让数学文化走进课堂——以“黄金分割”的内涵与赏析课为例

何 丹，刘 银

（江苏省镇江第一中学,江苏 镇江 212000）

教育是强国之基，以习近平新时代中国特色社会主义思想铸魂育人，践行“立德树人”新要求，传播进步与美的思想文化。依据高中数学课程标准（2017年版）基本理念，引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。蔡元培先生在《教育大辞书》中说：“美育者，应用美学理论于教育，以陶养感情为目的者也。”获得美的体验才会追求美、创造美。教学中以数学文化为载体，将数学美渗透到学生心中，激励精神、温润心灵。于是，在一次校际教研活动中，笔者设计了黄金分割的内涵与赏析这一节课。大胆尝试数学文化进课堂的实践研究，选定课题，经历了资料查阅、教学设计、教学模拟、教学研讨，资料再次查阅、教学再次设计、教学展示、教学评价等教学环节。旨在让学生走近黄金分割，欣赏比例美与和谐美，领悟数学内在之和谐美，并应用到现实中。课堂上学生积极动手动脑，思维飞扬，听课教师反响热烈，师生陶醉于数学之美中，现将教学设计展示如下。

一、数学文化融入新课程的重要性

数学具有文化属性、美学属性，学习并赏析数学文化是数学教学的一个重要方面。国内最早注意数学文化的是北京大学教授孙小礼，她和邓东皋等合编的《数学与文化》中记录了从自然辩证法研究的角度对数学文化的思考。齐民友先生的《数学与文化》，从非欧几何产生的历史阐述数学的文化价值。黄秦安教授认为数学是超越学科范围的观念、意识、心理、历史、事件、人物和数学传播的总和。张奠宙先生指出数学教育是为了欣赏数学文化和数学思维的真善美。高中数学课程标准（2017 年版）指出：数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成与发展；还包括数学在人类活动、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动。将数学文化融入新课程，引导学生感悟数学的文化价值和审美价值显得尤为重要。

二、课例展示

环节1：认识黄金分割

黄金分割问题的研究起源于古希腊毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯从铁匠铺的打铁声中受到启发，反复测量比较铁锤和铁砧的尺寸，发现优美和谐的声音来源于恰当的比例。欧多克索曾提出：“能否将一条线段分成不等的两部分，使较短线段与较长线段比等于较长线段与原线段之比？”公元前300 年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索的研究成果，进一步系统论述了黄金分割。黄金分割与几何、代数、数列密不可分，因其蕴含的美学价值，被广泛应用于各领域。

活动1：探索美的比例

学生画五角星，教师展示正五角星图片，大家都认为正五角星美观。五星红旗上有正五角星，许多国家国旗上有正五角星，毕达哥拉斯学派以正五角星为标志。

问题1 人们如此钟情于正五角星，它有什么特殊之处？

借助视频指导学生用大小不一的正方形彩纸折出正五边形，连接顶点，得到正五角星。将正五边形中的线段交点做标记，如图1。测量并计算：____;____。学生发现这三个比值都接近0.618。

图1

点N 将线段AC 分成两段，若较长线段与原线段之比等于较短线段与较长线段之比，即，则称线段AC 被点N 黄金分割，点N 为线段AC 的黄金分割点，AN 与AC 的比值为黄金分割比。正五角星中因蕴含了黄金分割比而特殊且美观。

问题2：你能求出黄金分割比的精确值吗？

学生小组探究，设线段AC 为1，AN 为x，由线段比值关系得到方程x2+x-1=0，求出精确解。又一小组发现正五角星的顶角为 36°，解三角形可得黄金比也可表示为2sin18°。

设计意图：折纸是一项寓教于乐的活动，学生积极参与，探索几何图形中美妙的线段比，愉快的感觉来自恰当的比例，感受数学代数之美。

环节2 欣赏黄金分割之几何图形美

正五角星因黄金比而美丽，称为黄金五角星。连接其中间正五边形顶点，得到一个较小的正五角星，在较小的正五角星内重复上述操作得到更小的正五角星。借助GeoGebra 软件展示这一动态变化过程，得到更多更小的正五角星（如图2），这种自相似性让人为之着迷。

图2

活动2：寻找和谐美观的黄金图形

正五边形的一条对角线上有4 组黄金分割线段，这些线段组成新的图形。比如 ΔBED，ΔEDM，ΔDHM，底边与腰的比值为黄金比，称为黄金三角形（如图3）。比如梯形ABCE，腰与下底边的比值为黄金比，称为黄金梯形（如图4）。在正五边形中这样极具美感的梯形有5 个，三角形则多达20 个。生活中还有其他黄金图形，如黄金矩形，其宽与长之比约为0.618。黄金椭圆离心率为。这些图形因黄金比而和谐美观。

图3

图4

活动3：应用黄金分割比

世界各地建筑中常有黄金分割的影子，上海东方明珠电视塔的上球体到塔底距离与整个塔高之比约为0.618，古埃及金字塔地面的边长和高之比都接近于0.618。帕特农神庙、多伦多塔、巴黎圣母院等建筑都应用到黄金分割比，雄伟、壮阔的建筑结构让人赏心悦目。意大利画家达·芬奇运用黄金矩形构图，如《蒙娜丽莎》《维特鲁威人》等。

世界艺术珍品维纳斯女神的上半身和下半身比值接近0.618，堪称魔鬼身材。形体优美，动作优雅的芭蕾舞演员踮脚尖跳舞，是为了让上半身和下半身的比值接近0.618。体形健美者的容貌外观中，至少有18 个黄金分割点。比如肚脐是头顶与足底的分割点、咽喉是头顶与肚脐的黄金分割点、膝关节是肚脐与足底的黄金分割点。

