怎样求多个绝对值之和的最小值

施玲瑜

在解题时，我们经常遇到绝对值问题.解答此类问题，通常需要灵活运用分类讨论思想和数形结合思想.其中多个绝对值之和的最小值问题的难度系数较大， 且较为复杂，很多同学在遇到此类问题时经常选择放弃.对此笔者利用几个实例探讨了求多个绝对值之和的最小值的方法.

例1.求|x -1|+|x -2|+|x -3|+|x -4|的最小值.

解：将|x -1|， |x -2|， |x -3|， |x -4|看作数轴上的点1，2，3，4到动点 x 的距离，则|x -1|+|x -2|+|x -3|+|x -4|表示数轴上的点1，2，3，4到动点x 的距离之和，由图可知， 当2≤ x ≤3时，|x -1|+|x -2|+|x -3|+|x -4|可取最小值，即为1到4之间的距离与2到3之间的距离之和3+1=4.因此，|x -1|+|x -2|+|x -3|+|x -4|的最小值为4.

对于求x -a +x -b +x -c +x -d 的最小值问题，其常见的解题思路是：①将问题转化为数轴上点x （未知点）到 a，b，c，d 四个点的距离之和最小问题;②利用数形结合法进行分析，确定动点的位置;③求得最小值.若 a <b <c <d ，则当 b ≤ x ≤ c时，|x -a|+|x -b|+|x -c|+|x -d|取最小值（d -a）+（c -b），即为点 d、 a 之间的距离与点c、 b 之间的距离之和.

例2.已知 a1≤a2≤…≤an -2≤an -1≤an，求|x -a1|+|x -a 2|+|x -a3|+…+|x -an|的最小值.

分析：需将问题转化为数轴上点x（未知点）到 a1， a2， a3，…， an 点的距离之和最小问题.由于 n 可为奇数，也可为偶数，所以需分两种情况进行讨论.当n 为奇数时，x 在数轴上的第个点处，此时绝对值之和最小;当 n 为偶数时，x 在数轴上的第个点或第+1个点处，此时绝对值之和最小.

解：分两种情况讨论：

当 n =2k +1（k ∈N+），x =a 時，绝对值之和最小，绝对值的最小和为（an -a1）+（an -1-a2）+（an -2-a3）+…+（a -a ）;当 n =2k（k ∈N+），a ≤ x ≤a 时，绝对值之和最小，绝对值的最小和为（an -a1）+（an -1-a2）+（an -2-a3）+…+（an +2-an）2   2

解答此类问题，需将问题转化为数轴上点x（未知点）到 a1， a2， a3，…， an 点的距离之和最小问题.当 n =2k +1（k ∈N+）时，要使得距离之和最小， x 应取中间的数，即在数轴上的第 个点处;当 n =2k（k ∈N+）时，要使得距离之和最小， x 应取中间两个数之间的数，即在数轴上的第个点或第+1个点处.

例3.求|x -1|+|x -2|+|x -3|的最小值.

分析：，，的最小公倍数为 ，将和式通分，得1|x -1|+1|x -2|+1|x -3|=1×（6|x -1|+4|x -2|+3|x -3|），这样便将问题转化为求|x -a1|+|x -a 2|+|x -a3|+…+|x -an|的最小值问题来求解.

解：|x -1|+|x -2|+|x -3|= ×（6|x -1|+4|x -2|+3|x -3|） ，

由系数6，4，3可知一共有13个点，正中间的点是第7个，即当 x =2时，|x -1|+|x -2|+|x -3|取得最小值，最小值为 += .

对于系数为分数的绝对值之和最小问题，需先通分，将分数转为整数，将问题转化为系数是整数的绝对值之和最小问题来求解.值得注意的是，绝对值前面的系数为点的个数.

多个绝对值之和的最小值问题对同学们的逻辑思维能力和综合分析能力的要求较高.同学们在解题时要学会灵活运用数形结合思想，将问题转化为数轴上的点之间的距离最小问题来求解，找到绝对值之和取得最小值时的动点，便可顺利解题.

（作者单位：江苏省启东市东南中学）