在天平推理中深化小学生数学化水平

文|王张妮

浙教版小学《数学》教材主编张天孝老师研发了“天平中的推理”系列题目，目前正由团队做成微课——《张天孝小学数学思维训练题析》（简称“一题一课”），力图把深刻的教育思想演化为踏实、有效的思维训练。在制作微课的过程中，我们深入体验和思考，有许多心得和体会。下面以一个天平推理问题为例，详细分析小学生在解决这个问题的过程中，数学化水平逐渐深化的过程，以期给广大教师带去更多代数教学的启发。

原题如图1 所示：呈现了三架天平，第一架天平中，2 辆玩具车的质量等于1 只玩具熊猫的质量；第二架天平中，2 堆积木的质量等于1 只玩具熊猫的质量；第三架天平中，1 堆小球和1 堆积木的质量之和等于1 只玩具熊猫的质量。要求：1 辆玩具车的质量等于几块积木的质量，1 块积木的质量等于几个小球的质量，1 只玩具熊猫的质量等于几个小球的质量。

图1 原题选自《跟张爷爷学数学2A》

制作成微课时，我们参照弗赖登塔尔数学化层次的几个定义，同时根据题型自身的特征，做了一些优化和延伸。具体可分析为：

第一层次，情境层次。这一层次的活动主要是从背景信息中找出有关条件，思考怎样解决问题。针对本题，我们首先更为关注的是学生对天平中各个元素之间关系的理解和表达，不管是单架天平中“元素与元素”之间的关系，还是多架天平中“天平与天平”之间的关系，都需要学生经过观察、分析和处理。这虽然是一个非常直观的层次，我们仍然给予学生充裕的时间去寻找天平中的线索，梳理图像信息，并引导他们用自己的言语尽可能准确地表达出来，外化他们的思维。确认学生能够关注到每两架天平之间可以替换，或者说传递相等。

第二层次，指涉层次，指利用具体的数学模型或数学式子去代表特定的数学对象，且必须指涉问题所衍生的情境。简言之，就是用数学的模型或语言去表达情境。需要强调，这里的数学化层次更多指用数学语言去描摹所看到的情境，即对数学符号的理解和表达，与上一层次原始情境的解读是不一样的。本题，我们在做微课的时候会一点点将日常语言演化为数学式子的表达，等式与情境结合，在情境中推演，用数学等式记录，在学生心中建立两者的联系，使得数学语言的应用越来越自然、娴熟。

图2 用数学语言描述天平的平衡状态

第三层次，普遍层次，指使用具有普遍意义的数学模型去分析蕴含的关系。这时模型的建立不再依赖背景环境，而是单纯地从数量关系中讨论数学关系。对本题，学生不需要时时回到天平情境，而可以直接对符号进行运算。低段学生经过前两个层次后，逐渐过渡到第三个层次，是我们尤为期待的。当然，前两个过程是漫长的，允许出错和适当倒退。只有前两个层次逐渐牢固，第三个层次甚至过渡到第四个层次才更有深度和更为顺利。天平推理的最终归宿是代数思维的建立和推理能力的增强。学生最终将不需要依赖天平图像，仅通过等式就能观察出结构，分析出关系，作出更广泛和灵活的推理。

图3 进行一般化的数学推理

第四个层次，形式层次，这个层次允许学生进行思维、反思及欣赏活动。这是因为数学对象已经在数学范畴内用规范化的步骤和符号进行表述和操作的缘故。天平推理系列题目的教学目标不在于总结出一个公式、一套算法，但处在形式层次的学生可以时时返回到任何一个环节进行思维方法的反思、欣赏和创造。学生在推理过程中不再对符号、等式这样抽象的内容感到心理压力。相反的，在任何一个环节中，所有形式化的内容和情境本身一样清晰明朗，甚至更加简练和概括，带来思维的自信和乐趣。

有的学生在进行天平的两两比较后发现还有另一种方法：三架天平比较。并且在后续的计算中，也会不断地从已知等式中抽取想要的结果，而不是按部就班全部重新算一遍。更具体来说：例如，综合三幅图像，建立2 辆小车的质量=2 堆积木的质量=1 堆小球和1 堆积木的质量和后，可以立刻从连等式中知道1 堆积木的质量=1 堆小球的质量，从而优化连等式为：2 辆小车的质量=2 堆积木的质量=2 堆小球的质量；最后对整个等式进行折半处理，得到1 辆小车的质量=1 堆积木的质量=1 堆小球的质量，牢牢地把握“量变，关系不变”。

图4 在形式化的基础上进行评价、反思活动

总之，任务的运用是为了更好地达成学习目标。天平是很好的发展代数思维的工具，天平推理时可有效训练小学生的数学化水平。像这样利用好每一道题，并在系列题目中有所侧重，反复推进，对学生思维的发展多有裨益。