小学数学“图形策略”教学探讨

杜文娟

（扬州市育才小学,江苏 扬州 225000）

数学与人类社会生活紧密相连，数学问题来自对现实生活或具体情境的抽象，通过解决数学问题达到认识人类社会中事物之间数量关系，促进社会发展。数学是研究数量关系的学科，数学问题的解决就是用算式表达题目中的数量关系。找出问题中的数量关系包含复杂思维分析过程的数学模型构建过程。文字虽能较好地描述数学问题，但是透过抽象的文字难以直接发现问题中的数量关系。选择运用合理的解题策略解构文字信息、发现数量关系、寻求数学本质、构建数学模型才是解决问题的关键。图形策略是小学阶段重点讲解的问题解决策略，其本质是利用具有一定结构形式的直观形象的图形展现数学问题，透过对图形元素的分析、变化发现数学问题中的数量关系，解决数学问题。那如何指导学生掌握“图形策略”呢？本文笔者将重点探讨小学“图形策略”教学的关键环节。

一、树立运用图形策略解题的意识

所谓图形策略也就是在解题的过程中，将数学信息由文字表征转变为图形表征，用图形辅助思维过程，通过对图形元素的分析，发现数量关系，建构数学模型，解决数学问题。

文字是人们最熟悉、最常用的媒介符号。在小学数学课的教学中，绝大多数的数学信息（概念、问题等）都是通过文字表述。小学生通过阅读文字可以获取数学问题中最基本的问题情境、对象数量等基本信息。但是，小学儿童思维的基本特点是从以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式，但这种抽象逻辑思维在很大程度上是直接与感性经验相联系的，仍然具有很大成分的具体形象性。所以小学生很难从阅读抽象的文字信息开启思维过程，寻求解题思路，构建问题解决的数学模型。

在现实生活汇中，图形也是一类重要媒介符号，可以直观形象地表征客观对象，透过图形“绘制”的概念化世界，人们可以更加全面深入地认识客观世界。在表征客观信息时，图形可以弥补文字的不足。在数学教学中，教师要引导学生树立“求解于图形”的意识，充分运用图形解题。图形可以直观形象地呈现抽象的数量关系，有助于学生深入理解数学信息、抓住数学问题中的关键数量关系。如在行程问题中，通过线段图可以清晰表征两（多）物体的运动信息，通过绘制长（正）方形可以帮学生解决现实世界中花圃面积、周长等问题。总之，通过图形中的基本元素（点、线等）可以清晰表示数学信息，表征题目中的数量关系，让抽象绕人的文字变成直观形象的由点、线等元素构成的图形，并且利用图形描述信息，借助图示的直观特点可以让繁杂的数学问题变得简洁、形象，此时通过对直观形象的点、线等图形元素的变换分析构建数学模型，解决数学问题。

比如，有道数学题：改变一个长方形，第一次将它的长增加5 厘米，第二次将它的宽增加5 厘米，哪种变化增加的面积大？

在教学中，笔者发现，大部分小学生在阅读题目后，会认为题目缺少条件而无法解答。这就充分暴露了抽象的文字信息会直接阻碍小学生的思维过程，学生难以通过文字信息直接展开思考。但如果用图形表征数学信息后，见图1，几乎所有的学生都能从图形中脱口而出：小明增加的面积大。图形可以给学生以直观的面积增大的感受，激发学生的进一步思考。

图1

二、讲解“图形策略”的主要环节

（一）画图

所谓画图即在理解题目字面意思的基础上，剥离问题中的情境化信息，将语言文字表述的数学题目“翻译”成图形，用图形符号“画出”数学题目中用语言文字表述的数学条件、基本的数量关系，实现数学信息从文字表征到图形表征的转变。准确地用图形元素表示出问题中的对象和数量参数是运用图形策略解题的第一步，其关键是要能用图形全面客观准确表达题意。在数学教学中教师要培养学生的画图技能，即培养学生选择合适的图形元素表征数学信息的技能。

比如，有一道题：某小学有一长方形鱼池，长8米。在校园改建时，鱼池的长增加了3 米，这样鱼池的面积就增加了18 平方米。问原来鱼池的面积是多少平方米？

这是一道实际应用题，实质是求长方形的面积，关键是要知道原来鱼池的宽。运用图形策略解题的第一步是准确用图形表征题意，同时要把题中的条件和问题都在图上表示出来。见下图2。

图2

（二）识图

准确地用图形元素画出图形，可以直观全面展现题目条件、表达题目含义，但画图仅仅是解决数学问题的第一步，更重要的是发现图形中各元素之间包含的数量关系，所以学生还要学会“识图”。所谓识图就是识别图形各要素之间的数量关系，只有清晰地识别出图形元素中的数量关系，才能构建问题解决的数学模型。识图是问题解决过程中的重要环节，是解题策略的重要组成。数学是研究数量关系的学科，在解决数学问题时，不能孤立地观察图形的各个元素（某一条线、某一个边），而是要用联系的眼光从整体上观察图形，发现图形各元素之间的数量关系，只有理清了数量之间的关系才能更好地解决数学问题。

