巧构造，妙解不等式证明题

王亚军

在学习中，我们经常遇到不等式证明题.此类问题涉及的知识面较广，如函数、不等式、方程、三角函数、圆锥曲线、解三角形等.有些不等式证明题较为复杂，采用常规方法很难使问题得解，需灵活运用构造法，将问题转化为方程、复数、函数、三角形等问题来求解，才能顺利证明结论.下面结合实例，来谈一谈如何运用构造法证明不等式.

一、构造方程

对于一些与变量相关的不等式问题，我们可将其构造成方程或者方程组，通过解方程或方程组来求得问题的答案.对于二次不等式，可将其构造成一元二次方程，利用根与系数的关系、判别式来建立关系式，求得问题的答案.

例1.

证明：

我们将已知关系式变形，得到关于 ab 以及 a + b的式子，由此联想到一元二次方程的根与系数的关系，于是构造出一元二次方程，借助判别式建立关系式，从而证明结论.

二、构造复数

在解答含有绝对值、三角式的不等式问题时，我们可将问题与复数关联起来，构造出合适的复数模型，如 z = x + yi ，通过复数运算求得问题的答案.构造复数模型，通常需将x、y看作复平面上的点 （x，y） .

例2.

证明：

我们由目标不等式联想到复数 z =a +bi 的模z = ，于是构造出两个复数 z1=a +bi，z2=c +di，通过复数运算以及绝对值不等式的性质证明结论.

三、构造几何图形

在证明不等式时，我们可深入挖掘代数式背后的几何意义，由此构造出几何图形，通过分析几何图形的位置关系、性质等建立关系式，證明不等式成立.

例3.已知a2+b2=c2，证明： an +bn <cnn ∈ N，n ≥3.

证明：设直角三角形 ABC 的三条边长a， b， c 所对应的角分别是 A， B， C，其中角 C 为直角，

由正弦定理可得sinA =，cosA =，

且0< sinA <1，0< cosA <1，

所以 an +bn <cn 等价于 sinnA + sinnB &lt; sinnC，因为 n ∈ N， n ≥3，

根据幂函数的单调性可知： sinnA + cosnA < sin2A + cos2A =1，

所以 è（æ） ø（ö）n + è（æ） ø（ö）n <1，即 an +bn <cn .

综上所述，不等式 an +bn <cn 成立.

该目标式与勾股定理a2+b2=c2较为相似，于是构造一个以c 为斜边，a 、b 为直角边的直角三角形，再利用正弦定理= = 和幂函数的单调性证明不等式成立.

在解答不等式证明题受阻时，我们要学会根据不等式的结构特征进行联想、构造，将不等式与方程、复数、几何图形关联起来，构造出合适的数学模型，把问题转化为方程、复数、几何问题来求解.这样不仅能转换解题的思路，还能提升解题的效率.

（作者单位：甘肃省岷县第二中学）