解答圆锥曲线问题的两个常用技巧

邵凌云

圆锥曲线是高考数学中的重要考点.圆锥曲线问题的命题方式有很多种，如求圆锥曲线的方程、求点到圆锥曲线的最小距离、求参数的取值范围、判断直线与圆锥曲线的位置关系等.而解答圆锥曲线问题常用到两个技巧：运用平面几何知识以及方程思想.下面结合实例来进行探讨.

一、运用平面几何知识

对于一些与距离、面积、三角形、平行四边形、圆有关的圆锥曲线问题，我们常常需借助平面几何知识来解题.在解题时，可先根据题意绘制出相应的几何图形，以便明确点、直线、曲线的位置关系，然后将问题转化为平面几何问题，通过研究三角形、平行四边形、圆等平面图形的性质以及边角关系，从而建立关系式，求得问题的答案.

例1.抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为l，经过 F 且斜率为 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于點 A，AK⊥ l，垂足为 K，则△AFK 的面积是（  ）.

A.4  B.3  C.4 D.8

解：由直线的斜率为 可知直线的倾斜角为

，从而可得∠KAF = ，

所以根据三角形的面积公式可得 S△AKF=AK ∙AF sin ，

由抛物线性质可得AK =AF ，

由图可得xA=OF +FM =OF +AF ，由焦半径公式可得：AF 所以xA=OF +xA+1，解

得xA=3，从而可得AF =xA+1=4，

所以 S△AKF=AF 2 sin=4 .

因此答案为C.

要求得△AFK 的面积，我们需借助三角形的面积公式求得△AFK 的面积的表达式，求得三角形的一个夹角后便可将问题转化为求 AF 的长度问题，借助抛物线、直角三角形的性质以及点、线段的位置关系求得 AF 的长度，从而求得问题的答案.

二、运用方程思想

方程思想是解答圆锥曲线问题的重要方法，尤其是在解答定值问题、直线与曲线位置关系问题、参数问题、交点问题时，运用方程思想可使问题快速获解.在运用方程思想解题时，需先根据题意将直线与曲线的方程联立，通过消元构造一元二次方程，然后运用韦达定理、方程的判别式，或通过解方程求得问题的答案.

例2.若 A，B 为椭圆C：+y2=1的左右两个顶

点，过点（1，0）的直线 l 交椭圆于 M，N 两点（M，N与A， B不重合） ，证明直线 AM 与直线 BN 交点的横坐标为 定值.

解：

首先设出直线l 的方程以及 M、 N 的坐标，再将直线与曲线的方程联立得到一元二次方程，根据韦达定理求得 y1+y2、y1y2的表达式，进而得到直线 AM 与直线 BN 交点的横坐标，最后通过化简证明其横坐标为定值4.

相比较而言，方程思想在解答圆锥曲线问题中的应用较为广泛，但是运用平面几何知识来解答圆锥曲线问题，可减少运算量，简化解题过程.解答圆锥曲线问题的手段还有很多种，如设而不求、采用点差法等.圆锥曲线问题的综合性和抽象性较强，同学们在解题时需学会变通，灵活选择合适的手段进行求解.

（作者单位：江苏省阜宁中学）