数学师范专业近世代数课程的教学探索

2022-03-24曾月迪汪镇罗兰

创新创业理论研究与实践 2022年9期

曾月迪，汪镇，罗兰

(莆田学院数学与金融学院，福建莆田 351100)

近世代数作为数学与应用数学专业的专业课程，是以研究代数系统的性质与结构为中心的一门抽象理论学科[1]。近世代数具有高度抽象性，公理化方法一直在这个课程高度呈现。从小学、中学阶段的数学知识到大学的数学知识，这其中有很多都以近世代数的例子存在，其中所蕴含的思想、理论和方法在近世代数得到延拓和提高，即近世代数本身体现了知识的升华。因此，它是中学代数、高等代数、解析几何的延拓和提高。结合《普通高中数学课程标准（2017年版）》[2]和《义务教育数学课程标准（2011 版）》[3]中强调的数学学科核心素养，在近世代数教学中融入中学内容与实际应用，有利于学生正确认识特殊与一般、认识事物的本质，是数学教师这一职业特点的必然要求，为以后成为一名合格的中小学教师打下基础。

近世代数主要的知识点群、环、域极其抽象，又广泛地应用于数学其他方向中，如代数几何、代数拓扑等。针对近世代数课程的教学改革和实践案例，近年来有桑彩丽[4]从教学方法与内容进行的教学改革，郑华等[5]从Galois 理论切入近世代数教学的改革，胡红梅[6]从思政方向入手进行近世代数的改革，贾浩强等[7]从反例的观点研究近世代数。本文从教学进程逐步探索近世代数的教学，符合师范专业的教学理念，也是教学过程中迫切需要探索的重要方法之一。

1 近世代数教学改革的实施路径

1.1 开篇注重历史导入

大部分数学的中心问题是围绕着解方程而展开的，近世代数如此抽象的一门课，也是围绕着代数方程的求解而展开，从而创立了群、环、域。

其进程为：一元二次的求根公式（①学生熟悉，②联系中学教学内容）→三次、四次方程的求根公式（①数学故事导入：塔塔利亚求根的比赛等故事，②类比数学方法）→更高次的一般方程的求根公式（Lagrange试图用类比的方法将三、四次方程根的根式解法推广到更高次，但没有解决）→五次及五次以上方程不能用根式求解的问题（1824年，Abel 严格证明）→多项式方程求根公式的存在性问题（1832年，Galois 解决了多项式方程求根公式的存在性问题）→近世代数：法国数学家Galois 运用群（置换群）的思想解决了多项式方程求根公式的存在性问题，从而创立了群、环、域，使代数学成了研究代数运算结构的科学，进而把代数学推向了抽象代数时期（也称为近世代数）[8]。

1.2 课程进程注重抓主线

群、环沿着“定义→内部性质→子结构、商结构→两个代数系统的联系”这个主线展开，在这个主线过程中会展现出许多典型的例子。

最后一章的域是特殊的一类环，有许多的应用，也是“多项式方程求根公式的解决方法”。这与开篇形成闭环，因此自成一章，主线是扩域。

（1）群是近世代数中代数结构的基础，其主线展开为：群的定义→群的内部性质：交换性、有限性、阶等→群的子结构、商结构：子群（格）、正规子群与商群→两个群的联系：群同态与同构。

（2）环这个代数系统是在“加法”交换群的基础上，再引入满足封闭、结合且与“加法”分配的“乘法”代数运算。其主线展开为：环的定义→环的内部性质→环的子结构、商结构：子环、理想与剩余类（商）环→两个环的联系：环同态与同构。由于环对于“加法”已经是交换群，所以内部的元素性质以考查“乘法”为主，即关于“乘法”：是否有单位元、满足交换性、有零因子、有逆元，也就是考虑非零元素关于“乘法”是否构成一个群和构成一个什么样的群？从而形成各种不同的特殊环，如有单位元环、无单位元环、交换环、无零因子环、整环、唯一分解环、主理想环等。

