对一道直线关于点对称问题解法的探究

艾志景

一般地，若两条直线关于点对称，则这两条直线 平行，且到对称点的距离相等.直线关于点对稱问题的 常见命题形式有两种：（1）求某条直线的方程；（2）求 对称点到两条直线之间的距离.求解直线关于点对称 问题，通常需灵活运用中心对称图形和轴对称图形的 性质，以及中点坐标公式.下面，结合一道例题谈一谈 求解直线关于点对称问题的思路.

例题：已知直线 l：2x + y + 3 = 0 与直线为 l ' 关于点 P（1，2） 对称，求直线 l ' 的方程.

两条直线关于一点P对称，实质上是两条直线上 的任意一点都关于对称点P对称，则本题为中心对称 问题.解答该问题需灵活运用中点坐标公式，可以从如 下三个角度去思考问题.

思路一：根据直线的两点式方程求解

求某条直线的方程，只要知道这条直线上的任意 两点，即可根据直线的两点式方程求出该直线的方程. 在求解直线关于点对称问题时，可将问题转化为求直 线的方程问题，根据直线的两点式方程求解.其步骤 为：（1）在已知直线上任取两点；（2）利用中点坐标公 式求出这两点的对称点的坐标；（3）根据直线的两点 式方程写出对称直线的方程.

利用中点坐标公式，求得所求直线上的两点 M′、N′ 的坐标，即可根据直线的两点式方程求得直线的方程.该 思路简单明了，只需执果索因，由所求目标出发，根据已 知条件和中点坐标公式求得两点 M′、N′的坐标.

思路二：根据直线的斜截式方程求解

若两条直线关于某点对称，则这两条直线平行， 且其斜率相等.在求解直线关于点对称问题时，可根据 直线的斜截式方程进行求解.首先由两条直线对称求 出所求直线的斜率；然后在已知直线上任取一点，利 用中点坐标公式求出该点的对称点的坐标；最后根据 直线的斜截式方程写出对称直线的方程.

运用该方法解题，需把握两条直线之间的位置关 系，求得其斜率；然后根据直线的点斜式方程和中点 坐标公式求解.

思路三：利用代入法求解

若 点 M（x，y） 与 N（x′，y′） 的 中 点 为 P（a，b） ，则 ì í ? ? ? a = x + x′ 2 ， b = y + y′ 2 . 由中点坐标公式可知两条直线上关于点对 称的点的坐标之间存在联系，于是采用代入法，先设 出所求直线上的任意一点P；然后利用中点坐标公式， 用 P 点的坐标将对称点 Q 的坐标表示出来；再将点 Q 的坐标代入已知直线的方程，整理即可求得所求直线 的方程.

代入法的应用范围较广，对于一些求曲线的方 程、直线的方程问题，都可以运用该方法求解.需要注 意的是，在求出对称直线的方程后，要将满足题意的 某个点代入所求的方程中去验证.

总之，求解直线关于点对称问题的关键是：（1）灵 活运用中点坐标公式；（2）根据直线与点的位置关系 建立方程（组）.

（作者单位：江西省抚州市临川第一中学）