由“一节课”引发的课题研究

吴建成 彭亚红

【摘 要】为了改变当前数学课堂教学中数学史“高评价，低应用”的现状，笔者围绕“数学史及其教育价值是什么”“为什么要在数学课堂教学中融入数学史”“如何在数学教学中发挥数学史的教育價值”三个问题展开了实践研究。在研究过程中，主要以行动研究为主要研究方法，以提高课堂教学实效、促进教师的专业成长为目标，通过文献综述、问卷调查、教材梳理、案例分析、课堂实践等途径引领教师在实践中进行探索研究。

【关键词】数学史 数学史教育价值 小学数学

一、由“一节课”引发的思考

在“用字母表示数”的新授课上，学习新知后，教师利用多媒体课件出示了“你知道吗”：“人们认识用字母表示数的过程是很漫长的。早在3800年前，古埃及人用‘堆’表示特定的数。公元4世纪前后，古希腊学者丢番图开始用希腊字母表示数和一些运算，成为用字母表示数的先驱。这之后又经历了1200年，16世纪的法国数学家韦达才有意识地、系统地用字母表示数，因此，他被尊称为‘现代数学之父’。”播放时，教师环视课堂，学生看着课件，眼神空洞、一脸茫然，显然这段音频和文字没有触动他们的“情”和“知”。在练习环节，仍然有部分学生质疑“4+x既可以表示一种关系，也可以表示一个结果”这一结论。在后续的解决问题的过程中，甚至有的学生不知道该设什么为x。

当问及教师为何在新知后出示这样一段“数学史”时，该教师认为数学史在数学教学中有重要的作用，想借此丰富学生的数学文化知识，激发其数学学习的兴趣。但是，效果却与预想相距甚远。为什么会出现这些问题呢？带着疑问，笔者首先对“数学史及其教育价值是什么”“为什么要在数学课堂教学中融入数学史”这两个问题进行了追问和探寻。

二、数学史及其教育价值是什么

（一）什么是数学史

为了更好地认识数学史，我们查阅了相关文献。数学史专家李文林在其著作中将数学史定义为：研究数学的发生、发展过程及其规律的一门学科。它主要讨论的是数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系。结合学生的认知发展规律，笔者对小学阶段的数学史有了自己的理解。小学阶段涉及的数学史并非完全是学术的、一般性的有关数学学科发生、发展过程及其规律性的知识和历史事实，而更多的是教师根据教学对象的不同、教学目标的要求“再创造”的数学史，即数学名人逸事、数学典故、数学名著以及数学文化等。

（二）什么是数学史的教育价值

数学史有哪些教育价值呢？带着这个问题，笔者查阅了有关数学史教育价值的研究文献。研究后发现，很多学者都从不同的角度论述了数学史的作用、功能及价值，研究比较零散，不够系统。于是，笔者参照有关教育价值的研究将数学史的教育价值分为内在教育价值和外在教育价值。

数学史的内在教育价值指数学史在促进数学学科生存和发展中所起的作用与意义。如沈南山和黄翔指出：数学史具有明理、哲思、求真三重教育价值。姚志敏等则从激发学生数学学习兴趣，活跃课堂气氛;促进概念、公式、定理的学习;帮助学生掌握数学思想等方面论述了数学史的教育价值。

数学史的外在教育价值是数学史对外部事物即人类主体所具有的作用和意义，相对于内在教育价值而言，它是一种外显的价值。如数学史的文化教育价值展现出了数学家们的价值观，彰显着他们的奉献精神;数学史的德育教育价值突显了他们的榜样力量和责任感;数学史的美学教育价值使学生在体味数学美的同时，美化心灵，提升审美素养。

据此，笔者对数学史的教育价值进行了梳理概括，具体如图1所示。

三、为什么要在数学课堂教学中融入数学史

凡事只有明确方向，才能有的放矢。因此，在追问“为什么要在数学课堂教学中融入数学史”时，笔者查阅了相关的政策背景并进行了进一步的调查分析。

（一）教育政策背景

2016年9月13日，《中国学生发展核心素养》总体框架正式发布。“总体框架”指出，学生发展核心素养，主要指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。在数学学科领域，数学史作为最具权威的课程资源及数学文化的重要载体，对在数学学科教学中促进学生人文底蕴素养及科学精神的形成起着重要的作用。

