基于研究生创新思维能力培养的“非线性泛函分析”课程教学探究

吴照奇 朱传喜

摘    要：研究生创新思维能力的训练是研究生培养的核心。如何以研究生课程教学改革为依托，有效激发研究生的创新欲望，牢固树立其科研创新意识，引导其发现问题，并积极探究解决方式，最终实现创新思维能力的养成和提升，是目前研究生培养中亟待解决的重要问题。文章以“非线性泛函分析”课程教学实践为例，探讨如何通过提高学生的自主探究能力，实现创新人才的培养目标。

关键词：非线性泛函分析;自主探究;合作小组;创新人才

中图分类号：G643          文献标识码：A          文章编号：1002-4107（2022）03-0004-03

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》指出，要“实施‘研究生教育创新计划。加强管理，不断提高研究生特别是博士生培养质量”[1]。《江西省中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》明确要“建立健全学术型、专业型研究生教育创新体系”[2]。《江西省教育事业发展“十三五”规划》提出，要“推動高校加强研究生课程建设，加强不同培养阶段课程的整合衔接，提升研究生课程教学质量”[3]。

一、问题的提出

研究生创新思维能力的训练是研究生培养工作的核心。如何以研究生课程教学改革为依托，激发研究生的创新欲望，培养研究生的创新意识，引导其寻找合理创新路径，主动发现问题，并积极探究解决方式，最终实现创新思维能力的养成和提升，是目前研究生培养中亟待解决的重要问题。

应用泛函分析是南昌大学应用数学硕士点的主要研究方向之一。“非线性泛函分析”是南昌大学应用数学专业研究生的一门重要专业课，是该专业研究生开展科研工作的重要基础。本课程现采用的主要教材与参考书目包括：马丁·谢克特（Martin Schechter）编著的An Introduction to Nonlinear Analysis[4]、埃伯哈德·蔡德勒（Eberhard Zeidler）编著的Nonlinear Functional Analysisand its Applications I：Fixed-Point Theorems[5]、孙经先教授编著的《非线性泛函分析及其应用》[6]和郭大钧教授编著的《非线性泛函分析》[7]等。

长期以来，南昌大学“非线性泛函分析”课程教学面临以下突出问题。第一，学生在本科阶段习惯教师讲授的教学方式，尚不太适应以报告和讨论为主的教学方式。第二，部分学生倾向于被动接受书本上的知识，自主思考能力薄弱，不善于挖掘现有理论产生和发展的动因与背景。第三，学生更注重对于知识的学习，对相关理论形成过程中产生的重要研究方法的领悟和运用重视度较低。

通过课程教学实践，期望解决以上问题，并使学生逐渐适应以自主探索学习为主、教师讲授和参与讨论为辅的研究生课程教学方式，训练其严谨清晰讲解数学知识、准确到位总结归纳的能力。笔者以探究本门课程的教学改革与研究生创新思维能力培养为契机，指导学生了解和掌握相关理论的历史背景和演化逻辑，梳理知识体系的发展脉络，把握专业方向的发展态势，为下一步学习作好准备。同时，将学生从以知识为主要学习对象的局限中解放出来，引导其更多地挖掘知识背后隐藏的重要研究方法，深刻领悟解决不同具体问题的研究手段和技巧。

二、课程改革的具体措施

（一）改革教学方法和模式，使学生逐渐适应报告为主的授课方式

对大多数国内高校而言，本科阶段的大部分课程仍遵循传统教学方式。与其形成反差的是，当学生进入研究生阶段，尤其是涉及专业课学习时，教师的讲授居次要地位，而学生的报告和与教师的讨论则需更多的时间。在这一过程中，学生会产生强烈的不适应感。

如何解决这一问题呢？在课程开始时，可以考虑先以教师讲授为主，对本门课程进行一个宏观的介绍，讲授3～4次课，引领学生了解基础知识，并布置后期要完成的任务（通常是以学生轮流报告，教师参与点评和讨论为主）。每轮授课中，教师讲授和学生报告具体各占多大比例，应根据学生基础、接受和领悟能力来定，不能一概而论。

教师要针对每一次课的内容，在学生报告时适时地进行提问，反复进行互动和正向反馈，达到让学生理解相关理论精髓的目的。教师的作用绝非只是简单评价讲解的好坏，而应起到穿针引线的作用，使学生通过报告真正有所收获。具体来说，有两个层次：第一个层次是学生应理解和掌握自己讲授的内容，教师可通过提问来检验，针对知识点可以连续提问，由浅入深，步步推进。最基本的要求是学生应完善教材或专著上未能详细阐述的知识点，教师提问细节时学生可能会“挂黑板”，但只有这样，学生才能印象深刻。对于学生既要适当鼓励，又要适当施加压力。第二个层次是学生能在此基础上进行深度思考，在报告时教师应适时引导和发问，如为什么要这样引入定义？必要性是什么？合理性在哪里？相关定理条件为何要这样设定？可否更改？定理的妙处在哪里？只有这样，才能最大程度地激发学生的好奇心和求知欲，在潜移默化中逐步培养其创新意识和创新精神。

