经历问题解决过程是学生建构算理的关键

张莉 孙晓红

【摘 要】经历正确的学习过程是帮助学生构建正确认知的关键。目前的数学教学多数注重各种外在的学习形式，忽略培养学生正确的学习途径，比如以方法代替道理，在计算教学中以所谓的“经验”算法代替学生“算理—算法”的构建。本文以“二十以内进位加法”为例，提出“如何让学生主动建构算理，并自主提炼算法程序”的较为科学的学习方法。

【关键词】经历 问题解决 联系 建构 算理

目前，“20以内进位加法”的教学呈现两种情况：一是讲授计算方法。教师讲解算十、拆数、凑十、求和的过程，强化学生对凑十方法的掌握。二是将“凑十法”的过程具象化。教学活动让学生在操作过程中体会“凑十法”的基本过程，通过形象帮助学生建立“十”的表象，理解“满十进一”的概念。将“凑十法”的过程具象化的教学方法看似很生动，但是学生依然要经历算十、拆数、凑十、求和的思考过程，学习过程中目标不清晰、步骤多、过程不连续，给学生学习带来极大的挑战。

相关研究显示，很多学生在“二十以内进位加法”的学习中无法理解“凑十法”的算理。据此，很多教师认为，“凑十法学不会不强求、会算就行”，甚至是要求学生生硬记忆。而学生由于不理解凑十的目的和要解决的问题，只能通过背诵口诀、生硬记忆运算规则等完成计算任务，无法从根本上理解算理。因此，让学生主动建构算理，并自主提炼算法程序，成为改变这种教师难教、学生难学现状的关键。

知识的获得来源于对问题的认识和解决过程。落实到计算教学，则表现为让学生在问题解决过程中联系已有知识去建构算理并提炼算法，进而将新知识内化为自己的认知结构。在“20以内进位加法”的教学过程中，教师要引导学生将“建构20以内进位加法的计算方法”作为任务，以“如何将‘进位加法’转化为‘不进位加法’”为问题，让学生在问题解决过程中经历“进位加法”向“不进位加法”转化的客观过程，建立新知识与已有知识的本质关联，以理解进位加法的算理并掌握算法。依据该原理和逻辑，本设计试图捋清“20以内进位加法”教学过程中学生的知识建构路径，供研究者和实践者修正和调试。

一、将进位计算问题转化为不进位计算问题

基于问题解决过程的教学设计让学生通过明确问题进而把握学习的目标和意义，在方法与结果的关系探索中理解知识的意义，进而真正理解知识的本质。这要求在教学中，首先要帮助学生明确问题，从而为学习过程定向。即将“20以内进位加法”转化为学生熟悉的“10加几”的不进位计算，以明确20以内进位加法算理建构所要解决的根本问题。这样的设计依据知识的结构性发展规律，揭示20以内进位加法的学习过程及其内涵的算理，将学生的算理学习落实到基于问题解决的知识建构与发展过程中。在教学设计中，这一定向是通过两个过程来实现的：

一是通过“10加几”的列式和计算任务，激活学生已有的经验。“问题提出的成功与否与学生是否具有相应的图式有关”，教学设计应当帮助学生明确与新知识相关的已有知识，即学生已经学会的20以内不进位加法的表达、计算。因此，教学需要设计与“10加几的列式方法和计算结果”相关的学习任务。以苏教版教材为例，教师可以提问：“图中的10个苹果与1个苹果合在一起的算式是什么？结果是多少？”“图中的10个苹果与2个苹果合在一起的算式是什么？结果是多少？”

二是根据新旧知识之间的本质联系，提出学习新知要解决的关键问题。利用已有知识，让学生感知到“10加几”与“20以内进位加法”之间的联系，从而明确新知识学习的关键问题。据此，教师可以根据需要提问：“9个苹果与4个苹果合在一起的算式是什么？”“根据10+1=11和10+2=12，同学们有办法算出9+4等于多少吗？”利用这样的问题引导学生进行探究，进而明确解决20以内进位加法问题的思考方向。这一过程将新问题转化为学生能够用已有知识解决的问题，为学生良好学习策略的学习和创造性思维的培养提供支撑。

为了有效激活学生的已有经验，教师需要使用配图。由于学龄初期儿童的意识活动过程以感知过程为主，低年段的“算理”也是由感知来实现的。即学生的“理”是通过活动感知的，从“感”中“悟”出“理”来。因此，进位加法算理的建构需要具体事物的支撑。同时，为了和后续进位加法算理建立一贯的联系，问题提出阶段需要使用与后续学习类似的配图，便于学生感知到知识之间的联系，以有效遷移。在有效使用配图的基础上，教师需要提问并列写“10加几”的算式和结果，让学生感知到“10 加几”的列式方法与计算方法的联系。