（3）域关于“加法”是交换群，而其中非零元素关于“乘法”构成交换群，因此域以群和环为基础，以单代数扩域、单超越扩域开始，逐步扩张。

1.3 课程内容注重实例，解释抽象

利用从小学就熟悉的“数”与先修课程的实际例子，在课程的主线上逐步解释近世代数中的抽象概念，让学生感受升华的概念与落地的例子，从而消除学习抽象概念的畏惧心理。

接下来记：整数Z，有理数Q，实数R，复数C，非零整数Z*，非零有理数Q*，非零实数R*，模n 的剩余类Zn。

（1）群根据定义再结合内部性质，从构不成群的例子出发到各种特殊群：交换（有限、非有限）群、非交换（有限、非有限）群、循环群、非循环群等，逐一给予实例说明。例如不是群的例子：{Z,-}不是群（不满足结合率）；{Z*,×}不是群（没有逆元）等。交换有限群的例子：{Zn，+}、xn=1 的根关于乘法所构成的群；交换非有限群的例子有：{Z，+}、{Q，+}、{R，+}、{C，+}、{Q*，×}、{R*，×}、解析几何中的旋转所构成的群、高等代数中m ×n 矩阵关于“加法”所构成的群、高等代数中n 维向量关于“加法”所构成的群、高等代数或数学分析中的多项式关于“加法”所构成的群。非交换有限群的例子：置换群Sn；非交换非有限群的例子有：解析几何中的平移与旋转所构成的群、高等代数中n 级可逆矩阵关于“乘法”所构成的群、高等代数中n 级行列式为1 的矩阵关于“乘法”所构成的群。进一步结合主线“群的子结构、商结构→两个群的联系”给出相应说明。例如群的子结构例子：{Z,+}的子群有0、{nZ,+}、本身的子群结构。群的商结构例子：{Z,+}的商群{Zn,+}。群同态与同构的例子：高等代数中n 维线性空间的同态保持两个运算，其实是群同态中的保持“加法”运算。利用线性空间同态把零元映射到零元，自然联系到群的同态的性质把单位元映射到单位元；进而拓展到同态的核与同态基本定理。

（2）“加法”交换群“增加”一个“乘法”运算的代数系统为环，因此它的例子是在上一章交换群的基础上形成的。例如{Z，+，×}、{Q，+，×}、{R，+，×}、{C，+，×}为无零因子有单位元的交换环；{Zn，+，×}中，当n 为合数时为有零因子的环，当n 为素数时为无零因子环；高等代数中的多项式环为有单位元交换环；{2Z，+，×}为无单位元交换环；高等代数中n 级矩阵关于“加法”与“乘法”所构成的非交换环；数学分析中的幂级数关于“加法”与“乘法”所构成的交换环等。

类比于群的主线，得出环的子结构、商结构、同态等的例子与性质，其中各种“数”构成的环、多项式环与矩阵环同样起到非常重要的作用。

近世代数中有{欧式环}∈{主理想环}∈{唯一分解环}∈{整环}，可以从各种“数”构成的环与多项式环给出其反例。例如是整数}是整环但不是唯一分解环[9]，其中4 不能唯一分解；Z[x]是唯一分解环但不是主理想环，其中（2，x）不是主理想环[9]；是整数}是主理想环但不是欧式环[10]；F为一个域，多项式环F[x]是欧式环[9]，F[x，y]是唯一分解环但不是主理想环[9]。

（3）域的典型例子为有理数域、实数域、复数域、Zp（p 为素数）有限域等，由域根据多项式等方法进行扩域。

1.4 注重课程中数学思想方法的传承

1.4.1 等价分类思想方法

近世代数的基本概念中一定会有等价关系与集合分类的定义与之间的对应关系，并指出每一类代表元的选取是任意的，即等价分类思想方法。在中学处理问题时，根据余数的不同分类讨论是等价分类；高等代数中：m ×n 矩阵的等价关系、m ×n 矩阵的相似关系、n ×n 矩阵的正交相似关系、n ×n 对称矩阵的合同关系等也是等价分类。近世代数中群G 是利用其子群H 进行等价分类，可以分成左陪集或右陪集。一个子群H 的左陪集和右陪集可能不同，但是“一个子群H 的左陪集的个数和右陪集的个数相等”[9]。有了这样的分类，在近世代数中自然地联想到陪集什么时候也构成一个代数系统，这就形成商结构的基础。

1.4.2 联想类比思想方法

在近世代数的概念与定理证明中，经常采用类比联想的思维方式。例如：群、环、域是通过集合中的运算组织的代数系统，从课程主线可以观察到，根据群可以联想类比出环、域的结构、分类、性质和规律；而从群同态基本定理，可以联想到环同态基本定理。根据高等代数的线性变换联想到同态运算的性质、同态运算的核、同态运算的象等。根据整数得到有理数域的方法，联想类比出从一个整环得到商域的方法。而在定理证明时，联想类比也是重要工具，如Lagrange 定理和Sylow 定理的证明[11]。根据有理数域扩充为实数域，实数域扩充为复数域，联想类比近世代数的代数扩域方法；根据环扩充为多项式环，联想类比近世代数的超越扩域方法。

1.5 注重课程的优雅应用

近世代数道出数学的目的——将不同事物之间共性的东西挖掘出来，从而产生新的数学概念和理论[6]。近世代数内容虽然抽象，但其在数学其他问题、物理、化学、计算机、编码、信息安全等领域都有应用价值。例如，在认识群论时，要了解其重要意义——度量事物有对称性[6]，从而展现群论在物理上的应用；在摆出重要有限群例子Zn 时，借助视频引入RSA 公钥密码系统[1]，并给出简单的基于Zn 使用RSA 公钥密码系统加密解密的例子[12]；在群的结构中，把子群与三阶魔方相联系；在特殊群中，利用对称群的观点解释刚体运动[13]；利用群在集合上的作用，讨论开关线路问题：由n 个开关可以组成多少种本质上不同的开关路线[4,14]？在环论中不可交换且每个非零元都有逆元的除环典型例子：四元数除环，讨论：四元数除环在图像处理中的应用[15]；在讲到域、分裂域的概念与相关性质时，讨论优雅解决的古希腊三大尺规作图问题。介绍有限域时，介绍有限域上的纠错码理论在信息传输与信息编码中扮演的重要角色，并推广到环上的编码理论的应用[16,17]。