破解三角函数最值难题的三个“妙招”

史保恒

解答三角函数最值问题，一般需先对三角函数式化简，然后将其视为函数最值问题来求解.此类问题的综合性较强，对同学们的综合分析能力有较高要求.因此在解答三角函数问题时，我们需灵活运用三角函数中的公式、性质以及函数的性质、图象来解题.

一、利用函数的性质

对于形如 y =a sin2x +b cosx +c（a ≠0，且a、 b、 c 为常数）或 y =a cos2x +b sinx+c 的三角函数式，我们通常需先运用诱导公式或者二倍角公式将函数式中的函数名称统一，然后将其看作关于sinx、cosx 的一元二次函数，借助一元二次函数的性质、图象来求三角函数的最值.

例1.求函数 y =5sinx + cos2x 的最值.

解：y =5sinx + cos2x =-2 sin2x +5sinx+1，可将其视为一个关于sinx 的二次函数，则y =-2è（æ）sinx- ø（ö）2+ ，

而-1≤sinx≤1，>1，

因此函数单调递减，

当sinx=-1，即 x =2k +1π+ 时，ymin=-6;当sinx=1，即 x =2kπ+ 时，ymax =4.

我们首先利用二倍角公式将函数式中的函数名称统一为正弦，然后将函数式看作关于 sinx 的一元二次函数，根据二次函数的单调性求得函数的最值.

二、利用基本不等式

基本不等式： a +b ≥2a >0，b >0是求函数最值的重要手段.在运用基本不等式求三角函数的最值时，我们可先通过三角函数恒等变换将三角函数式配凑为两式的和或积的形式，并使其一为定值，这样便可运用基本不等式求得最值.在运用基本不等式时要把握三个条件：“一正”“二定”“三相等”.

例2.求函数 y = sin4x ∙ cos2x 的最大值. 解：y = sin4x ∙ cos2x = sin2x ∙ sin2x ∙2 cos2x≤3，

因为 sin2x + cos2x =1，

所以 sin2x + sin2x +2 cos2x =2，

因此 sin2x + sin2x +2 cos2x ≥2 +2=4 ，

当sinx=2cosx= ，即 x =kπ±arccos 时等号

成立，

則，所以 y 的最大值为 .

解答本题，需首先运用基本不等式的变形式 a +b +c ≥33，明确目标式的变形方向，然后根据重要不等式 sin2x+cos2x =1和基本不等式，求得 sin2x + sin2x +2cos2x 的最值，从而求得目标式的最值.

三、采用导数法

有些三角函数式较为复杂，我们需先将其函数名称统一，将三角函数式看作关于正弦、余弦、正切函数的函数式，然后对其求导，分析导函数与0之间的关系，以便判断出函数在定义域上的单调性，再根据函数的单调性求得函数的最值.

例3.求函数的最大值.

解：

因此，当 x = 时，f xmax =fè（æ） ø（ö）= .

一般地，若导函数，则函数单调递增，若 则函数单调递减.若导函数的零点左侧的函数递增，右侧的函数递减，则该点为极大值点，再将极大值与端点值比较，即可求得函数的最大值.

总之，求解较为复杂的三角函数最值问题，关键是将问题转化为函数最值问题，这样便可运用函数的性质、基本不等式、导数法来解题.因而在求三角函数最值时，要充分关注函数的定义域，即角度的取值范围.

（作者单位：江苏省南京市溧水区第二高级中学）