求解三项展开式系数问题的几种思路

朱兵

三项展开式系数问题侧重于考查二项式定理、组合数定义的应用，且解答此类问题过程中的计算量较大.本文将结合几个例题介绍求解三项展开式系数问题的几种思路.

一、采用分组法

分组法是指将三项式进行适当的拆分，把题中给出的三项式分为两组，两次运用二项式定理将三项式展开，即可求得各项的系数.在分组时，可将前两项并为一组，也可将后两项并为一组.

例1.求（x+ -3）6的展开式中 x2的系数.

首先利用加法的结合律，将（x+ -3）6分为两个部分；然后运用二项式定理得出第一个通项公式；再求该二项式的通项公式；最后通过合并同类项、加法运算，就可以得到三项展开式中 x2的系数.

二、利用组合的定义

一般地，（ax + by + cz）可看作 n 个三项式ax + byn +cz 相乘，那么展开式中的每一项由 d 个 ax、e 个 by、f个 cz 的乘积构成，其中 e + d +f= n，即从 n 个三项式中选取 d 个 ax、e 个 by、f个 cz，则展开式中 xm 的系数为 C n（d）?Cn（e）- d ?Cn（f）- d - e  adbecf.在解题时，需根据组合数的定义求得展开式的系数，然后通过运算求得问题的答案.

例2.求（x -1+ ）5的展开式中含有 x 的项.

运用组合数的定义解题，需要明确要求的项或项 的系数，然后一一列举出所有可能的情况，最后再相 加，即可得出需要求的项及其系数.

三、赋值

有些三项式较为复杂，此时可先将三项式进行适 当的变形；再代入具体的数字，对表达式进行赋值；最 后通过加减运算，即可解题.但要注意，运用此種方法， 一定要选取合适的数值进行赋值，以便于计算.

例 3 .已知 （1 + x - 2x ） 2 5 = a10 x 10 + a9 x 9 +…+ a2 x 2 + a1x + a0，其中 a10，a9，…，a2，a1，a0 均为实数，（1）求∑n = 1 10 an 的值；（2）求∑n = 1 10 nan 的值.

解答本题主要运用了赋值法，分别令 x = 1、0，消 去展开式中的变量x，得到两个关于 a10，a9，…，a2，a1，a0 的方程组，再通过整体变换求得问题的答案.

相比较而言，第一个途径比较常用，但解题过程 中的运算量较大，第二种途径较为复杂，第三种途径 较为简单，但适用范围较窄.

（作者单位：江苏省徐州经济技术开发区高级中学）