对一道求抛物线中弦的长度问题解法的探究
2022-03-25陈美娟
陈美娟
求抛物线中弦的长度问题,不仅考查了抛物线的定义、标准方程、几何性质,还考查了直线与抛物线的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、两点间的距离公式等.本文以一道典型题目为例,谈一谈求抛物线中弦的长度问题的解法.
题目:如图,已知抛物线的方程为y2=4x,斜率为1的直线 l 经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于 A、 B 两点,求弦 AB的长度.
题目的已知条件中给出了抛物线的方程、直线的斜率.我们根据直线的点斜式可求得直线 AB 的方程,然后可利用直线的参数方程、弦长公式、两点间的距离公式来求弦 AB 的长.
思路一:采用参数法求解
我们知道,每条曲线都有与其对应的参数方程,如过点 M(x0,y0)、倾斜角为α的直线的参数方程为( t 为参数)椭圆 +=1(a >b >0)的x =a cos φ,的长度时,可根据曲线的参数方程设出曲线上的点,并将其代入题设中建立关于参数的关系式,最后消去参数即可解题.
解:由y2=4x 可知抛物线的焦点为 F1,0,而直线倾的斜率为1,
设直线 AB 的参数方程为
将其代入拋物线方程可得t2-4 t -8=0,
由韦达定理可得 t1+t2=4 ,t1t2=-8,
所以AB =t1-t2= ==8.
解答本题,需首先设出直线的参数方程,将其与抛物线的方程联立,通过消元构造关于t 的一元二次方程,借助韦达定理建立关于t1、 t2的关系式,从而求得弦 AB 的长度.
思路二:根据弦长公式求解
若直线与圆锥曲线的交点为 Ax1,y1、Bx2,y2,则弦长公式:AB =x1-x2= y1-y2.弦长公式主要用于求圆锥曲线中弦的长度.本题中 AB 为抛物线的弦,可根据弦长公式来求 AB 的长度.只需将直线方程与抛物线的方程联立,构造一元二次方程,求得 x1+x2、x1x2的值,然后将其代入弦长公式即可求得弦 AB 的长.
解:由y2=4x 可知抛物线的焦点为 F1,0,所以
将直线 AB 与抛物线的方程联立可得y(y)4x-,1,得x2-6x +1=0,
所以x1+x2=6,x1x2=1,
所以AB ==8,
思路三:利用两点间的距离公式求解
若已知 Ax1, y1、 Bx2, y2,则 AB 两点间的距离公式为AB= .在求抛物线的中弦的长度时,可将直线与抛物线的方程联立,通过解方程组求得弦的端点的坐标,再运用两点间的距离公式求解.
解:由y2=4x 可知抛物线的焦点为 F1,0,所以
将直线 AB 与抛物线的方程联立得y(y)4x-,1,x1=3-2 , y1=2+2 ,
所以 A3+2 ,2+2,B3-2 ,2-2,
所以AB = =8.
我们将求抛物线中弦的长度问题看作两点间的距离问题,通过建立方程组求得弦的端点的坐标,便可运用两点间的距离公式求得问题的答案.
求抛物线中弦的长度问题虽然综合性较强,但是都可以归结为求线段的长度问题.因此在解题时,我们只需先根据抛物线的定义、方程、性质明确所求弦的位置,便可根据曲线的参数方程、弦长公式、两点间的距离公式建立关于弦的两个端点的坐标的关系式,求得弦的长度.
(作者单位:江苏省大丰高级中学)