“双管齐下”，求参数的取值范围

董雪娇

思路探寻求参数的取值范围问题常与函数、不等式、方程、三角函数、解析几何等知识相结合，对同学们运算能力和综合分析能力的要求较高.此类问题涉及的知识比较丰富，解法多种多样.那么，在面对这类问题时，我们该如果寻找解题的思路呢？本文以一道题为例，谈一谈求解参数的取值范围问题的方法.

题目：若当 x∈0， û（ù）时， cosx+ sinx= 有解，求 a 的取值范围.

题目条件中给出了x 的取值范围以及一个含有参数 a 的方程，条件较少，要求 a 的取值范围，我们需从方程入手，采用数形结合法，利用三角函数的性质来求解.

方法一：数形结合法

数形结合法是求解参数问题的常用手段.在求参数的取值范围时，可根据已知关系式构造出函数式、直线的方程、圆的方程等，然后画出相应的图形，通过分析图形中点、线、面的位置及其关系，建立关于参数的关系式，即可求得参数的取值范围.

解：由 cosx+ sinx= 可得1-sinx= cosx，

而 x ∈0，  û（ù），1-sinx≠0，cosx≠0，

所以 =，= .

令=-k，则 k = ，该式可视为两点 A0，1，Bcosx，sinx的斜率.

所以-1≤-k ≤1，

即-1≤ ≤1，解得1≤ a ≤3+2 .

我们将已知方程进行变形，使参数与变量分离，然后将不含参数的式子看作直线的斜率，根据x 的取值范围以及图形，确定直线斜率的范围，进而得到参数的取值范围.

方法二：利用三角函数的性质

三角函数具有有界性和单调性，这是求最值或值域的重要工具.在求参数的取值范围时，我们可通过三角换元，将问题转化为三角函数的最值或值域问题，然后利用三角函数的有界性和单调性来解题.

解法一：由cosx+ sinx= 可得 ==tanπ+x

因为 x ∈0，  û（ù），则 + ∈ ë（é）， +û（ù），  又因为 tanè（æ）+ ø（ö）在 x∈0，  û（ù）上为增函数，当 x =0时，函数取最小值，即 tan=1;

当 x = 时，函数取最大值，而 tanè（æ）2× ø（ö）=1=，得 tan= =-1+ ，所以 tan+   +1，

所以1≤ ≤ +1，即1≤ a ≤3+2 .

将参数方程进行变形，使参数与变量分离，将问题转化为求三角函数 y =tanè（æ）+ ø（ö）的最值，然后在定义域上讨论该三角函数的单调性，结合三角函数的有界性求得函数的最大、最小值，进而求得参数的取值范围.

解法二：由cosx+ sinx= 可得 ==1-sinx1+sinx= cosx ，

因为1+sinx在0，  û（ù）上单调递增，cosx在0，  û（ù）上单调递减，所以 在0， û（ù）上为增函数，在0，  û（ù）上为增函数，

所以cos θ ≤ cosx ≤ cos ，

即1≤≤ +1，则1≤ ≤ +1，所以1≤ a ≤3+2 .

将参数方程进行变形，使参数与变量分离，将问题转化为求三角函数的值域.判断出该函数的单调性，結合三角函数的有界性求得函数的值域，进而求得参数的取值范围.

求参数的取值范围问题涉及的知识面较广，题型变化多样.在解题时，我们只要将问题与函数、三角函数、直线的斜率关联起来，就能将问题转化为角的范围、函数的值域、直线的斜率范围问题来求解.

（作者单位：江苏省大丰高级中学）47