『扶』『放』内化自主建构——《正比例的意义》教学设计

文 张炜

【教学内容】

苏教版六年级下册第56、57页。

【教学过程】

一、“引”——激趣感知，认识概念

1.感受“相关联”。

出示资料一：小丑鱼又称海葵鱼，它与海葵有着密不可分的共生关系。带毒刺的海葵保护小丑鱼，小丑鱼消化后的残渣则为海葵提供了食物。因此，海葵越多的地方，小丑鱼也就越多；小丑鱼减少，海葵也会受到影响而减少。

出示资料二：在草原上，狼以羊为食，狼的数量增多，会造成羊的数量减少；反之，狼的数量减少，羊的数量会随之增加，两者互为因果，此消彼涨，此涨彼消，维持着生态的平衡。

师：从这两个有趣的现象中，你发现了什么？

预设：第一个现象中，海葵的数量变化会导致小丑鱼的数量变化。第二个现象中，狼的数量变化会导致羊的数量变化。

师：你能具体说说，两者数量是如何变化的吗？

预设：海葵的数量增加，小丑鱼的数量也增加；海葵的数量减少，小丑鱼的数量也减少。狼的数量增加，羊的数量减少；狼的数量减少，羊的数量会增加。

师：也就是说，这两个量是相互影响的，一个量变化，另一个量也会随着变化。在数学上，把这样两个互相影响的量叫作两个“相关联的量”。比如，海葵的数量和小丑鱼的数量就是两个相关联的量。

2.体会正向、反向变化。

对比：上面两个现象中，它们的变化有区别吗？

预设：海葵的数量增加，小丑鱼的数量也增加，是跟着一起变的；而狼的数量增加，羊的数量却减少，是反过来变的。

师：海葵和小丑鱼的数量变化是相同的，叫作正向变化；而狼和羊的数量变化是相反的，叫作反向变化。

二、“扶”——引导建构，理解概念

1.认知规律。

师：除了自然界，在科技发达的人类社会里也存在这样的现象：一辆汽车在公路上行驶，行驶时间和路程如下表：

时间/时 1 234567 ……路程/千米80 160 240 320 400 480 560 ……

师：观察表格，你有什么发现？

预设：时间增加，路程也随着增加。

师：你能具体说说吗？

预设：时间从1 小时、2 小时、3 小时……增加，路程也从80 千米、160 千米、240 千米……增加。

明确：时间和路程是两个相关联的量，行驶时间增加，路程也随着增加；反过来，时间减少，路程也随着减少。两个量是正向变化的。

师：在这样的变化中，有不变的吗？

预设：相对应的路程除以时间的商不变。80÷1=80、160÷2=80、240÷3=80、320÷4=80、400÷5=80、480÷6=80、560÷7=80。

师：我们学过比的内容了，你能把路程除以时间用比的形式描述并求比值吗？

师：这里路程和时间比的比值都是80，比值80 是什么呢？

明确：路程与对应时间的比的比值是速度。

师：现在你能完整说说路程、时间、速度的变化情况了吗？

明确：时间和路程是两个相关联的量，时间变化，路程也随之变化，但路程和时间的比值即速度不变。

2.理解概念。

师：你能用一个式子来表示路程、时间、速度这三个量的关系吗？先想一想，再和同桌交流。

对比优化：这三个式子都清晰地反映了路程、时间、速度的关系，对比第（1）个式子，第（2）个式子针对表格数据更具体，第（3）个式子更具有一般性，能够反映所有速度不变的情况。

谈话：第（3）个式子揭示了路程、时间、速度三个量的本质关系，也非常接近数学上相关概念的定义。数学上，用来表示，“一定”即不变的意思。请看教材第56 页最下面一段话。

预设：路程和时间成正比例关系。

明确：路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化。当路程和相对应时间的比的比值总是一定（即速度一定）时，行驶的路程和时间成正比例关系，行驶的路程和时间是成正比例的量。

