巧用向量法解两类立体几何题

仇小华

立体几何是高中数学中的重点内容，在高考中占有较大的比重.常见的立体几何问题的命题方向有：判断或证明空间中点、线、面的位置关系，求空间角的大小，求空间中点、线、面之间距离.虽然每种类型题目的特点和解法各不相同，但是巧妙运用向量法可快速解答这些立体几何问题.下面主要谈一谈如何运用向量法解答两类立体几何问题.

一、证明空间中的位置关系

运用向量法解答立体几何问题，需首先建立合适的空间直角坐标系，然后求得各个点、线段、平面的向量坐标.空间中的位置关系主要包括平行、垂直、异面.在运用向量法证明空间中的位置关系时，可根据立体几何图形明确空间中点、线、面的位置关系，再根据平面向量的共线定理证明平行关系，根据“两个向量的积为0，则两个向量垂直”来证明垂直关系.

例1.已知正方体 ABCD -A1B1C1D1的棱长为2， E， F， G 分别是 BC， CD， CC1的中心，求证：（1） AD1∥平面EFG;（2）A1C⊥平面EFG .

解：如图1，以 D 为原点建立空间直角坐标系 D -xyz，则 D（0，0，0），A（2，0，0），A1（2，0，2），C（0，2，0），D1（0，0，2），C1（0，2，2），E（1，2，0），F（0，1，0），G（0，2，1） ，所以A D1=（-2，0，2） ， C A1=（2，-2，2） ， E F =（-1， -1，0） ， E G =（-1，0，1） ，设 =（x，y，z）是平面 EFG 的一个法向z（y）-xx， 令 x =1，则 =（1， -1， 1）.

（1）因为∙A D1=（1， -1，1）∙（-2，0，2）=0，所以 ⊥ A D1，又AD1⊄面EFG ，所以AD1∥面EFG .

（2）因为=（1， -1， 1），C A1=（2， -2，2），C A1=2，所以∥ CA1 ，所以 A1C ⊥ 平面EFG .

建立合适的空间直角坐标系后，求得各个点的坐标 ，便 可 将 问 题 转 化 为 向 量 问 题. 要 证AD1 ∥ 平面EFG ，需求得  AD1与平面EFG 的法向量，然后通向量运算证明AD1 与平面EFG 的法向量垂直即可;要证 A1C ⊥ 平面 EFG ，需求得CA1 与 平面EFG 的法向量，证明 C A1与平面EFG 的法向量平行.巧用向量法证明空间中的位置关系，能够使证明过程变得更加简单.

二、求空间角的大小

空间中的角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.运用向量法求空间角的大小，需在建立空间直角坐标系后，分别求得各条直线、平面的法向量.对于异面直线所成的角，只需根据向量的夹角公式求解;对于直线与平面所成的角，需先根据向量的夹角公式求得直线与平面的法向量的夹角，然后取其余角;对于二面角，需根据向量的夹角公式求得两个平面的法向量的夹角，所求的角或补角即为二面角.

例2.如图2所示，在直三棱柱 P -ABC 中， PA⊥平面ABC ， ∠BAC =90。， D， E， F 分别是棱長 AB， BC， CP的中点， AB = AC =1， PA =2.求 PB和DF 所成角的大小.

解：如图2，以点 A 为原点，AB， AC， AP 所在直线为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系 A -xyz.由 AB =AC =1，PA =2 ，得 A（0，0，0），B（1，0，0） ， C（0，1，0） ， P（0，0，2） ， D（ ，0，0） ， E =（ ，，0） ， F（0，，1）.所以 A P =（0，0，2） ， D E =（0，，0） ， P B =（1，0，-2） ， D F =（-，， 1）.由于， 所以，所以，因此 PB和DF 所成角的为 arccos（-）.

利用向量法求空间角的大小，能够将立体几何问题转化为求夹角大小的问题，只需要通过向量运算即可求得角的大小.但要注意理清两个向量的夹角、两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的范围及其关系.

可见，运用向量法求解空间立体几何问题，关键在于建立合适的空间直角坐标系，将问题转化为向量中的平行、垂直、夹角问题.运用向量法求解空间立体几何问题，能够有效避免复杂的几何作图以及论证的过程，有效提升解题的效率.

（作者单位：江苏省大丰高级中学）