这种方法比较容易掌握.

6 利用三角函数单调性“缩角”

例7 已知锐角α，β满足sinα=255，cosβ=1010，则α+β=（  ）.

A.π4 B.3π4

C.π4或5π4 D.π4或3π4

解法1 因为a，β为锐角，

所以cosα=55，sinβ=31010 .

进而cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ=55×1010-255×31010=-22 .

又0<α+β<π，所以α+β=3π4.

解法2 因为a，β为锐角，

所以cosα=55，sinβ=31010 .

进而sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ=255×1010+55×31010=22.

因为sinα>sinπ3，cosβ

所以α+β>2π3.

故α+β=3π4.

评注 采用正弦求值，由于正弦函数在区间0，π上不单调，会出现两解，舍掉增解不容易掌握，而采用余弦求值，由于余弦函数在0，π上为单调递减，角度唯一确定，不需要讨论.可见在某个区间内求角度大小，采用在该区间上单调的函数更容易确定缩角，排除增解求出数值.

7 利用三角函数合理公式“缩角”

例8 已知在△ABC中，sinC2=104.求cosC+π6的值;

解析 因为sinC2=104，所以cosC=1-2sin2C2=1-2×1042=-14.

在△ABC中，

sinC=1-cos2C=1--142=154，

所以cosC+π6=cosCcosπ6-sinCsinπ6

=-14×32-154×12=-3+158.

评注 已知sinC2=104，求cosC2还是可行的，再利用二倍角求得sinC=154，但是再求cosC就要讨论角C是锐角还是钝角，而且还很难判断.而本题采用的是直接利用余弦的二倍角抢先求出cosC=-14，那么求sinC=154就轻而易举了.可见选择合理公式和求解路径，可以实现缩角目的，减少甚至避免討论.

参考文献：

[1] 王怀学，曹凤山.高中数学经典题型全解析[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2018.

[2] 杨文彬.高中必刷题·数学·必修第一册[M].北京：首都师范大学出版社，2020.

[责任编辑：李 璟]