师：现在你知道正比例关系的意思了吧，这就是今天要学习的内容——“正比例的意义”（揭题）。

三、“放”——迁移对比，深化概念

1.自主探究，深化理解。

师：其实在我们的生活中就有这种关系。比如：你在购买一种铅笔时，数量和总价的情况如下表：

师：谁来说说你们组的想法？

预设：铅笔的总价和数量成正比例关系，因为总价和数量的比值不变，都是0.4。

提问：这个0.4 表示什么？

预设：铅笔的单价。

追问：能用一个式子表示吗？

师：那总价和数量相关联吗？

预设：（1）总价和数量是两个相关联的量，数量变化，总价也随着变化；（2）总价和数量是两个相关联的量，总价变化，数量也随着变化。

师：这两个说法你认可哪一个？为什么？

预设：第一个，因为总价是随着数量的变化而改变的，数量变化才导致总价的变化。

明确：总价和数量是两个相关联的量，数量变化，总价也随着变化。当总价和相对应数量的比值一定（也就是单价一定）时，总价和数量成正比例关系，总价和数量是成正比例的量。

2.辨别区分，提炼模型。

（1）判断分析。

师：你能像老师这样，举几个生活中成正比例关系的例子吗？

预设：①单价8 元一本，订杂志的总价和数量；②人的身高和体重；③一本书120 页，已读页数和剩余页数；④生产衣服的总数和工作时间；⑤年龄相差25 岁，我的年龄和爸爸的年龄；⑥全班48 人分组做游戏，分组时每组人数和组数。

师：他们举的例子都是正比例关系吗？

小组活动要求：想一想：你举的例子中两个量成正比例关系吗？为什么？写一写：利用空表格和组内成员创造几组数据，写出相对应的比，并求出比值。说一说：交流你的想法。

分层交流:

第一层：“真”正比例关系。

数量/本123456 ……总价/元816 24 32 40 48 ……

明确：总价和数量是两个相关联的量，数量变化，总价也随着变化，。所以是两个相关联的量，且比值一定。

第二层：“假”正比例关系。

?时间/天123456 ……衣服总数/件 25 48 60 100 150 180 ……

明确：时间和总数是两个相关联的量，时间变化，总数也随着变化，但是，总数和时间的比值是变化的，不是正比例关系。

第三层：“像”正比例关系。

错例①。

?已读/页510 15 20 25 30 ……未读/页120 115 110 105 100 95 ……

已读页数+剩余页数=总页数（一定），和一定，不是正比例关系。

错例②。

我的年龄/岁 137912 15 ……爸爸年龄/岁 26 28 32 34 37 40 ……?

爸爸年龄-我的年龄=年龄差（一定），差一定，不是正比例关系。

错例③。

images/BZ_62_986_726_1098_778.png身高/厘米 135 140 145 150 155 160 ……体重/千克 35 42 45 53 55 60 ……

身高和体重不是相关联的量，不是正比例关系。

错例④。

?每组人数/人 2346812 ……组数/组24 16 12864 ……

每组人数和组数是相关联的量，但每组人数×组数=总人数，积一定，不是正比例关系。

谈话：其实这是我们后面要学到的反比例关系。

对比：与“真”正比例关系相比，其他几个例子有什么区别？

提问：是否为正比例关系，只要存在“一定”不变的量的式子就可以判断了吗？

预设：要先判断两个量是不是相关联的。

明确：必须满足①两个量是相关联的量，一个量变化，另一个量也随之变化；②两个量的比的比值一定不变。

小结：在判断是否为正比例关系时，判断的依据需要首先看是否为相关联的两个量，其次再判断这两个量的比的比值是否一定，才能断定。

（2）概括模型。

观察这几个式子：

师：这几个式子有什么相同点吗？

预设：①都是比的形式；②都是相关联的量；③比值都是一定的。

师：如果用x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示它们的比值，你能用一个式子表示正比例关系吗？

四、“结”——回顾反思，延伸概念

谈话：今天我们学习了正比例的意义，谁能说说成正比例的量具有怎样的关系？回顾研究的过程你有哪些体会？

（用PPT 呈现思维流程图，带领学生回顾整节课）

师：在我国古代就发现相关联量的联系，比如水涨船高、唇亡齿寒、舟随潮起、泥多佛大等。当这两个相关联的量成正比例关系时，就可以产生解决实际问题的方法。（视频播放“测量金字塔高度”的故事）

延伸：看了古希腊的哲学家泰勒斯测金字塔的故事后，如果要测一棵大树的高度你会解决吗？课后与组员一起研究。