运用转化思想，提升解题的效率

明汉锁

转化思想是指采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而求得问题的答案的一种数学思想.该思想在解答高中数学问题中应用较为广泛，尤其是在解题遇到困难时，灵活运用转化思想将问题转化，有利于快速找到解题的突破口，使问题顺利获解.下面结合实例谈一谈转化思想在解答高中数学问题中的应用，以期对同学们解题有所帮助.

一、正难则反

有些问题从正面思考，耗时费力，且容易陷入困境，同学们不妨另辟蹊径，采用迂回的方式，运用转化思想，从反面着手分析，如分析集合的补集、对立事件、命题的否定等，这样往往可以使解题“峰回路转”.

例1.在下列方程中：① m2+2km +4k2+2k +3=0;② m2+（2k +1）m +k2=0;③（k -1）m2+2km +（k -1）=0.若这些方程中至少有一个方程存在实数根，那么实数 k 的取值范围为 .

分析：此题若从正面分析，需要分类讨论多种情形，运算过程较为繁琐.不妨运用转化思想，从反面切入，考虑三个方程都没有实数根的情况，根据一元二次方程的判别式建立不等式组，取其补集即可解题.

解：

二、由“一般”向“特殊”靠拢

某些数学问题涉及了动点、动曲线，且含有较多的参数，此时我们需打破常规，从问题的特殊情形入手，从中发现问题的一般性规律，挖掘出问题的本质属性，从而拨开迷雾，找到解题的思路.

例2.△ABC 中的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，那么=  .

分析：解答本題的常规思路是利用余弦定理将 cosA 和 cos C 转换为边之间的关系，解题过程比较复杂.本题为填空题，不需要详细的解答过程，我们不妨由“一般”向“特殊”靠拢，选取合适的特殊值，将问题转化为三角函数运算问题，则可以避繁就简，使问题快速得解.

解：因为a，b，c成等差数列，所以设a =3， b =4， c =5，

于是cosA =，cos C =0，所以 = .

例3.已知x=2007t+2008，y=2007t+2009，z=2007t+2010，则x2+y2+z2-xy-yz-xz 的值为 .

分析：此题按照常规方法求解计算量相当大，十分棘手.不妨换个思路，采用转化思想，通过赋值，将问题转化为简单的计算问题来求解，便能快速求得问题的答案.

解：令 t =-1，可得 x =1，y =2，z =3，则 x2+y2+z2- xy -yz -xz =12+22+32-2-6-3=3.

三、将“主元”视作“次元”

含有多个参数、变量的代数问题一般较为复杂，需进行分类讨论.此时我们可转换思维，运用转化思想，将“主元”视作“次元”，把问题转化为关于参数的函数、方程、不等式问题来求解.

例4.已知x，y，z，k 均为实数，且y2（k2+1）+2yk（x+ z）+x2k2++z2=0，求证：y2=xz.

分析：此题是一个多元问题，涉及x，y，z，k 四个变量，直接证明，无从下手.通过仔细审题，不难看出，目标式中不含 k，可将原来的主元“y”视为“次元”，把原方程转化为以“k”为主元的一元二次方程，再利用根的判别式，则可以使问题顺利破解.

证明：y2（k2+1）+2yk（x +z）+x2k2++z2=（x2+y2）k2+2y（x +z）k +（y2+z2）=0.

因为k 为实数，所以当x2+y2≠0时，

△=4y2（x +z）2-4（x2+y2）（y2+z2）≥0.

整理得：（y2-xz）≤0，所以 y2-xz =0，即 y2=xz.

所以当x2+y2=0，即 x =y =0，z =0时，y2=xz.

总之，在解题受阻时，灵活运用转化思想，将问题巧妙转化，能有效提升解题的效率.在平时的解题训练中，同学们要注意根据问题的结构特征，巧妙使用迂回战术，灵活运用转化思想，开拓新思路，使解题“柳暗花明”.

（作者单位：江苏省盐城市龙冈中学）