线面关系的证明方法探究之“一找二作三证明”

周关保

摘 要：本文首先对 “一找二作三证明”的证法进行剖析，然后结合高考真题，从线面平行、线面垂直两方面围绕“一找”和“二作”进行详细地探究，同时对“一找”“二证”进行简单的小结.

关键词：立体几何;线面关系;证明方法;探究

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）04-0064-03

立体几何中，空间的线面关系有三种：平行、相交和线在平面内，其中，线面垂直是线面相交的一种特殊情况.纵观历年

试题，发现立体几何中

考得最多的是证明“线面平行”及“线面垂直”的问题或需要转化为这两种关系再证明的题型.由此，线面平行及线面垂直的关系是立体几何中证明题型的核心内容.

1 证明方法 “一找二作三证明”的剖析

“一找二作三证明”是笔者在教学实践中总结的一种证明线面平行或线面垂直

方法，此证明方法分为三步，具体的操作流程如下：

第一步，就是“一找”：（1）根据直线与平面平行的判定定理，要证明线面平行，只需要在这个平面内“找”出一条直线与已知直线平行即可.（2）根据直线与平面垂直的判定定理，要证明线面垂直，就要在此平面内“找”出两条相交的直线分别与此直線垂直.其次是“一找”的原则：一是要“找”的都是线线平行或线线垂直，二是要在一个平面图形中“找”.

第二步，就是“二作”：在分析题意之后，若不能直接“找”到所需要证明的线线平行或线线垂直的关系，则进入 “二作”的程序.从三个方面去理解“二作”，第一方面，“作”就是作辅助线或辅助平面，有简单的“作”或复杂的“作”;第二方面，每一次“作”的时候都要围绕证明所需去“作”，要证平行关系就去“作”线线平行，要证垂直关系就去“作”线线垂直;第三方面，要把线线平行或线线垂直的关系“作”在一个平面图形中.

第三步，就是“三证明”：经过第一或第二步的操作之后，再按照分析的思路，快速而且规范地写出证明命题的整体过程.在“三证明”中要注意三点，第一，数学符号要标准，几何语言表述要规范;第二，书写要有层次性;第三，最后表述证明结果时要严格遵守判定定理的条件.

2 理解题意，运用“一找”

2.1 应用举例

例1 如图1，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1.求证：AB∥平面A1B1C.

证明 因为ABCD-A1B1C1D1是平行六面体，所以四边形ABB1A1是平行四边形.

所以AB∥A1B1.

又因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.

评析 本题直接运用“一找”就可以解决问题.阅读完题目，直接在平面A1B1C内就可以找到A1B1∥AB，从而运用线面平行的判定定理证明，这种是显性的证明题型.若要证明面面平行，则需转化为两次线面平行的证明，就要在其中一个平面内“找”两条相交的直线分别与另一个平面内的两条相交直线分别平行.

例2 如图2，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=5，AC=AA1=2.

求证：AC⊥平面BEF.

证明 连接BF，因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，所以四边形ACC1A1是矩形.

又因为E，F分别是AC，A1C1的中点，

所以EF∥CC1.

则EF⊥平面ABC.

因为AC平面ABC，所以EF⊥AC.

在△ABC中，因为 AB=BC，所以 △ABC是等腰三角形.

又因为E是AC的中点，所以BE⊥AC.

又因为EF，BE平面BEF，且EF∩BE=E，

所以AC⊥平面BEF.

评析 本题直接运用“一找”就可以解决问题.由已知能够在平面BEF内找到直线EF、直线BE分别与直线AC垂直，从而运用线面垂直的判定定理证明.在此过程中，还运用了线面垂直的性质定理及等腰三角形的中线进行转化，这也是要“找”的重要内容.

2.2 “一找”依据

2.2.1 线线平行的常见“找”法依据

（1）中位线的平行;

（2）平行四边形的对边平行;

（3）平行线的传递性;

（4）线面垂直的性质定理;

（5）面面平行的性质定理.

