m-几何凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式

刘 倩，王淑红

(内蒙古民族大学 数理学院，内蒙古 通辽 028000)

凸函数是一个简单而自然的概念，在工业、商业、 医学和艺术中均有大量应用.但遗憾的是涉及实际问题中的大量函数都是非凸函数.这就促使人们考虑有别于通常凸性的其他形式的凸性，如拟凸函数、s-凸函数、预不变凸函数、p-凸函数、h-凸函数等，这些统称为广义凸函数，使其既能保持凸函数的一些良好性质又具有比凸性更弱的条件，其实用的范围却比凸函数要广.Toader[1]引入了m-凸函数的概念，并研究了m-凸函数的基本性质.Dragomir[2]建立了m-凸函数的Hermite-Hadamard类不等式.Zhang等[3]引入了几何凸函数和s-几何凸函数的概念，并建立了一些几何凸函数和s-几何凸函数的Hermite-Hadamard类不等式.Tunç[4]建立了几何凸函数和s-几何凸函数的Hermite-Hadamard类积分不等式.Xi等[5]定义了m-几何凸函数和(α,m)-几何凸函数，并建立了一阶可微单调递减m-几何凸函数和(α,m)-几何凸函数的Hermite-Hadamard类不等式.Önalan等[6]建立了m-几何凸函数和(α,m)-几何凸函数的Simpson类不等式.Tunç[7]建立了m-几何凸函数和(α,m)-几何凸函数的Ostrowsk类Riemann-Louville分数积分不等式.Baloch等[8]建立了调和(s,m)凸函数的Fejér类不等式.Bracamonte等[9]建立了第二种意义下互(s,m)-凸函数的一些不等式.在此基础上，本文继续研究m-几何凸函数，建立了一些新的基于区间[a,b]上m-几何凸函数的积分均值、区间[a,b]端点几何均值的像和区间[a,b]端点像的几何均值的Hermite-Hadamard类不等式.

1 预备知识

首先给出经典凸函数的概念：

定义1[10-11]设f:I⊆R=(-∞,∞)→R，如果f满足

f(tx+(1-t)y)≤tf(x)+(1-t)f(y)，

其中x,y∈I,t∈[0,1]，则称f(x)是I上的凸函数.

下面的双不等式就是著名的Hermite-Hadamard积分不等式.

定理1[12-13]设f:I∈R→R是一个定义在实区间I上的凸函数，a,b∈I且a

1985年，Toader引入了m-凸函数的概念.

定义2[1]设f:[0,b]⊂R→R,m∈(0,1]，如果

f(tx+m(1-t)y)≤tf(x)+m(1-t)f(y),

其中x,y∈[0,b],t∈[0,1]，则称f(x)是[0,b]上的m-凸函数.

2002年，Dragomir给出了m-凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式.

定理2[2]设f:[0，∞)→R是一个m-凸函数，0≤a

2012年，Zhang等人引入了几何凸函数.

定义3[3]设f:I⊂R+=(0,+∞)→R+,如果

f(xty1-t)≤[f(x)]t[f(y)]1-t,

其中x,y∈I,t∈[0,1]，则称f(x)是I上的几何凸函数.

2012年，Tunç给出了几何凸函数的Hermite-Hadamard类积分不等式.

定理3[4]设f:I⊂R+→R+是一个定义在I上几何凸函数.若f在区间[a,b]⊂I上是单调递减的,则

2012年，Xi等人给出了m-几何凸函数的概念，并建立了m-几何凸函数的Hermite-Hadamard类积分不等式.

定义4[5]设f是[0,b]上的正值函数，t∈(0,1]，如果

f(xtym(1-t))≤[f(x)]t[f(y)]m(1-t),

其中x,y∈[0,b],m∈[0,1]，则称f(x)是[0,b]上的m-几何凸函数.

定理4[5]设f:I⊂[0,∞)→(0,∞)是可微函数.若f′∈L([a,b])，且|f′(x)|在区间[min{1,a},b]上是单调递减的m-几何凸函数,0≤a

2 主要结论

为了方便起见，引入记号W0(x)=f(x),Wi(x)=fmi(xm-i),(i=1，2).对数均值L(u,v)：

(1)

定理5设f：I⊆R+→R+是一个可积函数,a,b∈I且a

(2)

其中G(u,v)是几何均值，L(u,v)是对数均值.

证明由f的m-几何凸性有

(3)

取x=atb1-t,y=a1-tbt，代入式(3)有

(4)

将式(4)在区间[0,1]上对t积分，即得式(2)的左边不等式.

再次利用f的m-几何凸性，有

(5)

将式(5)在区间[0,1]上对t积分，即得式(2)的右边不等式.

定理6设f：I⊆R+→R+是一个可积函数，a,b∈I且a

A(G(W1(b),L(W2(a),W0(a))),G(W1(a),L(W2(b),W0(b))))≤

(6)

其中A(u,v)是算术均值，G(u,v)是几何均值，L(u,v)是对数均值.

证明在式(3)中分别取x=atb1-t,y=a1-tbt和x=a1-tbt，y=atb1-t得

求和得

(7)

将式(7)在区间[0,1]上对t积分，即得式(6)中的第一个不等式.

类似式(5)的讨论，有

(8)

对式(5)和式(8)在[0,1]上对t积分，再利用式(7)即得式(6)中的第二个不等式.利用均方值不等式也得到式(6)的第三个不等式.

定理7设f：I⊆R+→R+是一个可积函数，a,b∈I且a

(9)

其中A(u,v)是算数均值，G(u,v)是几何均值，L(u,v)是对数均值.

证明利用函数f的m-几何凸性和均值不等式，得

(10)

将式(10)中第二个不等式在区间[0,1]上对t积分，即得式(9)中的第一个不等式.

再将式(10)中第三个不等式在区间[0,1]上对t积分，即得式(9)中的第二个不等式.

定理8设f：I⊆R+→R+是一个可积函数，a,b∈I且a

A(L(bW1(b),aW0(a)),L(aW2(a),bW1(b))),

(11)

其中A(u,v)是算术均值，G(u,v)是几何均值，L(u,v)是对数均值.

证明类似定理7的讨论，得到:

和

A(L(bW1(b),aW0(a)),L(aW2(a),bW1(b))).

3 结语

本文利用经典的均值不等式和m-几何凸函数的概念，建立了一些新的基于区间[a,b]上m-几何凸函数的积分均值、区间[a,b]端点几何均值的像和区间[a,b]端点像的几何均值的Hermite-Hadamard类不等式.关于m-几何凸函数以及(α,m)-几何凸函数的性质和应用还有待进一步讨论.