如何从多个角度求解一道解三角形问题

张若琪 高明

解三角形问题的难度一般不大，常与三角形、正余弦定理、三角函数、不等式等知识相结合，侧重于考查正余弦定理、勾股定理、三角函数的性质与图象.解答解三角形问题的方法有很多种，下面我们结合一道典型实例来谈一谈如何从多个角度寻找求解解三角形问题的思路.

一、试题再现

题目：（2021年北京高考，第16题）已知在ΔABC中，c =2b cosB，C =，求 B 的大小.

本题为中等难度的题目.题干中给出了c、 b 与 B 的关系式，以及 C 的度数，要求 B 的大小，需從给出的边、角的关系式入手，可运用正余弦定理、三角形的面积公式，通过构造三角形的外接圆、直角坐标系等方式，从多个角度进行探究，寻找解题的思路.

二、解法探究

角度一：运用正、余弦定理求解

解法1：因为 c =2b cosB，

由正弦定理可得 sin C =2sinBcosB，

根据二倍角公式可得sin C = sin2B，

因为 C = ，C ∈（0， π），

所以 sin2B = ，

所以2B =或2B =（舍），所以 B = .

由 c =2b cosB 能很快联想到正弦定理，便可根据正弦定理和二倍角公式求得角 C 以及角 B .

解法2：因为 c =2b cosB，所以 cosB= ，

由余弦定理cosB= 得 = ，

化简得 ac2=a2b +c2b -b3，①因为 c =，由余弦定理可得 c2=a2+b2+ab，②

由①②得到a3-a2b =0，所以 a =b ， c = b，

所以ΔABC 为等腰三角形，所以 B = .

先利用余弦定理将已知的角之间的关系化为边之间的关系式，构造出两个方程，通过解方程组明确 a 、b 、c 之间的关系，从而求得角 B 的度数.

利用正余弦定理可快速实现边、角之间的转化.一般地，运用正弦定理可将边化为角，运用余弦定理可将角化为边.在解题时，若已知的角或与角相关的条件关系较多，可先运用正弦定理求解;若已知的边或与边相关的条件较多，可先考虑运用余弦定理求解.

角度二：采用面积法求解

解法3：如图1所示，延长 BC 作 AD⊥ CB .

因为 C =，所以 AD = b，

所以 SΔABC=∙BC ∙AD = ab，

由三角形面积公式知 SΔABC=2ac sinB，

因为 a ≠0，b ≠0，c ≠0，所以 sinB=∙ ，由cosB= 可得2sinBcosB= = sin 2B，所以 B = .

将所求角放置于直角三角形中，这样便可快速求出角的正余弦值，而 C = 为特殊角，所以作AD⊥ CB，这样就作出了三角形的高，运用三角形的面积公式即可解题.当已知关系式中出现边与角的正弦值的乘积时，就可将其与三角形的面积公式关联起来，运用三角形的面积公式进行求解.值的注意的是，三角的面积公式可用不同的角来表示，即 SΔABC =ac sinB = ab sin C = bcsinA .

角度三：通过构造外接圆求解

解法4：设三角形 ABC 的外接圆的半径为 R，如图2，

由正弦定理可知sinB = sin C =2R，

因为 C =，得 R = ，

因为 a ≠0， b ≠0， c ≠0，3

因为 c =2b cosB，

可得2sinBcosB= =sin 2B，

所以 B = .

我们知道，正弦定理 = = =2R 中的 R 是三角形 ABC 的外接圆的半径.因此在解答解三角形问题时，我们可根据三角形构造出其外接圆，借助外接圆以及圆弧的性质来解题.对于本题，我们需先构造出△ABC 的外接圆半径，设出半径，再根据正弦定理以及圆周角的性质求得 B 的正弦值，进而求出 B 的度数.

角度四：借助坐标系法求解

解法5：如图3，以点 C 为原点建立直角坐标系，可得 C（0，0） ， B（a，0），因为 C =，可知∠ACD = ，A（- b，  b），

因此 B C =（-a，0），B A =（- b -a，  b），则cosB= = ，与研究因为 c =2b cosB，则 cosB= = ，

因为 a ≠0，所以 b2+2ab -c2=0，

又因为 C =

由余弦定理知c2=a2+b2+ab，

可得c2=a2+b2+ab，则 B = .

要求 B，于是想到 B 的余弦值，除了利用余弦定理，还可以用两向量夹角的余弦公式.构建直角坐标系，设出 A、 B、 C 三点的坐标以及向量 B C、B A，利用两向量夹角的余弦公式建立关于a、 b、 c 的关系式，最后运用余弦定理求得角 B 的大小.对于与几何图形相关的问题，只要方便建立直角坐标系，便可运用坐标系法来解题.求得各个点、线段的坐标，就能将问题转化为向量坐标运算问题来求解.

解三角形问题既与三角函数相关联，也与平面几何图形相关联，因此在解题时，我们不仅要灵活运用三角函数知识、平面几何知识、解三角形知识，还需运用数形结合思想来辅助解题.同时还需学会展开联想，迁移知识，将问题与函数、方程、最值、平面几何、不等式等联系起来，结合代数知识、几何知识，从多个角度进行探究，寻找多种不同的方法来解题，以拓宽解题的思路，提升解题的效率.

基金项目：基于核心素养下的《初等代数研究》课程开发，西华师范大学2018年教学改革项目，项目编号403350.

（作者单位：西华师范大学数学与信息学院）