怎样比较幂函数式的大小

朱慧

比较幂函数式的大小问题侧重于考查幂函数的性质、图象、以及指数幂的运算法则.此类问题的难度一般不大，但对同学们的运算能力要求较高.常见的比较幂函数式的大小问题有三种类型：比较同底数幂函数式的大小、比较同指数幂函数式的大小、比较不同底和不同指数的幂函数式的大小.下面我们结合实例来探讨一下这三类比较幂函数式的大小问题的解法.

一、比较同底数幂函数式的大小

若两个幂函数式具有相同的底数，则需根据指数函数的单调性，通过分类讨论来比较其大小.①若底数比1大，函数式的大小会随着指数的增大而增大；②若指数大于0，但小于1，函数式的大小会随指数的增大反而变小；③若底数为负数，则需借助指数的奇偶性，通过化简，将其转化为上述两类问题进行求解.此外，还可以运用作商法来进行求解.首先将两个幂函数式化为同底数幂，并相除，底数不变，将指数相减，进而将所得的商与1相比较.

二、比较同指数幂函数式的大小

对具有相同指数的幂函数式，在比较大小时可以其底数为切入点进行解题.若底数大于0且小于1，则底数越小，函数式越大；若底数大于1，则底数越大，函数式越大.若用上述思路无法解题，则可采用作商法求解，首先对幂函数式进行化简，作商后将所得的结果与1进行比较，进而比较出两个幂函数式的大小.

解法一主要运用了作商法，解法二主要运用了作差法.无论是运用作商法還是作差法来比较两个幂函数式的大小，都需灵活运用指数幂运算的法则和性质.

比较同底数幂函数式的大小、比较同指数幂函数式的大小、比较不同底和指数的幂函数式的大小是三种常见的题目.相比较而言，比较不同底、不同指数的幂的大小问题的难度较大，因此在比较两个幂函数式的大小时，同学们要先仔细观察、比较幂函数式的底数、指数，并进行适当的变形，将其转化为同底数幂或同指数幂的函数式，以便运用指数函数的性质快速求得结果.

（作者单位：江苏省南通市海门证大中学）