一类带对数非线性项的分数阶伪抛物方程的存在性与爆破

王冬秀,邓启刚,曾福庚

(贵州民族大学 数据科学与信息工程学院，贵阳 550025)

考虑如下一类带对数非线性项的分数阶伪抛物方程的初边值问题：

(1)

方程(1)在自然科学中有广泛应用,尤其可应用到一些物理、生物场景.比如非线性、色散、长波的单向传播[1],种群聚集[2]和晶体半导体中的非平稳过程[3]等.

当s趋向于1时,方程(1)变为标准的拉普拉斯方程：

(2)

围绕方程(2)解的性质研究通常采用由Sattinger[4]、Payn和Sattinger[5]建立的位势阱法以及一些改进的位势阱理论[6].Chen和Tian[7]给出了关于方程(2)解的最新理论,证明了全局存在性和无穷远处爆破等系列结果.对于其他结果,可参见文献[8-11].

在分数阶情形下,Nezza等[12]在索伯列夫(Soblev)空间上建立了相应的Sobolev不等式和Poincare不等式.Fu和Pucci[13]研究了方程：

(3)

(4)

并得到了方程(4)在初始能量J(u0)≤d时解的全局存在性、衰减性以及在无穷时间的爆破.

1 预备知识

首先回顾分数阶Soblev空间的一些定义和性质[12].

注1当p=2时,Ws,2(Rn):=Hs(Rn)是Hilbert空间.

定义能量泛函J(u)和Nehari泛函I(u)如下,

(5)

(6)

由引理1有

(7)

由式(5)(6)和(7),可得

(8)

(9)

紧接着定义位势阱集

(10)

并且给出位势阱集相对应的集合为

(11)

其中d为位势阱深度，

(12)

给出Neheri流形为

(13)

通过式(8)和式(9)有

(14)

下面给出弱解、最大存在时间、有限时间爆破的定义.

(15)

(iii) 对于0≤t

(16)

定义3(最大存在时间) 设u=u(x,t)是方程(1)中的解,最大存在时间定义为

(i) 如果u(x,t)存在区间为[0,∞),则Tmax=+∞;

(ii) 如果存在t0∈[0,∞),使得u(x,t)在0

2 主要结果和证明

(17)

(18)

由式(18)有J(um(0))→J(u0).对于足够大的m和J(u0)

(19)

由式(18)和J(u0)0,可知对于足够大的m,um0=um(x,0)∈W.下面证明um(x,t)∈W.由反证法,假设∃t0∈(0,T0)使得um(x,t0)∈∂W，即J(um(t0))=0且um(t0)≠0,则有J(um(t0))≥d,这与式(19)矛盾;若J(um(t0))=d,这也与式(19)矛盾.

因此,对于足够大的m和0≤t≤T0有

um(x,t)∈W.

(20)

由式(14)(19)和(20)有

(21)

对于足够大的m和0≤t≤T0,即

(22)

(23)

(24)

由式(22)可得T0=+∞.

(25)

umt⇀ut在L2([0,∞);L2(Ω))中弱收敛.

(26)

由式(25)(26)和Aubin-Lions-Simon引理[16]有

um→u在C([0,∞);L2(Ω))中强收敛.

因此，

(27)

(28)

由式(27)(28)可得

(29)

根据式(25)(26)和(29),在(17)中取极限m→+∞,则对a.e.t∈(0,+∞)有

(30)

对式(30)从0到t积分有

(31)

类似地,对式(17)从0到t积分,然后取极限m→+∞有

(32)

由式(31)(32)可得u(0)=u0.令θ(t)∈C([0,T])是非负函数,则有

(33)

因此有

因为θ(t)是任意的,则有

证明由反证法,不妨设方程(1)具有全局解u(t),最大存在时间Tmax=+∞.定义

(34)

则有

(35)

(36)

由式(36)有

(37)

根据式(15)(16)可得

(38)

因为J(u0)0,t∈[0,Tmax].

由引理2,∃λ*∈(0,1),使得I(λ*u)=0,通过d的定义,可以推出

(39)

由式(38)(39),可得

(40)

结合(37)和I(u)<0有G″(t)>0,所以，

(41)

由式(36)和Holder不等式,有

(42)

结合(34)(40)和(42),得到

(43)

现在固定t0>0,那么由式(39)有

(44)

因此,

(45)

取T>t0足够大,定义

(46)

那么,M(t)≥G(t)>0,M′(t)=G′(t)-G′(0)且G″(t)=M″(t)>0,则由式(42)可得,

(47)

(48)

(49)

3 结语