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对一道直线关于点对称问题解法的探究

2022-03-09艾志景

语数外学习·高中版下旬 2022年12期
关键词:对称点所求中点

艾志景

一般地,若两条直线关于点对称,则这两条直线 平行,且到对称点的距离相等.直线关于点对稱问题的 常见命题形式有两种:(1)求某条直线的方程;(2)求 对称点到两条直线之间的距离.求解直线关于点对称 问题,通常需灵活运用中心对称图形和轴对称图形的 性质,以及中点坐标公式.下面,结合一道例题谈一谈 求解直线关于点对称问题的思路.

例题:已知直线 l:2x + y + 3 = 0 与直线为 l ' 关于点 P(1,2) 对称,求直线 l ' 的方程.

两条直线关于一点P对称,实质上是两条直线上 的任意一点都关于对称点P对称,则本题为中心对称 问题.解答该问题需灵活运用中点坐标公式,可以从如 下三个角度去思考问题.

思路一:根据直线的两点式方程求解

求某条直线的方程,只要知道这条直线上的任意 两点,即可根据直线的两点式方程求出该直线的方程. 在求解直线关于点对称问题时,可将问题转化为求直 线的方程问题,根据直线的两点式方程求解.其步骤 为:(1)在已知直线上任取两点;(2)利用中点坐标公 式求出这两点的对称点的坐标;(3)根据直线的两点 式方程写出对称直线的方程.

利用中点坐标公式,求得所求直线上的两点 M′、N′ 的坐标,即可根据直线的两点式方程求得直线的方程.该 思路简单明了,只需执果索因,由所求目标出发,根据已 知条件和中点坐标公式求得两点 M′、N′的坐标.

思路二:根据直线的斜截式方程求解

若两条直线关于某点对称,则这两条直线平行, 且其斜率相等.在求解直线关于点对称问题时,可根据 直线的斜截式方程进行求解.首先由两条直线对称求 出所求直线的斜率;然后在已知直线上任取一点,利 用中点坐标公式求出该点的对称点的坐标;最后根据 直线的斜截式方程写出对称直线的方程.

运用该方法解题,需把握两条直线之间的位置关 系,求得其斜率;然后根据直线的点斜式方程和中点 坐标公式求解.

思路三:利用代入法求解

若 点 M(x,y) 与 N(x′,y′) 的 中 点 为 P(a,b) ,则 ì í ? ? ? a = x + x′ 2 , b = y + y′ 2 . 由中点坐标公式可知两条直线上关于点对 称的点的坐标之间存在联系,于是采用代入法,先设 出所求直线上的任意一点P;然后利用中点坐标公式, 用 P 点的坐标将对称点 Q 的坐标表示出来;再将点 Q 的坐标代入已知直线的方程,整理即可求得所求直线 的方程.

代入法的应用范围较广,对于一些求曲线的方 程、直线的方程问题,都可以运用该方法求解.需要注 意的是,在求出对称直线的方程后,要将满足题意的 某个点代入所求的方程中去验证.

总之,求解直线关于点对称问题的关键是:(1)灵 活运用中点坐标公式;(2)根据直线与点的位置关系 建立方程(组).

(作者单位:江西省抚州市临川第一中学)

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