如何用频率分布直方图估计样本总体的数字特征

李婵平

在得到频率分布直方图后，我们常常要利用频率分布直方图估计总体的数字特征，即众数、平均数、中位数、方差和标准差.

1.众数是数据中出现次数最多的数.在频率分布直方图中，频率最大的组的中点值就称为众数.若有多个组是相邻组，且各组的频率相等，那么我们可以把这几组看成一个大组，将大组的中点值作为这组数据的众数.

2.平均数是所有数据的和除以数据总个数的值，反映了数据的平均水平.但是在频率分布直方图中，所有数据的取值并不是具体的，给出的只是某组数据出现的频率.因此，在求平均数时，我们可以取直方图中这一组数据的中点值，将其作为这一组数据的代表值，记为 xi  ，并设该组内数据出现的频数为 ni  ，那么这组数据的和就是nixi ，如果所有数据分布在 m 个组内，那么 i=1，2， …，m， 各组内数据的和依次是 n1x1， n2x2， …，nmxm ， 所有数据的和就是n1x1+n2x2+…+nmxm ，，若数据总个数为 n ，则n =n1+n2+…+nm ， 所有数据的平均数= n1x1+n2x2+…+nmxm该式可变形为= n x1+ n x2+…+ n xm ， 由于第一组的频率为f1= 第二组的频率为 f2=  第 m 组的频率为fm= ， 所以所有数据的平均数 =x1f1+x2f2+…+xmfm.这就是利用频率分布直方图计算平均数的公式.

3.中位数是指在按照大小顺序排列的一组数中居于中间的一个数据.若中间有两个数，则取这两个数的平均数.在频率分布直方图中，不大于中位数的数据占所有数据的一半，这些数据出现的频率是0.5;不小于中位数的数据占总数据的一半，这些数据出现的频率也是0.5.因此，如果过中位数所在的点作一条垂直于横轴的直线，那么这条直线把频率分布直方图中的矩形分成面积相等的两部分，直线左侧的矩形面积为一半，右侧的也为一半.我们可以根据频率分布直方图的这个特点，通过累计频率来求得中位数.其步骤为：第一步，将各组数据的频率计算出来，列出表格;第二步，从第一组开始累计频率，如果从第一组开始加到某一组时频率之和大于0.5，那么中位数就在这一组数据内;第三步，设中位数为 m .求出m 所在组的频率，并且根据频率等于对应组的矩形的面积，得到一个关于 m 的一元一次方程，解方程就可以确定 m 的值.

下面举例说明.

例1.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了1000人，并根据所得数据画出样本频率分布直方图.试根据图形，求该地居民月收入的众数、中位数、平均数.

解析：（1）求众数.由于第三组和第四组所对应的矩形高度是相同的，且这两组是相邻的，需把第三组和第四组看成一个大组，即2000～3000，并且该组的中点值为2500，即该地居民月收入的众数是2500元.

（2）求中位数.第一步，将各组的频率计算出来，并列出表格，如表1：

第二步，从第一组起累计频率，可知前三组频率之和为0.55>0.5，故可以确定中位数在第三组.

第三步，设中位数为m ，根据中位数的特点可知，数据落在[1000， m ）内的频率为0.5，由于前两组的频率之和为0.1+0.2=0.3，所以[2000，m）内的频率是0.2.在频率分布直方图中过横轴上的点 m 作一条垂直于横轴的直线，可以得到数据范围[2000，m ）所对应的小矩形，该矩形的面积是0.2，矩形的宽是 m -2000，高是△xi =0.0005， 所以（ m -2000）×0.0005=0.2，解得 m =2400，故该地居民月收入的中位数是2400元.

（3）求平均数.第一步，将各组的频率和中点值列成表格（见表2），

于是平均数 =1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400，故该地居民月收入的平均数是2400元.

4.方差反映数据相对于它的平均数的偏离程度，方差公式是 s2=（x1-）2+（x2-）2+…+（xn -）2公式中的分子是 n 个数据 x1，x2， …，xn 分别与它们的平均数的差的平方的和，分母是数据的总个数.在频率分布直方图中，每一组数据的频数就是每一组的中点值，套用方差公式，就可以求得所有數据的方差.设n 个数据分为 m 组， m 组的频数分别是 n1，n2 ， … ，nm  ， 则 n1+ n2+…+nm=n ， 所有数据的方差 s2=n1（x1-）2+n2（x2-）2+…+nm（xm -）2把分子拆开得，s2= n （x1-）2+ n （x2-）2+…+ n （xm -）2， 由于各组的频率分别为f1= ，f2= ， …，fm = ， 所以 s2=f1（x1-）2+f2（x2-）2+…+fm（xm -）2， 这就是利用频率分布直方图求方差的公式，这里 x1，x2，…，xm 分别是各组的中点值，而 xˉ 是所有数据的平均数.

5.标准差是方差的算术平方根，标准差公式为

例2.求例1中该地居民月收入的标准差（保留两位小数）.

解析：先求方差.由例1知该地居民月收入的平均数是 2400 元，即 xˉ= 2400， 而各组的代表数据分别是x1 = 1250，x2 = 1750，x3 = 2250，x4 = 2750，x5 = 3250，x6 = 3750，又由表1知各组频率分别为 f1 = 0.1，f2 = 0.2，f3 = f4 = 0.25，f5 = 0.15，f6 = 0.05， 因此方差 ，

再求标准差. s = s2 = 452500 ≈ 672.68， 故该地居民月收入的标准差是672.68元.

利用频率分布直方图求数据的众数、中位数、平均数及标准差，是现实生活中经常遇到的问题，这也是高考试题中经常考查的问题，解题的关键是要记住公式，明确众数、中位数、平均数、方差及标准差等数字特征的意义，并会正确套用公式进行计算.

（作者单位：陕西省神木市第七中学）