（二）课程改革的要求

数学课程标准指出，数学文化作为教材的组成部分，应融入整套教材中。为此，教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用，以及数学发展史的有关材料，帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，提高学生学习数学的兴趣，感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美。

（三）教育实践中的问题

笔者通过对校内56名数学教师进行问卷调查后发现：100%的教师认为数学史在数学教学中有重要的作用;71%的教师认为会在课堂教学中设计数学史方面的知识，但在呈现方式上，89%的教师只是在导入新课或在新课结束后作为知识拓展呈现给学生;86%的教师对于如何将数学史与数学思想的教学进行有机结合存在困惑。由此可以看出，数学史在小学数学教学中的应用存在“高评价，低应用”的现象。

究其原因，一方面是“依考定教”的现象阻碍了数学史在课堂教学实践中的应用;另一方面是教师对于数学史和数学史教育价值缺乏深层次的理解。正如中国数学史专家李文林先生所言：“数学史除了为历史、为数学而历史之外，还应该为教育而历史。”数学史与数学教育的貌合神离，主要是因为大部分教师还没有确立“为教育而历史”的意识，没有真正领悟教育史的真正教育价值，而更多的只是关注自己的课堂是否穿上了华丽时尚的“数学文化”外衣。

由此可以看出，无论是从国家教育政策还是教育改革的要求以及解决教育实践中的问题来看，将数学史有效融入数学教学是非常必要而且重要的。据此，笔者确定了如何在数学教学中发挥数学史的教育价值，以提高数学课堂教学实效，培育核心素养，实现育人目标这个研究方向，并于2017年6月以“小学高年级教学中发挥数学史教育价值的研究”为题立项为北京市教育科学“十三五”规划2017年度一般课题。

四、如何在数学教学中发挥数学史的教育价值

如何在数学教学中发挥数学史的教育价值？为了追寻这个问题的答案，笔者和学校的5名骨干教师以及6名青年教师组成研究团队，开始了为期3年的教学研究。

我们首先从研究对象出发确定第一步研究的内容，即通过问卷调查的方式从学生和教师两个视角全面了解数学史的教学现状及存在问题，再聚焦教材，以人教版教材为例，调查分析数学史在小学数学教材中的编排现状。在此基础上从宏观到微观，用理论指导实践，开始将数学史融入小学数学教学的策略探究、案例研究、校本教材开发、数学史专题教育实践中。

（一）研究内容

（1）数学史融入小学高年级课堂的现状分析。编制师生调查问卷，调查分析当前数学史在本校数学课堂中的应用现状如何，存在哪些具体问题及影响因素。

（2）数学史在小学数学教材中的编排情况分析。以人教版教材为例，以课题研究团队教师为引领，调查梳理数学史在小学数学教材中的编排现状，全方位分析教材中数学史的教育价值。

（3）将数学史融入小学数学教学的原则及策略探究中。初步提出评价是否发挥数学史教育价值的三个原则：

①过程性原则，即教学设计中是否关注数学本身发展的历程。

②一致性原则，即学生学习过程与数学本身发展过程是否一致。

③延展性原则，即数学史的应用是否引发学生深入研究数学的愿望和兴趣。

（4）数学史融入小学数学教学的案例研究中。

（5）基于数学课程标准梳理适合小学高年级渗透数学史的相关史料，开发适合本校高年级学生的数学史校本教材。

（6）基于数学史校本教材及数学史典型案例，开展数学史专题教育实践。

（二）研究路径

（三）研究成果

1.数学史融入数学教学的策略研究

对于这方面的研究，不少专家和教师都提出了自己的见解。例如，汪晓勤教授按照数学史与数学知识的关联程度，在整合和改进国外学者Fauvel、Jankvist以及Tzanakis & Arcavi研究成果的基础上，将数学史融入数学教学的方式总结为四类：附加式、复制式、顺应式和重构式。为了便于一线教师理解和实践，我们在汪晓勤团队研究成果的基础上，聚焦数学基本思想方法的教学及其目标的达成来探究数学史融入数学教学的策略。