2.2.2 线线垂直的常见“找”法依据

（1）直角三角形：勾股定理;

（2）等腰或等边三角形：底边的中线（或顶角的平分线）与底边垂直;

（3）矩形或正方形：两邻边互相垂直;

（4）菱形：对角线互相垂直;

（5）圆：半圆（或直径）所对的圆周角是直角;

（6）线面垂直的性质定理：若一条直线垂直于平面，则这条直线垂直于平面内的所有直线.

3 理清题意，运用“二作”

3.1 应用举例

例3 如图3，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点.

图3

求证：PO⊥平面ABC.

证明 在△PAC中，因为PA=PC=4，且O为AC的中点，所以PO⊥AC，且PO=23.

在△ABC中，因为AB=BC=22， AC=4，

即AB2+BC2=AC2.

所以△ABC是等腰直角三角形.

连接BO，且O为AC的中点，则BO=2.

在△PBO中，因为PO=23，BO=2，PB=4，

即BO2+PO2=PB2.

所以 PO⊥BO.

又因为AC，BO平面ABC，且AC∩BO=O，

所以PO⊥平面ABC.

评析 本题是证明线面垂直问题，要证明PO⊥平面ABC，就要在平面ABC内“找”两条直线与直线PO垂直.由题意可知，PA=PC，点O为AC的中点，易知PO⊥AC;另一条直线就要进行“作”的操作了，再结合三棱锥的底面ABC可知，△ABC是一个等腰直角三角形，故需要连接BO，这样轻易地“作”出了另一条所需的直线，再由线面垂直的判定定理证得结论.

3.2 “二作”小结

在“二作”中，恰当地“作”出满足题意的辅助线或辅助面对解题带来很大的便捷.对于一些复杂的题型，常常需要找到准确的切入点，运用“二作”构造辅助线或辅助面，快速地把立体几何问题转化为平面几何问题，从而打开证明思路.

“二作”中常用的“作”法：中位线、对角线、中线、垂线、过特定点“作”平行线或垂线、构造辅助平面等.前面“一找”小结中所有的“找”法依据都可以运用.

4 综合实践，探析“一找二作三证明”

例4 如图4，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点.

求证：平面AMD⊥平面BMC.

图6

分析 本题是证明面面垂直的问题，由判定定理可知，需要在一个平面内“找”另一个平面的垂线，从而把问题转化为线面垂直的证明问题，再进一步就是要去“找”线线垂直，即在一个平面内确定一条直线垂直于另一个平面的两条相交直线.首先，因为半圆弧CD所在的平面是半圆，点M刚好在半圆弧上，CD是半圆的直徑，则DM⊥CM;其次，因为矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，且两个平面相交于CD，根据面面垂直的性质定理可知，BC⊥半圆平面，则BC⊥DM.由此，所需要的垂线均已“找”到，从而问题得证.本题就是简单运用“一找”即可证明.

为了更好地运用“一找二作三证明”的证法，在“一找”中务必要记住“在同一个平面图形中寻找两线的平行关系或垂直关系”;在“二作”中要时刻关注着已知条件的特殊点、特殊线及特殊图形，在同一个平面图形中“作”出两线的平行关系或垂直关系;在“三证明”中，要注意规范书写证明过程，做到层次分明.立体几何的学习有利于培养和发展学生的空间想象能力和逻辑推理能力，有利于提高学生的数学思维能力和数学迁移能力，有利于学生树立转化的数学思想.因此，教师在实际的教学中，要站在运用数学思想方法和思维方式的高度上来指导教学，有意识地渗透立体几何所体现的各种数学思想，注意学生常犯的错误，加强对证明方法的训练，严格要求学生运用规范的几何语言书写证明步骤.

参考文献：

[1]

陈树兴.例谈高三立体几何位置关系证明难点突破——平行关系的证明[J].学周刊，2017（36）：42-43.

[责任编辑：李 璟]