一元三次方程的巧解模型构造及其应用

姚张松 程黎明

摘 要：2017年版高中数学课程标准中强调的数学课程核心素养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模等，针对当前提高学生数学能力的迫切需求，思考中学生如何根据已经具备的数学知识解决新问题的过程是必要的.本文在中学生已经具备求解一元二次方程，以及高中拓展的行列式知识的基础上，利用换元的技巧，把特殊的一元三次方程转换成一元二次方程，得出了一元三次方程的解法.通过详细展示解决问题中的思维过程，来体现其中的数学教育价值，从而更好地达到课程标准中的数学教育目标.同时，推广研究结果，得出很多新的结论.

关键词：数学教育;一元三次方程;行列式

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）04-0054-04

华为总裁提到，是数学帮助华为获得了制定5G标准的先机.要注重数学方法的突起.5G时代同时给数学教育提出了更高的要求，呼唤着数学教育应该上一个更高的台阶.

其实，著名的数学家、数学教育家波利亚提出：“现代探索法力求了解探索过程，特别是解题过程中典型有用的智力活动”.数学教师如果能在教学中践行这种智力活动的过程，毫无疑问，这为学生将来运用数学方法打下扎实的基础，这样的数学教学是高质量的数学创新教学.

下面，我们通过一个例子来展示问题解决的智力活动过程.中学生都会解一元二次方程，教师能不能帮助学生进一步提高认知？解一个一元三次方程.

1 通过类比得出解决问题的思路“类比是一个伟大的引路人”“用求根公式解一元二次方程”这是中学生的回答和做法.然而，我们现在可没有现成的求一元三次方程的求根公式.让我们回到求解一元二次方程的过程，或许能给我们带来启迪和灵感.

一元二次方程的一般形式是x2+ax+b=0，当a≠0时，古人曾用过作变量代换：

令x=y-a2，

方程变为y2=a2-4b4.

即y=±a2-4b2.

从而x=-a±a2-4b2.

问题获得解决.

这种解法揭示了一种思维过程，其模式如下：

简化方程（变量代换）开平方运算（数学模型）问题解决

一元三次方程的一般形式是

x3+ax2+bx+c=0.

借用古人的做法，作变量代换：

令x=y-a3，方程变为：

y3+（b-a23）y+c+227a3-13ab=0.

由于a，b，c都是已知数，所以我们可以把上述方程简化为：

y3+py+q=0.（其中p，q为已知数）①

当p=0或q=0时，方程①很容易通过开方运算求解.以下讨论均在p≠0且q≠0情形中进行.

现在的问题是：在解一元二次方程的思维链的中间那一环断裂，机械的照搬无济于事，显然，我们要寻求引进或建立一种适用的数学模型.

2 寻找熟悉的且类似的模型

“看看未知数！试想起一个具有相同或相似未知数的熟悉的问题来”.

解方程①等价于我们寻找y3+py+q因式分解式.它至少有一个一次因式y+α，于是y=-α是①的一个根，求出①的一个根后，剩余两个根也就好求了，这提示我们所寻求的数学模型因具有两种不同的计算方法，一种算出①式的左边，一种算出

①的因式分解式，我们自然想到行列式的算法，它既有对角线算法，又有行列式性质算法，且两种算法等价.

①是一个一元三次方程，我们自然选择三阶行列式，三阶行列式用对角线法计算，有六项，三正项，三负项.每项由不同行不同列的三个数相乘得到.先看主对角线上的三个数，因为①的左边三次项前面的系数是1，所以主对角线上三个元素取y可以满足上述条件，当然，三项乘积为y3有各种取法，例如：1，y，y2;1，1，y3等，但为了各行各列之和有公因式可以提取，我们只能选择y，y，y这种，其余六个数我们可以通过数学实验来确定.

设D（y）=ya1a2a3ya4a5a6y，则

D（y）=y3-（a2a5+a1a3+a4a6）y+a1a4a5+a2a3a6.

D（y）与方程①的左边已经非常接近了.要使

D（y）有公因式可以提取，要么各行元素之和

相等，要么各列元素之和相等，为此，六个常数元素中任取三个或三个以上的元素都将破坏这个条件.六个元素的配置只能是两种可能，第一种：

D（y）=ya1a1a1ya1a1a1y=y3-3a21y+2a31，

D（y）=（y+2a1）（y-a1）2，

三根为：y1=-2a1，y2=y3=a1.

D（y），a1应是可求的已知，否则构造不出模型，而后一个等式又表明a1是三次方程的根，它又是不可求的未知，a1的双重身份明显违背了同一律，说明这样的模型是不存在的.所以六个数相等虽然简单但不能这样取.

