关注概念教学 提高数学素养

周义

[摘  要] 数学概念是数学知识的基础和核心，数学概念的掌握情况关系着学生解题能力的高低，关系着学生认知水平的层次，关系着学生的数学思维水平的高低和数学品质的优良，这就要求教师在教学概念时不能蜻蜓点水，应关注概念形成和发展的过程，善于揭示知识的前后联系，进而帮助学生深刻领会和把握概念的本质，真正提高数学素养.

[关键词] 数学概念;本质;数学素养

数学概念既是数学知识体系的“根”，输送着数学知识生长的养分;又是数学知识体系的“藤”，让数学知识在拓展延伸中茁壮成长;它还是数学知识体系的“花”，让数学思想方法绽放耀眼的光芒，其在数学教学中的地位和价值是不言而喻的，可以说要想学好数学首先就应该学好数学概念. 也正是数学概念的重要价值，使得概念教学看似老生常谈，然而其却历久弥新. 那么在高中数学课堂应如何开展概念教学呢？要知道概念并不是一个简单的结论，其具有丰富的内涵和外延，反映的是数学对象的本质属性和特征，为此概念教学不应只关注“结论”，应多关注其形成和发展的过程，要帮助学生弄清问题的来龙去脉，以此让他们更好地理解问题的本质，并灵活应用数学概念去解决更多的现实问题，提升他们的数学应用能力和数学素养.

笔者结合自己的教学经验，谈谈在概念教学中的一些心得体会，以期抛砖引玉，引起大家共鸣.

[⇩] 重视前后知识的关联

在概念教学中，很多教师喜欢开门见山，直入主题，直接将概念抛给学生，让学生通过“记忆”和“练习”的方式理解和应用概念，这样做看似简单明了，但没有前面旧知的铺垫势必会造成学生理解上的困难，从而使他们听得一头雾水，不知所云，不仅不易于他们理解和掌握概念，而且也难以建构完整的知识体系. 其实，数学是一门逻辑性极强的学科，很多新知都是原有认知的拓展和延伸，为此在数学教学中，尤其在抽象的概念教学中，教师应重视知识间的前后联系，通过新旧联系让学生知晓引入新知的现实意义，从而让学生在联系中切身体会引入新知的必要性和合理性，以此激发学生的学习热情.

案例1 弧度制

虽然弧度制的定义并不复杂，学生也能够快速记忆，但如果在教学中直接将弧度制的概念抛给学生，他们往往会有这样的困惑，都已经有角度制了为什么还要引入新规定呢？可见学生虽然能够熟背定义，但并不理解概念的真正价值，这样也就难以接受新定义，因此“直奔主题”的讲授法并不适合弧度制的概念教学. 为了让学生能够理解概念，领会概念的合理性和必要性，教师有必要带领学生经历概念抽象的过程.

1. 创设情境

（1）探究必要性

问题1：已知扇形木板的半径为3 cm，圆心角为135°，求该木板的弧长和面积.

问题2：若用一个周长为10 m的钢丝围成一个扇形，要使扇形面积最大，求此时圆心角的度数.

设计意图：通过以上两个问题与初中所学的扇形知识相关联，让学生体会应用角度制来表示弧长或面积的烦琐，从而诱发学生思考用其他度量角的单位来优化运算.

（2）探索合理性

问题1：角度制下，1°是如何定义的？

问题2：如果一个物体的质量为1.1 g，那么用0.0011 kg表示方便吗？

问题3：若物体的质量为1 kg，所受的重力G=9.8 N，若物体的质量为1磅，求其所受的重力.

设计意图：与旧知、生活实际、其他学科知识相关联，引导学生思考度量单位合适性的问题，通过对比反差，为接下来引入弧度制奠定基础.

2. 鼓励探索

问题4：写出角度制下的弧长公式，并将公式变形为求圆心角的度数，看看你有什么发现.

设计意图：应用初中所学，由弧长公式l=得n=·，为常数，引导学生观察圆心角度数n与的值存在一一对应关系，由此联想用的值来度量角的大小.

3. 引导发现

问题5：如果让你来定义“1弧度的角”，你认为为何值时更方便呢？

设计意图：引导学生联想特值“1”，自己总结归纳出“1弧度的角”的定义.

让学生经历以上过程，不仅化解了教学重难点，而且深化了对概念的理解，让学生懂得引入新概念的重要价值，凸显弧度制的必要性，让学生不仅掌握了概念，而且认清了问题的本质，显然比直接给出定义更有价值. 在现实教学中，教师应善于通过有目的地创设问题来诱发学生去经历概念的形成过程，让学生也可以像数学家那样去思考和解决问题，从而掌握正确的数学研究方法，激发学生的数学学习信心.