二、利用不进位计算理解进位计算算理

利用不进位计算理解进位计算算理是解决问题的方法，也是学生实现“知识重组、转换，以实现概念转变”的方法。这一学习过程需要关注两个问题：

一是学生明确所要探究的具体问题。明确的问题能够有效地将知识与思考过程整合，使得学生的学习过程成为一个连续的链条，并通过建立知识之间的实质关系实现认知结构的完善。这样设计能从根本上解决“凑十法”教学中存在的因为缺乏明确的问题指引，而使得算法程序碎片化的问题。在前一阶段目标定向之下，这里的设计要让学生对自己提问：“如何将进位加法变成‘10加几’？”这样把任务明确为只要“把9+4变成10加几，就能算出得数是十几”。即“怎么才能把9个苹果加上4个苹果（9+4），变成10个苹果加上几个苹果呢（10加几）？”有了明确的问题和任务，学生就有了学习新事物的内动力，也有了思考的方向。

二是在问题解决过程中理解算理。在问题解决中，学习就是在经验中学习，就是“在我们对事物有所作为和我们所承受的结果之间建立前前后后的联结。而行动就变成一次寻找世界真相的实验;而承受的结果就变成了教训——发现事物之间的联结”。也就是学生对知识意义的理解要落实到知识产生的背景和过程之中，只有这样，个体才能对知识的意义和合理性做出判断。在解决“如何把9+4变成10加几”这一问题中，学生的学习分为两个阶段：

其一，通过数到十，再数剩下的，理解进位的算理。在学习过程中，学生根据主题图，先用9个苹果加上1个苹果，变成10个苹果。即利用10以内加法的计算能力首先把9变成10。之后，再解决“4个苹果中有一个苹果加到9个苹果里面，还剩几个苹果”的问题。学生进而利用数苹果的过程和10以内减法的计算能力得出结果。

其二，学生回顾与总结算理。为了理解算理，教师引导学生梳理和回顾算理形成的过程。在这一过程中，教师可以提问：“同学们现在能算出9个苹果加上4个苹果是多少个苹果了吗（9+4=？）？”学生回顾思考过程，提出可以将9+4变成10+3，并列写“9+4=10+3”“10+3=13”的算式。经历这样明确的思考过程，学生就能够切实理解20以内进位加法“先数到十，再数剩下的”这一算理，并利用不进位加法的计算能力得到计算结果。

三、掌握进位计算算理并总结算法

本阶段在理解算理的基础上，将算理凝练成算法。操作过程中要注意两个方面的问题：一是重复算理过程以掌握算法。教师引导学生基于算理过程总结算法，需要重复算理建构所经历的步骤，即根据情境列写“9加几”的算式，从数到十理解先算十，再数剩下的形成“10加几”的新算式，从而掌握“先算十再加和”的算法。这个过程需要将理解算理时所用到的具象和数进行替换，以加深学生对算法本质的掌握。由于这个过程是逐步用符号表达具象的过程，部分学生在学习过程中可能会存在运用不熟练、理解不彻底等现象。教师要注重具象经验的配合，给予学生更多的学习体验，不断加深理解，强化学生用算式表达计算的过程，进而真正掌握计算方法。

二是通过感知过程解决逻辑推理难题。在学习20以内进位加法之前，学生学习了分或合的知识，但缺乏将分与合结合进行先分后合的计算能力，因此难以抽象地理解算法各个步骤之间的关系。同时，将拆分后的数统计起来，需要运用加法交换律与加法结合律，而此部分知识学生尚未学习。因此，“9+4=10+3，10+3=13，故9+4=13”是一个无法理解的数字推理问题。为了明确“20以内进位加法”与“10+几”的相等关系，教师一定要借助具象引导学生将“9+4”的计算问题转化为“10+3”的问题，并强调“9+4”与“10+3”的相等关系。从而，自然经历将“9+4”变成“10+3”的过程，得到“9+4=10+3”，而“10+3=13”。并在最后将“9+4=10+3”和“10+3=13”放到一起，完成学生对算法的感知。

总体上，本设计遵从认知结构发展原理，强调新知识与已有认知结构的实质性联系，并依托问题解决过程，让学生经历新知识的产生过程，以真正理解知识的意义。从而，讓学生在学习过程中利用已有知识解决新问题，持续实现认知结构的发展和完善。

注：本论文的核心理论来源于“学习过程培养课程”。本文是辽宁省教育厅项目科学研究经费项目“学会学习素养在小学数学中的培养研究”（项目编号：WQ2019007）的研究成果。