第二种，假设六个数中有两个任取，例如a1，a2任取，a3，a4，a5，a6等于a1或a2，在保證有公因式可提的条件下，D（y）有下列两种形式：

当各列元素之和相等时，

D1（y）=ya1a2a1ya1a2a2y

或D2（y）=ya1a2a2ya1a1a2y，

当各行元素之和相等时

D3（y）=ya1a2a1ya2a2a1y

或D4（y）=ya1a2a2ya1a1a2y.

这四种情形的行列式有两种结果，第一、三情形的行列式为：

D（y）=y3-（a21+a22+a1a2）y+a21a2+a1a22

=（y+a1+a2）（y-a1）（y-a2），

第二、四情形的行列式为：

D（y）=y3-3a1a2y+a31+a32=（y+a1+a2）[y2-（a1+a2）y

+a21-a1a2+a22]，

D1（y）=D3（y），按性质计算得到的因式分解式表明，a1，a2，-a1-a2是方程①的三个根，而与前面情形一样，a1，a2违背了同一律，说明这样的数学模型是不存在的.

3 调整模型，解决问题

由于D2（y）=D4（y），我们只需讨论D2（y）.

D2（y）按两种计算方法相等，即有：

y3-3a1a2y+a31+a32

=（y+a1+a2）[y2-（a1+a2）y

+a21-a1a2+a22].

为了求出a1，a2，比较①的左边与y3-3a1a2y+a31+a32，可得

-3a1a2=p，a31+a32=q.

进而可得a31a32=-p327，a31+a32=q.

我们发现a31，a32是一元二次方程z2-qz-p327=0的两个根，然后在复数范围内对a31，a32开立方根，可分别得到三个a（i）1，a（i）2（i=1，2，3），再根据a1a2=-p3适当配对，得到①的根-a1-a2.至此，我们解决了任何一个一元三次方程的求根问题，其思维模式如下：

简化方程（变量代换）

引进三阶行列式作数学模型问题解决

下面根据我们思维的过程与结果求解一个一元三次方程：例1 解方程y3-3y+1=0.

解析 这里p=-3，q=1，于是a1a2=1，a31+a32=1.

即有a31a32=1，a31+a32=1.

解一元二次方程z2-z+1=0，得

a31=12+32i=cosπ3+isinπ3，

a32=12-32i=cos5π3+isin5π3.

对a31，a32开立方，各得到三个值，为了方便起见，分别记为a（i）1，a（i）2.即：

a（1）1=cosπ9+isinπ9，a（2）1=cos7π9+isin7π9，a（3）1=cos13π9+isin13π9，

a（1）2=cos5π9+isin5π9，a（2）2=cos11π9+isin11π9，a（3）2=cos17π9+isin17π9.

因为a1a2=1，

而a（1）1a（3）2=a（2）1a（2）2=a（3）1a（1）2=1，

所以-（a（1）1+a（3）2）=2cos8π9，

-（a（2）1+a（2）2）=2cos2π9，

-（a（3）1+a（1）2）=2cos4π9.

所以方程的三个根为：

2cos2sπ9（s=1，2，3）.

4 回顾解决过程，整理解题思路

检查问题解决的每一步是否对是回顾不可缺少的步骤，另外，通过验根可以更有力地说明你的思维方向、过程、结果的正确：

y3-3y+1

=8（cos2sπ9）3-6cos2sπ9+1

=2[4（cos2sπ9）3-3cos2sπ9]+1=2cos2sπ3+1

=2×（-12）+1

=0.

在解①的过程中，我们完全可以导出①的求根公式，让学生记住公式就行了，然而，我们没有这么做，因为“仅仅靠记忆不足以产生好念头”，我们希望学生理解、掌握、运用解决问题的方法和策略，并能在今后遇到新的问题时利用它们披荆斩棘，所向披靡.

对于例题，利用韦达定理可知：

cos2π9+cos4π9+cos8π9=0，

cos2π9cos4π9+cos4π9cos8π9+cos8π9cos2π9

=-34，

cos2π9cos4π9cos8π9

=-18.

由y3-3y+1=Π3s=1（y-2cos2sπ9）， 令y取不同的数，可以得到更多的三角恒等式.

在教师的引导下，让学生亲身参与数学发现的全过程，这将会极大激发他们学习数学的兴趣和积极性，掌握科学的探索方法会让他们受益终身.当然，教师要具备引导的能力，对教师本身也提出了更高的要求，“寻找一个好问题，最好是从前未见过的”，在学生已有认知的基础上，启发、帮助学生“跳一跳把桃子摘下来”，这才是高水平、高质量的数学教学，让我们一起来努力实践之.

参考文獻：

[1]

中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2] G·波利亚.怎样解题[M].北京：科学出版社，1984.

[3] 祁平.基于探究的数学教学的哲学思索[J].数学通报，2014，53（08）：22-28.

[4] 刘来福，王尚志，张贻慈.呼唤应用意识 提高数学素养——评介第一届北京市高中数学知识应用竞赛复赛试题[J]. 数学通报，1998（05）：40-42.

[责任编辑：李 璟]