中间约束输流管道流固耦合振动的数值模拟

随岁寒，孟 华，彭丹华，马光富

中间约束输流管道流固耦合振动的数值模拟

随岁寒1，孟 华1，彭丹华1，马光富2

(1．商丘工学院机械工程学院，河南商丘 476000；2．商丘工学院信息与电子工程学院，河南商丘 476000)

基于流体层流假设，研究细长输流圆管在弹簧约束条件下的动力学特性．根据虚功原理建立输流管道系统的控制方程，应用有限差分法离散求解域，采用两端简支的边界条件导出了系统广义复特征方程，随后研究了管道固有频率与流体粘性及弹簧刚度的关系．数值求解了流体临界速度，分析了弹簧刚度对临界速度的影响．结果表明：流体平均速度增大则固有频率降低；流体平均速度相同的条件下，粘性的存在使得固有频率降低；弹簧对系统固有频率和临界速度的影响与弹簧刚度和弹簧的布置位置相关．

粘性流体；中间约束；输流管道；固有频率

输流管道系统多应用于航空航天和石油化工等领域，目前关于其振动问题的研究很多．作为动力学问题的重要方面，输流管道的自由振动及其稳定性备受关注．例如：Huang等[1]采用Galerkin法研究了输流管道流固耦合的自由振动特性；Wang等[2]研究了磁场作用下的碳纳米输流管道的自由振动问题；Ni等[3]基于微分变换方法分析了细长输流管道在不同边界条件下的输送流体管道的振动问题；许锋等[4]基于Galerkin法研究了分布随从力作用下的输流管道的稳定性问题；Li等[5]基于动刚度矩阵法研究了输流管道的自由振动问题；李明等[6]基于微分变换法研究了温度和磁场共同作用下的输流管道的振动及稳定性问题；Bahaadini等[7]研究了粘弹性地基上输流管道的稳定性问题；Tang等[8]基于微分求积法研究了功能梯度纳米输流管的自由振动问题；Li等[9]基于Galerkin法和四阶龙格库塔法分析了轴向无约束输流管道的横向振动响应；周坤等[10]基于绝对节点坐标法对铝-钢和钢-铝两种周期性悬臂输流管道的稳定性和非线性动力学行为进行了研究．

同时，也有许多学者在研究输流管道的受迫振动问题．例如：Li等[11]基于格林函数法研究了输流管道的受迫振动；Sazesh等[12]研究了输流管道在分布随机激励下的受迫振动；Zhou等[13]研究了基础激励下的输流管道的受迫振动；赵千里等[14]基于格林函数法研究了端部弹性支承输流管路的强迫振动．

现有研究均假设流体在管道中匀速流动，即不考虑流体粘性．实际上，在考虑流体粘性的情况下，流体在圆管中层流的速度分布是以圆管的轴线为中心线的二次抛物面，因此考虑流体粘性更符合工程实际情况．此外，在工程应用中，管道系统受到弹簧等外部结构的约束往往会提升系统的稳定性．

本文利用Euler梁模型来模拟细长管道，通过虚功原理导出中间约束输流管道系统控制方程，以有限差分法为求解工具，分析了流体平均速度、流体粘性和弹簧刚度对固有频率的影响，同时分析了弹簧刚度对临界速度的影响．

