求数列前 n 项和的三种思路

林立

求数列的前 n 项和问题一般要求由数列的通项公式、递推式求数列的前 n 项和，或要求根据已知的项求数列的前 n 项和.求数列的前 n 项和问题侧重于考查等差、等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式，但有些数列求和问题仅靠运用等差、等比数列的公式、定义很难获解，此时我们需采用一些手段，如倒序相加、分组求和等来解题.下面举例说明

一、利用公式法

在求数列的前 n 项和时，我们经常要用到等差数

例1.已知an是等差数列，a1=19，公差为-2， Sn 为数列an的前 n 项和.bn -an是首项为1、公比为3的等比数列，求数列bn的前 n 项和 Tn .

解：由题意可得：a1=19， d =-2，

所以 an=a1+n -1d =19-2n -1=-2n +21，

且 Sn=19n +∙-2=-n2+20n，

因为 bn -an=3n -1，

可得：bn=3n -1+an=3n -1-2n +21，

所以 Tn=Sn+1+3+…+3n -1=-n2+20n + ，

解答本题主要运用了等差数列和等比数列的前n 项和公式.在运用等比数列的前 n 项和公式解题时，若公比 q 为参数，则要注意对公比 q 进行讨论，一般需分两种情况 q ≠1、q =1来讨论.

二、倒序相加

若一个数列中与首项、末项距离相等的两项之和等于首项、末项两项之和，则可采用倒序相加的思路来解题.需先将数列各项的顺序倒过来，再将第一项与最后一项相加、第二项与倒数第二项相加、第三项与倒数第三项相加……即 a1+an ，a2+an -1， a3+an -2，…，则 Sn=a1+an，所得的结果即为数列的前 n 项和.

例2.当x1+x2=1时， fx1+fx2= ，求 Sn = f 0+fè（æ） ø（ö）+fè（æ） ø（ö）+…+fè（æ） ø（ö）+f 1n ∈ N.

解：当x1+x2=1时，f x1+f x2= ，

则 f x1+f 1-x1= ，立

即 f 0+f 1=，fè（æ） ø（ö）+fè（æ） ø（ö）= ， fè（æ） ø（ö）+fè（æ） ø（ö）=，....，

Sn=f 0+fè（æ） ø（ö）+fè（æ） ø（ö）+…+fè（æ） ø（ö）+f 1，① Sn=f 1+fè（æ） ø（ö）+…+fè（æ） ø（ö）+fè（æ） ø（ö）+f 0，②

由①②得：2Sn=f 0+f 1+ fè（æ） ø（ö）+fè（æ）+ fè（æ） ø（ö）+fè（æ）+…=n +1f 0+f 1，

可得 Sn=n +1.

我们先将函数式变形，可得 fx1+f1-x1= ，分析数列中的各项，可发现与首项、末项距离相等的两项之和等于1，于是采用倒序相加的思路来解题.运用倒序相加法求和的关键在于把握与首项、末项距离相等的两项之间的规律.

三、分组求和

有些数列由多个等差数列或等比数列构成，可运用分组求和法将数列中的各项进行拆分，然后重新组合，使其构成几个简单的等差、等比数列，这样便可直接运用等差、等比数列的前 n 项公式进行求和.在运用分组求和法解题时，要明确数列中所包含了哪几个简单数列，其通项公式分别是什么.

例3.已知数列an中， a1=1， an+1= è（æ）1+ ø（ö）an +.若 bn =，（1）求数列an的通项公式;（2）求数

解：（1）略;（2）由1知an=2n - ， 则 Sn= 2k - =2k- ，而2k=nn+1， =4- ，

该数列由等差数列2k和等比数列构成，于是采用分组求和法，将数列拆分成两个数列，分别运用等差数列的前 n 項和公式以及错位相减法求得数列的和，最后综合所得的结果即可.

求数列的前 n 项和问题对同学们逻辑思维和综合分析能力的要求较高.因此同学们不仅要掌握扎实的数列基础知识，灵活地运用倒序求和、分组求和的思路来解题，还要重视培养自己逻辑思维和综合分析能力，这样才能有效地提升解题的效率.

（作者单位：福建省漳州市第八中学）