在后续环节中，除教师点评外，引入“合作小组学习”模式，让选课的研究生在课后互相交流报告经验，在报告中采用互评的方式，让他们相互启发，增强团队合作意识。引入“问题导向学习”模式，在课程报告后期，可视情况适当让学生报告1～2篇前沿科研论文，有意识地引导学生针对某些内容提出问题，以“问题”为导向和驱动，带着问题去补基础、学工具、找方法、练本领，活学活用，避免学习过多的基础知识却不用于研究问题而做无用功。让学生正确处理好“读书”与“读论文”的关系。

学生自主报告的另一个训练重点是培养学生用简明、清晰、准确、严谨的数学语言来表达数学思想的能力。这不仅需要对所报告内容有较为透彻的理解，还需要对所讲的内容进行有效的设计，梳理重点、分清主次，将问题的来龙去脉讲清楚。问题从何而来，研究思路是什么，方法有何特别之处和精妙之处，都是需要学生在报告时进行总结的。

在南昌大学理学院的“非线性分析与方程”科研团队中有众多教授和副教授为博士生导师或硕士生导师。除了单一教师授课外，也可借助团队的师资力量，邀请团队中其他教师共同听取学生报告，并给予点评和指导。不同教师的具体研究方向和专长有所差异，这样可最大程度地发挥团队指导的优势，让学生博采众长，快速成长。此外，还可通过邀请专家学者来校开设讲座扩大研究生的视野，促使其尽快进入学术前沿。

（二）提高学生自主探究意识，挖掘数学理论的历史背景与产生动因

学生在本科阶段大多是以闭卷考试的单一考核形式，学生习惯了被动接受，自主思考能力和思辨能力较为薄弱。进入研究生阶段后，学生要面临一定的科研创新工作，研究生专业方向课的学习是实现这一转换的有利契机。

华罗庚先生曾说：“读书要由薄到厚，再由厚到薄。”由薄到厚是补足证明、完善细节的过程，由厚到薄是提炼升华、削枝强干的过程，这两个过程是相辅相成、缺一不可的。要引导学生在彻底消化理解所有理论结果证明细节的基础上，提炼出所学内容的本质和精髓。

要让学生思考数学定理和相关结果产生的背景和动因，这需要教师一方面熟悉和了解相关数学理论的历史和发展，另一方面引导学生理解相关的定义、定理是在研究什么问题时受到驱动而创立的。要引导学生追本溯源，深刻理解这些数学理论并非凭空产生，而是有实际需求的。要体会提出问题者和学科奠基人所处的大背景，才会有比较切实的体会。

“非线性泛函分析”是研究生基础课程中最重要的一门综合性课程，以难度大、内容多为特点。受课时限制，本课程主要讲述三方面内容：（1）赋范线性空间的微分学;（2）拓扑度理论及相关不动点定理;（3）锥理论与半序方法。比如，教师在介绍拓扑度理论时，要先介绍这一理论的缘起以及早期建立时所利用的代数拓扑方法，再说明如何利用分析学的工具重建这一重要理论。同时，要让学生知晓拓扑度理论可以导出一系列重要的不动点定理，这些不动点定理又可进一步解决大量非线性方程解的问题。再如，教师在讲解锥理论与半序方法部分内容时，要让学生明白在实际中产生的大量非线性方程都是缺乏连续性或缺乏紧性的。半序方法的好处在于，可以建立仅使用较弱的连续性或较弱的紧性条件（而这些紧性条件很多实际问题中通常是自然满足的）的定理，以解决更广泛的问题。

另一方面，介绍一些对泛函分析应用作出杰出贡献的中国数学家的代表，其中重点介绍田方增和关肇直等人的生平和贡献。田方增和关肇直都曾在法国留学，他们同是中国泛函分析的开拓者。20世纪50年代中后期，田方增等人为响应国家号召，放弃原有科研计划，结合数学物理、国防科技数学，开展泛函分析的应用工作，并与关肇直合作共同开辟了中国原子能科学技术领域中“粒子迁移理论的数学问题”的研究，填补了中国在尖端科学技术领域中数学研究工作的一个空白，在中国成功地探索出应用泛函分析的一个重要科研领域[8]。这是理论联系实际的范例，可以让学生认识到“实际问题—理论—实际应用”是数学研究的一种重要范式。数学理论不是“无源之水，无本之木”。

（三）引导学生关注研究方法，使知识掌握和方法积累双管齐下

任何一门课程的学习都涉及到知识和方法两方面的习得。只关注知识的灌输，不重视研究方法的渗透，无法让学生体会前人如何在已有理论上进行创新，当然就更谈不上下一步自己进行科研創新了。