[⇩] 关注概念发展的过程

纵观数学史可以发现，任何数学概念的形成都会经历一个發展的过程，有些重要的概念可能会经历上百年的验证、实践、抽象，为此对概念的学习也不能一蹴而就. 另外，受年龄结构、认知结构、思维能力等多种因素的影响，在不同阶段学生的理解能力也会有所不同，这就要求教师在概念教学中不能急于求成，应该遵循学生的思维发展规律，逐渐完善其认知.

例如，对于“数”的概念，由自然数、整数到有理数、无理数、实数，再到复数，让学生感悟了“数”的扩充与发展. 又如，几何中的平行、垂直、角、距离，其渗透于小学阶段，完善于高中阶段，在不同的阶段都会对其有不同的感悟. 再如函数概念，在初中阶段从变化关系的角度来定义，主要呈现两个变量之间的互相依赖关系，随着学生认知水平的不断提升，学生慢慢发现单纯从变量变化的观点来理解函数概念存在一定的局限性，为此在高中阶段又在映射观下重新定义了函数，使概念的内涵更加丰富.

为了暴露变量观下函数定义的局限性，教师设计了如下问题引发认知冲突，以期学生能够切身感受映射观下函数定义的优越性. 问题如下：

设点A（0，2），B（2，2）为定点，点M（x，0）为x轴上任意一点，试问△MAB的面积S是否为x的函数.

如果从变量观的角度去理解，大部分学生认为S不是x的函数，因为当x变化时，△MAB的面积S保持不变，一直为常数2，为此不符合函数定义，故S不是x的函数. 也有少部分学生认为，其本质依然反映了两个量的依赖关系，可理解为S=2+0·x，故只要将原来的定义适当修改和扩充，S可以看作为x的函数. 通过创设认知冲突，颠覆了学生对传统定义的认识，让学生在函数概念发展和完善的过程中更好地理解了概念，培养了学生科学探索的精神.

在新知教学中，教师应善于与旧知相串联，让学生在扩充、发展、完善的过程中经历数学发展的过程，从而提高学生科学素养，培养学生勇于探索、勇于创新的精神. 另外，通过感悟数学的发展有助于培养学生正确的数学观和学习观，有助于学生更好地认识数学、理解数学、应用数学.

[⇩] 概念学习做到“学懂吃透”

数学是一门严谨的学科，对数学知识的表述上要做到准确、严谨，尤其概念所反映的是数学对象的本质特征，为此在概念教学中一定要让学生将概念学懂吃透，切勿因含糊不清而造成理解偏差，从而使概念走样. 为此，在概念教学中要让学生明晰每个词、每个符号、每个限定条件、每种特殊情况等等，只有将概念记牢，才能确保学生准确地应用概念去解决相关问题. 不过很多教师认为概念是在“用”的过程中逐渐明晰的，为此没有必要咬文嚼字，只要平时练习中多加注意就不会犯错，但在实践中发现，若教学之初，学生不能将概念学懂吃透，后面即使花了大力气也很难让他们真正理解，为此首次导入概念时就应让学生牢记于心.

例如，对于等比数列的定义，教师给出定义后，可以带领学生逐字逐句地分析，并整理归纳出如下内容：①将文字语言转换为符号语言，即若以

a表示数列，q表示常数，则a=qa，n=2，3…;②理解从第2项起和常数的含义;③弄清隐含条件a≠0，q≠0. 在学生学习概念时，既要明晰其显性特征，又要挖掘其隐含条件，这样才能有效避免出错. 比如，学习概念后，要求学生判断如下命题：

①常数列一定是等比数列.

设计意图：通过创设“陷阱”加深学生对a≠0这一隐含条件的理解. 在实践教学中发现，很多学生容易忽视常数为零的情况，由此认为所有常数列都是公比q=1的等比数列.

②若q为等比数列的公比，则当q≠0时，qx2+px+r=0是关于x的二次方程.

设计意图：主要考查学生对等比数列q≠0这一限定条件的認识. 从本题的反馈来看，很多人认为该命题是正确的，要知道q≠0已经在“若q为等比数列的公比”这一信息中给出，题设中再次出现q≠0有画蛇添足之意，去除题设中q≠0的条件后，命题才是正确的.

在学习概念的过程中一定要让学生将概念记牢，这是应用概念的前提和保障，否则简单的生搬硬套只会造成理解偏差，最终产生错误.

总之，在概念教学中教师要将概念更加全面地、系统地呈现给学生，让学生可以对概念形成深刻的认识，领会和把握概念的本质，进而将概念学好、用活，以此提升他们的数学学习能力和数学素养.

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