以导数为“工具”解两类函数问题

钟小文

导数法是解答函数问题的重要手段，尤其在遇到一些较为复杂的函数问题时，巧妙运用导数法可快速判断出函数的单调性，明确函数的图象，求得问题的答案.下面结合实例来谈一谈如何巧妙运用导数法求参数的取值范围和求零点的个数.

一、求参数的取值范围

含參函数问题比较常见.在解答含参函数问题时，我们通常可将参数分离，构造出新函数，对新函数求导，通过研究导函数与0之间的关系判断出函数的单调性，求得函数的最值，进而求得参数的取值范围.若参数不易分离，可直接对函数求导，通过研究导函数的性质求得问题的答案.

例1.已知函数 f （x）= x + ax + b（x ≠ 0） ，其中 a，b ∈ R .若对于任意的 a ∈ é，不等式 f （x） ≤ 10 在上恒成立，求实数 b 的取值范围.

解：对函数 f （x）= x + ax + b 求导可得 f（x） = 1 -ax2 （x ≠ 0） .

当 a ≤ 0 时，显然 f（x） >0，这时 f （x） 在（ -∞ ，0），（0，+∞）上是增函数.

当 a > 0 时，令 f（x） = 0 ，解得 x = ± a ，

当 x 变化时，f（x） ，f （x） 的变化情况如下表：

所以当 a > 0 时，f （x） 在（-∞，- a ），（ a ，+∞）上是增函数，在（ - a ，0），（0， a ）上是减函数.

对于任意的 ，不等式 f （x） ≤ 10 在上恒成立等价于， 即对于任意的成立，

从而得 b ≤ 74 ，所以实数 b 的取值范围是 （-∞， 74] .

本题中含有两个参数 a、b ，不宜分离参数，于是直接对函数求导，分析其导函数与0之间的关系，从而判断出函数的单调性以及极值点，再根据函数的单调性和极值建立使不等式恒成立的关系，求得 a、b 的取值范围.

二、求函数零点的个数

求解函数零点个数问题通常要运用数形结合思想，根据函数的图象及其变化趋势明确零点的位置、大小、取值范围.有些函数较为复杂，很难直接判断出函数的单调性，画出函数的大致图象.此时可巧妙运用导数法，讨论导函数与 0 之间的关系.若在定义域内（x） > 0 ，则 f （x） 单调递增;若 f（x） < 0 ，则 f （x） 单调递减.这样便可快速画出函数的图象，结合函数的图象求得函数零点的个数.

例 2.求函数 f （x） = x3 - 2ex2 + mx - ln x 零点的个数.

解：由 f （x） = x3 - 2ex2 + mx - ln x = 0 可得 ln xx = x2-2ex + m.

令 f1（x） = ln xx ， f2（x） = x2 - 2ex + m ，

所以 f '1 （x） = 1 - ln xx2 ，

当 x ∈ （0，e） 时， f '1 （x） ≥ 0 ，所以 f1（x） 在 （0，e） 上为增函数;

当 x ∈ [e，+∞） 时， f '1 （x） ≤ 0 ，所以 f1（x） 在 [e，+∞） 上为减函数;

当 x = e 时， f1（x）max = f1（e） = 1e ，

而 f2（x） = （x - e）2

所以当 m - e2 > 1e ，即 m > e2 + 1e 时，函数无零点;

当 m - e2 = 1e ，即 m = e2 + 1e 时，函数有1个零点;

当 m - e2 < 1e ，即 m < e2 + 1e 时，函数有2个零点.

我们先令 f （x） = 0 ，并将其变形，构造出函数f1（x） 、f2（x） ，将问题转化为这两个函数图象的交点个数问题.而 f2（x） 为二次函数，讨论对称轴左右两侧函数的单调性即可;而 f1（x） 的单调性不易判断，于是对函数求导，分析导函数与0之间的关系，判断出函数的单调性以及单调区间，再结合两个函数的图象讨论其交点，即可求出函数零点的个数.

可见，在判断函数单调性、研究函数的最值、分析函数图象、讨论函数零点时，巧妙运用导数法可使一些难题快速获解.而运用导数法解题的基本思路是：（1）对函数求导;（2）讨论导函数与0之间的关系，判断出函数的单调性;（3）求得函数的最值;（4）画出函数的大致图象，求得问题的答案.

（作者单位：江西省泰和中学）