问题3：你能让妈妈拥有黄金比例身材吗？

爱美之心，人皆有之，寻找自己身体中的黄金分割。设计高跟鞋给妈妈，让她拥有迷人的黄金比例身材。

设计意图：引导学生找出正五边形中的黄金图形，欣赏艺术创作中的几何图形之美。由雕塑形体之美到寻找自己身体中的黄金分割，让学生感悟美，并设计高跟鞋应用黄金分割之美。

环节3：领悟黄金分割之代数美

数，美丽而玄妙，组成奇幻的数字世界。当数与数结合，变成一列数，创造出浩瀚而旖旎的数字星空，在大自然的数字密码中寻找黄金分割。

活动4：探索黄金分割之代数美

欣赏一些花朵图片，数一数花瓣数目：2、3、5、8、13……

问题4：这些数字让你想到哪个数列？与黄金分割有什么关系？

学生发现这是斐波那契数列，也称兔子数列，是意大利数学家斐波那契在《算盘书》中提出的以兔子繁殖为背景的一个数列，从第三项开始每一项都是前两项之和。将这个数列前后相邻两项作比值得到一个新数列，……产生的新数列逐渐稳定在0.618 处。学生大胆猜测斐波那契数列与黄金分割密不可分，其前后两项的比值会趋近于。斐波那契数列的通项公式为：

由法国数学家比内给出，故又称比内公式。其中含有两个与黄金分割比有关的无理数，一个是其倒数，另一个是其相反数，然而它却表示了一个由正整数构成的数列，这是多么神奇的数学公式，它的奇异美让人惊叹。

活动5：感受斐波那契螺旋线的神奇与美妙

很多植物种子的排列也与这个神奇的数列有关，如向日葵种子（图5）的排列由逆时针的螺旋线和顺时针的螺旋线构成。仔细观察螺旋线数目，会惊喜地发现它们总是相邻的两个斐波那契数（图6）。松果、菠萝中也存在这样的螺旋线。植物种子按这样的规律排列，可使种子的堆积效率最高。

图5

图6

问题5：借助斐波那契数列你能画出斐波那契螺旋线吗？

自然界中对数螺线无处不在，如，鹦鹉螺外壳、蜘蛛网、漩涡星系的旋臂……含黄金比的螺线被看成是完美对数螺线。斐波那契螺旋线与黄金螺旋线非常近似，选取一个以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，在每个小正方形里画一个 90° 的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺线，如图7。

图7

设计意图：带领学生走进自然，探索大自然的密码，从花瓣数目、植物种子排列方式发现斐波那契数列，认识它的通项公式，寻找黄金比。欣赏美丽的黄金螺线，画出斐波那契螺旋线，感受数学之美。让学生在美的体验中领悟到大自然中处处闪烁着美妙的数学智慧，从而让学生热爱自然、热爱数学。

环节4：体会黄金分割之应用美

黄金分割的比例美与和谐美被应用到社会生活的各个领域，它已成为创造和谐生活环境的一种常见方式。人体温度是 36° 左右，使人舒适的温度为 22 °左右，人们常将室温调至 22°，接近于黄金分割比。主持人报幕会选择舞台全长的0.618 处，家具外观设计长宽之比接近0.618，赏心悦目的摄影作品构图考虑黄金分割比，二胡为获得最佳音色，其“千斤”需放在琴弦长度的0.618 处。中国古代画论中说“丈山尺树，寸马分人”，山水画中山、树、马、人的大致布局接近于黄金分割比。

华罗庚先生的优选法于20 世纪70 年代在我国进行推广，因其简洁高效被运用电子、机械、化工、石油、交通运输、粮食加工等多个领域，其中包含0.618法，也称为黄金分割法，在优选时将尝试点放在黄金分割点上寻找最优选择。0.618 法以较少的试验次数、找到合理的组合方案、合适的工艺条件。

寻找身边黄金分割应用的例子，收获美的体验。

设计意图：让学生认识黄金分割应用的广泛性。让学生拓展美、留住美，用数学的眼光观察世界，感受黄金分割之美，体会数学之美，用数学知识创造更美好的世界。

环节5：数海拾遗收获美

畅谈本节课的收获，从学习了什么知识，到领悟了什么方法，获得什么样的情感体验，得到哪些启发。学生畅所欲言，课堂氛围热烈而浓厚，在轻松愉悦的环境中收获满满。

教师总结：毕达哥拉斯学派崇尚美，他们在对数学的研究中不断发现美，美表现在数量比例的对称与和谐中。黄金分割古老而又神奇，总与美联系在一起，在人们身边随处可见，给人以美的享受。

设计意图：将数学文化的育人价值渗透到教学中，以欣赏数学文化为主线、认识数学与自然、人文社会的紧密联系，感受数学的无穷魅力与应用价值。

三、小结与反思

数学与艺术、建筑、音乐等领域存在深刻的联系，生活中处处演绎着数学的奇妙有趣、智慧和谐，辐射出数学文化的迷人魅力。人体结构、建筑、绘画、优选法等蕴含美的事物与黄金分割相关，植物生长、动物繁殖等具有美的规律的现象与斐波那契数列相关。找到变化中的不变性，探究内部数学规律，领悟数学价值，进而体会其科学价值、美学价值。张奠宙先生认为：从欣赏外部形状的美观，进而领略内涵智慧的美妙，欣赏数学精品，重在展示数学智慧之美妙。本节课旨在让学生感受数学与美的结合，通过精美有趣的图片、动画、视频，使学生从形和数的角度感受黄金分割之美、数学之美、自然之美、生活之美，引导学生发现美、探索美、欣赏美、领悟美、应用美、创造美。