1 数学模型

图1 输流管道示意图

由于输流管道往往为细长结构，因此可将其简化为梁模型．根据Euler梁理论，管道的应变能变分为：

中间约束的势能变分为：

流体质点的横向加速度可按照加速度合成定理得到：

图2 圆形管道流体速度分布

管道与流体总的惯性力做功的变分为：

将（1）式、（2）式和（5）式代入虚功原理表达式

经分部积分后得到：

两端简支边界条件可表达为：

设（8）式的解为：

各阶偏微分表达成如下形式：

将（13）式、（14）式和（15）式代入（12）式，整理可得：

边界条件（9）式和（10）式的处理如下：

将（16）式、（17）式和（18）式整理得到系统的广义复特征方程：

解之可得输流管道系统固有频率．

2 数值算例

图6给出了弹簧刚度对前三阶固有频率的影响．弹簧刚度从0增大到9 × 106N / m的过程中，前三阶频率增大比例分别为134.11%、0.18%、2.58%，可见弹簧刚度对第一阶频率影响最大，对第二阶固有频率几乎没有影响，对第三阶固有频率影响相对较小．以上规律的产生可以从图5前三阶模态函数找到原因，即：第一阶和第三阶模态的振动始终受弹簧的约束，随着模态的升高系统的振动幅值会逐步衰减，因此第三阶相对于第一阶固有频率受到弹簧的影响小；第二阶模态在管道中点处的位移始终为零，因此第二阶固有频率不受弹簧刚度影响．可见，管道系统振动受弹簧刚度和布置位置的共同影响．

图3 前三阶固有阶频率（虚部）与流体平均速度的关系（σ0= 1 MPa, k = 3×106N / m）

图4 前三阶固有阶频率（实部）与流体平均速度的关系（σ0= 1 MPa, k = 3×106N / m）率（虚部）与流体平均速度的关系（σ0 = 1 MPa, k = 3×106 N / m）

图5 前三阶模态函数（σ0= 1 MPa,K = 3×106, 11 m / s）

图6 弹簧刚度对固有频率的影响（11 m / s, σ0= 1 MPa）

为得到临界速度，可略去（16）式与频率相关的量，得到：

求解（21）式可得临界速度．图7给出了临界速度与弹簧刚度的关系，弹簧刚度从0增大到9 × 106N / m，第一阶临界速度增大109.75%，第二阶临界速度不受影响，第三阶临界速度增大4.28%．可见，弹簧刚度对临界速度的影响与对固有频率的影响规律相似．

图7 临界速度与弹簧刚度的关系（σ0 = 1 MPa）

3 结 论

考虑粘性流体在圆管中层流流动，采用Euler梁理论模拟细长管道，利用虚功原理推导系统控制方程，研究了粘性流体与弹簧约束输流管道的耦合振动问题，通过有限差分法离散控制方程，求解分析了前三阶固有频率与流体平均速度、粘性和弹簧刚度的关系，以及弹簧刚度对前三阶临界速度的影响．各参数对管道系统自由振动的影响总结如下：流体平均速度增大固有频率减小；粘性的存在使得固有频率偏低；弹簧刚度和布置位置共同影响系统固有振动；弹簧刚度和布置位置共同影响临界速度．

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Numerical Simulation on Fluid-solid Coupling Vibration of Fluid-conveying Pipes with Intermediate Constraint

SUI Suihan1, MENG Hua1, Peng Danhua1, MA Guangfu2

(1. School of Mechanical Engineering, Shangqiu Institute of Technology, Shangqiu, China 476000;2. School of Information and Electronic Engineering, Shangqiu Institute of Technology, Shangqiu, China 476000)

Based on the assumption of fluid laminar flow, this paper studies the dynamic characteristics of slender tubes with flow transport under spring constraints. Based on the principle of virtual work, the governing equation of fluid-conveying pipe system is established. The solution domain is discretized by the finite difference method, and the generalized complex characteristic equation of the system is derived by using the simply supported boundary conditions at both ends. Then the relationship between the natural frequencies of the pipe system and the fluid viscosity and the spring stiffness is studied. The critical velocity of fluid is solved numerically and the influence of spring stiffness on the critical velocity is analyzed. The results show that the natural frequency decreases as the average velocity of fluid increases. When the average velocity of fluid is the same, the viscosity reduces the natural frequency. The influence of the spring on the natural frequency and critical velocity of the system is related to the spring stiffness and the spring arrangement position.

Viscous Fluid; Intermediate Constraint; Flow-conveying Pipes; Natural Frequencies

O327

A

1674-3563(2022)01-0001-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2022.01.001

本文的PDF文件可以从www.wzu.edu.cn/wzdxxb.htm获得

2021-02-28

河南省高等学校重点科研项目(21B520016)

随岁寒(1988― )，男，河南商丘人，助教，硕士，研究方向：计算力学

(编辑：王一芳)

(英文审校：黄璐)