（1）附加式——借数学史创设问题情境，感受数学思想方法。

（2）复制式——探究数学名题，在练习中巩固数学思想方法。

（3）顺应式——古为今用编制数学问题，在探究中感悟数学思想方法。

（4）重构式——重构数学史，经历数学思想方法的形成过程。

2.数学史融入数学教学的案例研究

（1）数学史融入数学教学的案例开发流程。

在将数学史融入数学教学的案例研究过程中，我们反复设计，不断总结，逐步探索出数学史融入数学教学的课例开发流程，如图3。

（2）典型案例介绍。

通过梳理“用字母表示数”的发展历史可知，代数符号的发展经历了漫长的过程。它打破了从“确定的数”到“不確定的数”之间的壁垒，实现了由算术向代数的重大跨越。代数符号的发展大致经历了三个主要阶段：文辞代数阶段、缩写代数阶段和符号代数阶段。用字母表示数的历史发展顺序为：表示特定的数—表示未知数—表示一类数。看似简单的两步，却跨越了1200多年的历史长河。

根据历史相似性原理，在数学概念发展历史中，数学家遇到的困难对学生来说也会是一个难题，那么我们便可以预料，对于学生而言，用字母表示“一类数”是最大的难点。因此在进行教学设计时，我们依据用字母表示数的历史发展轨迹，设计了相应的活动和问题。这里的设计并非是要严格按照数学史来设计问题，而是结合学生的认知水平，对历史进行重构和再创造，将概念历史的“历史形态”转化为“教育形态”。 据此，在新课伊始，我们结合学生已有的运用字母的各种经验（用字母来表示特定的意义和数值）进行回顾（如图4），为新知构建做好铺垫。

此外，在之前的教材中，缺少了让学生充分体会到用字母表示未知数这一知识点的教学内容，且在之前的学习中学生习惯了用具体的数字，对于用字母表示数存在抵触心理，因此在教学过程中需要教师积极引导学生体会到字母出现的必要性。据此，教师在教学设计时以“概念表示方法的由来及发展变化”为切入点，将例题做了调整，并补充了相关史料和实例，以丰富学生的感知。在调整后，学生对于用字母表示数的认知变成了一个循序渐进的动态过程：用字母表示特定的数—用字母表示未知的不确定的数—用字母表示可变的数—用字母表示数量关系——用字母表示一类数。

3.数学史校本教材开发

在数学史融入数学教学的实践过程中，课题组教师还参照数学课程标准及人教版数学教材，为不同年级学生精心编写了数学史校本教材——“中国传统益智课程”，其中包含 24个数学史教育专题（见表1）。校本教材中采用多种方式呈现数学史及重要的数学思想方法，力求引导学生在研究数学知识的同时，感受数学的多元文化价值。

4.数学史专题教育实践

数学史专题教育实践指在小学数学教学中，以数学史为专题，有目的、有计划地设计、组织的各类教学活动。在课题研究过程中，课题组在全校范围内组织“数学月——数理论道”活动。在活动中，学生选择合适的数学史内容，自编自演，录制关于数学史的数学剧。活动中，师生更加自觉、积极地了解数学知识演绎发展的历程，对数学知识的发展进程（即思维过程）进行深入的思考、揣摩和解读，并努力把它外化为表情、动作、道具、角色、语言、环境、故事或游戏组成的数学剧情节、剧本进行推进。活动中，无论是表演者还是“观众”，都热情高涨，既增强了数学情感，增加了互动参与，加深了学习体验，还深化了“数学思考”，实现了“以史育人”的教育目标。

【参考文献】

[1]李文林. 数学史概论[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]沈南山，黄翔.明理、哲思、求真：数学史教育价值三重性[J].西南大学学报（社会科学版），2010（3）.

[3]姚志敏，张新，孟广武.试论数学史的教育价值[J].聊城大学学报（自然科学版），2014（3）.

[4]杨光，李琳.浅析数学史在教学中的教育价值[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2014（12）.

[5]吴骏，汪晓勤.数学史融入数学教学的实践：他山之石[J].数学通报，2014（2）.

注：本文系基于北京市“十四五”规划课题“以数学为主导的多元学科整合课程的开发与实践探究”。