接上题，通过识图可以发现，增加的小长方形鱼池与原来的长方形鱼池拥有共同的宽，这个就是通过图形发现的大小长方形之间的数量关系。那么，通过增加的小长方形的面积，可以算出大、小长方形的宽（18÷3=4 米），然后即可算出原长方形的面积（8×4=24 米）。

再比如，有一道数学题：某村有一个宽20 米的长方形田块。改建后，田块的宽减少了5 米。这样田块的面积就减少了150 平方米。现在田块的面积是多少平方米？

运用图形策略解题，首先要画出“长方形田块”，并在图形中标注相关数据，见下图3。

图3

在教学中，笔者指导学生仔细观察图形，可以直观发现“长方形田块”的“长”没有发生变化：原“长方形田块”、缩小部分、缩小后的“长方形田块”的长都是一样的。抓住了这个关系，可以通过缩小部分面积（150 平方米）和减少的宽（5 米）求出“长方形田块”的“长”：150÷5=30（米），接着就可以求出缩小后的田块面积。这是常规的识图解法。在教学中，笔者可以提问：“同学们请看图，20 米和5 米（课件红色强调）之间是什么关系？”进一步引导学生再次仔细观察图形，发现图形中隐藏的数量关系。见下图4。

图4

从图4 中能清楚地看出这样的倍比关系：原来的长方形被平均分成4 份，现在长方形的面积占了其中的三份，那缩减后的田块的面积是缩减部分面积的3 倍，列算式3×150=450（平方米），就可以直接求出现在田块的面积。这就是通过仔细全面识别图形，通过图形发现隐含的数量关系，求解问题的策略方法。

（三）换图

有些复杂的数学题目即使在深入理解题意、把握题目数量关系的前提下，仍然没有解题的思路，这就要进入解题的第三环节“换图”，也就是充分利用图形本身的结构变换开拓解题思路的策略。比如将长方形的宽与长“拉直”后，长方形的周长就变成了线段的长度，将一个正方形“切割重新拼装”后可以组合成一个长方形，变形前正方形的面积与变形后长方形的面积是相同的，通过图形局部结构的“切割”与“变换”发现图形整体的数量关系，在图形元素的多样变换中寻求解题的思路与策略。

比如，有一道题目：李奶奶家要扩大一个长10米，宽6 米的长方形花圃，长、宽同时增加2 米，成为一块新的长方形花圃，面积增加了多少平方米？

首先要准确绘图。常见的几种绘图形式有以下几种（见下图5）。

图5

以上图形都能准确表达题意，画出了增加的部分，并用阴影标注了要求的面积。接下来是识图阶段。学生可以将增加的部分分割成2 部分或者3 部分分别求出各部分的面积，通过添加辅助线、借助图形可以直观识别增加的小长方形长与宽的数量关系，最终相加求和，得出最终的增加面积。这是一种解题方法。但是通过换图，可以更巧妙地求解增加的面积。此时教师可以利用动画演示，把增加的部分分成两部分，再进行旋转和平移，就能变成一个长方形，见下图6。

图6

此时，求解增加部分的面积，就直接变成了求解一个长16 米（9+2+5=16 米）宽2 米的长方形的面积，即16×2=36（平方米）。

充分利用图形的切割、组合会给学生们全面展现一个更加“完整的”图形，“复杂”的图形关系在经过仔细的“识别”、巧妙的“转换”后会变得更形象、直观，原本复杂的图形中隐晦的数量关系可能在巧妙地“转换”后，直接“暴露”在学生们面前，让学生们眼前一亮，给人一种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村一种”的豁然开朗的感觉，顿时找到解决问题的方法。

三、小结

“图形策略”是一种有效的解题策略，教师在讲解“图形策略”的过程中，关键要抓住“画图”“识图”“换图”三个环节，每个环节都非常重要，都会影响到问题的解决：画图是前提要准确、识图是关键要全面、换图是点睛要灵活，尤其是通过“图形转化”求解包含复杂数量关系的数学题。这就要求教师既要培养学生“画图”（客观表达数学信息）的能力，又要培养学生“识图”（识别图形关键数量关系）的能力，还要进一步培养学生的“换图”（切割或组合图形的局部要素）能力，这些都是“化繁为简”“化不规则为规则”等数学思维与能力的直接体现。

总之，在数学教学中，教师要教会学生利用图形策略解决数学问题。关键是要帮助学生树立一种信念：我们可以利用图形解题，因为图形能让学生更加深入理解题意，把握题目中的数量关系，围绕利用图形解决问题的整个过程。教师还需要培养学生“画图”“识图”“换图”的基本技能与策略，它们是利用图形解决问题策略的重要组成部分。通过图形策略培养学生的数学思维，提高学生分析问题、解决问题的能力。