“非线性泛函分析”的三个重要研究方法是拓扑度方法、半序方法和变分方法。这三个重要方法各有其优劣，是在研究不同的非线性问题时创立和发展出来的。在学习时，要体会不同方法的特色和亮点，这样，才能在实际应用时得心应手、游刃有余。这些方法还可以互相结合，形成更强有力的工具。如半序方法与拓扑度方法相结合，称为半序拓扑方法。利用这一方法，可得到经典的锥拉伸与压缩不动点定理等许多重要结果。

拓扑度理论的内容体现了“化繁为简，由简至繁”地考虑问题的数学思想。为了建立无穷维空间中映射的拓扑度理论，可先考虑建立有限维空间中映射的度理论。要建立有限维空间中的结果，又可通过先建立n维欧氏空间Rn中相关结果来完成，而这又可以藉由先讨论R2中的度理论来推广。历史上，Brouwer L E于1912年对有限维空间中连续映射建立了度理论，现通常称之为Brouwer度。此后，Leray J和Schauder J在1934年利用有限维逼近的方法推广了Brouwer度，建立了Banach空间中全连续场的拓扑度，即现在所谓的Leray-Schauder度，这是拓扑度理论的重要突破，具有里程碑式的意义。

在拓扑度理论相关定理证明过程中，还应让学生知道在利用拓扑度理论时重点在于如何构造同伦，在构造的过程中，利用的是“逆向思维”的方法。有的定理在讲解完之后，还可引导学生考虑可以从什么角度进行推广。比如，空间是否可以推广？映射类型是否可以推广？算子是否可以推广为随机算子？在让学生进行尝试之后，可以告诉学生已有文献中有哪些关于这一结果的相关推广，并推荐一些参考文献让学生进一步深入阅读。这样，可以让学生在学习课程的同时，进行初步的科研尝试，作为后一阶段论文撰写的热身。

针对传授事实还是传授方法这一问题，实际上，事实和方法不见得可以轻松拆分开来。侧重于任何一方，都可能影响学习习惯的养成和最终的学习效果。因此，需要指出的是，不能过分强调方法和“批判性思维”，而轻视对知识的传授[9]。事实上，方法须以知识作为载体。

三、结语

2020年7月，习近平总书记就研究生教育工作作出重要指示，强调研究生教育在培养创新人才、提高创新能力、服务经济社会发展、推进国家治理体系和治理能力现代化方面具有重要作用。各级党委和政府要高度重视研究生教育，推动研究生教育适应党和国家事业发展需要，坚持“四为”方针，瞄准科技前沿和关键领域，深入推进学科专业调整，提升导师队伍水平，完善人才培养体系，加快培养国家亟需的高层次人才，为坚持和发展中国特色社会主义、实现中华民族伟大复兴的中国梦作出贡献[10]。

课程学习是研究生求学期间的主要任务之一，也是日后进行科研的重要基础。以研究生课程建设和改革为抓手，来实现研究生创新能力的培养是可行的。本文以“非线性泛函分析”课程为例，分析了如何通过改革教学方法、教学模式和教学内容，依托课程强化学生的创新思维意识和创新思维能力。在这一过程中，要适时地对研究生进行引导，鼓励其进行自主探究。只有这样，才能从根本上使研究生经过严格训练，通过对知识的深度加工将其内化为自身的创新能力。

参考文献：

[1]顾明远，石中英.国家中长期教育改革和发展规划纲要    （2010—2020年）解读[M].北京：北京师范大学出版社，    2010：1-476.

[2]江西省人民政府办公厅.江西省中长期教育改革和发展    规划纲要（2010—2020年）[R].南昌：江西省人民政府公报，    2010.

[3]江西省人民政府办公厅.江西省教育事业发展“十三五”    规划[R].南昌：江西省人民政府公报，2016.

[4]Schechter M.An Introduction to Nonlinear Analysis[M].    Cambridge：Cambridge University Press，2004：1-376.

[5]Zeidler，Eberhard.Nonlinear Functional Analysis and its    Applications I：Fixed-Point Theorems[M].Berlin：Springer，    1985：1-897.

[6]孫经先.非线性泛函分析及其应用[M].北京：科学出版社，    2008：1-284.

[7]郭大钧.非线性泛函分析（第三版）[M].北京：高等教育出版    社，2015：1-427.

[8]邓亮.田方增留法经历考述[J].内蒙古师范大学学报（自然    科学汉文版），2019（6）.

[9][美]威廉·庞德斯通.知识大迁移：移动时代知识的真正价    值[M].闾佳，译.杭州：浙江人民出版社，2018：9-11.

[10]胡浩.习近平对研究生教育工作作出重要指示强调 适应      党和国家事业发展需要 培养造就大批德才兼备的高层      次人才 李克强对研究生教育工作作出批示[EB/OL].      （2020-07-29）[2021-02-10].http：//news.china.com.cn/      2020-07/29/content_76326487.htm.