基于布鲁纳结构主义的数学单元教学设计

●龙家娱

随着2017年版国家《普通高中课程方案》的印发，以及2019年《中共中央国务院关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》的出台，国家教育改革要求教师优化教学方式，跳出“课时主义”的碎片化教学，高观点地、整体地规划教学，让学生学到结构性的知识，培养学生的核心素养和关键能力。在此背景下，单元教学和布鲁纳结构主义再次成为教育界关注的热点。布鲁纳结构主义强调应将学科的基本概念、结构、原理置于课程的中心位置，将学科知识结构与学生的认知水平结合起来，以符合学生年龄特征的方式进行教学[1]。基于布鲁纳结构主义理念以及数学的抽象性、系统性、结构性、逻辑性等特点，本研究将数学单元教学设计界定为以整体系统构建为方向，以教材、课标为基础，以学生认知为起点，对数学教材内容进行统筹重组优化，将优化后的教学内容作为一个相对独立的教学单元，以突显数学知识结构、数学基本原理、数学思想方法、数学核心素养以及综合应用[2]。

教学单元类型包括数学核心知识主线单元、数学基本技能主线单元、数学思想方法主线单元、项目式问题主线单元、数学核心素养主线单元。

一、数学核心知识主线单元

数学核心知识主线单元是以数学核心概念或核心知识为主线，以知识本身的逻辑关系进行组织的教学单元。因此该类型单元的教学设计注重结构化，将数学知识逻辑关系和数学原理显性呈现出来，让学生既能掌握知识之间的联系，又能明确研究数学的基本方法[3]。目前教材自然单元大多是知识主线单元。

以北师大版数学教材八年级下册“一元一次不等式与一元一次不等式组”单元为例。本单元可以按照课本顺序设计单元教学（图1），即三个板块知识分别按照“定义—性质—求解—应用”的逻辑顺序进行。那这和平时教学又有何区别呢？其实单元教学实施重点在于对单元的整体设计，并且教学始终围绕单元目标进行。本单元能力素养目标为“了解研究方程、不等式的基本思路；体会不等式、方程、函数的联系与区别；在学习中感受类比和化归思想，体会模型思想，发展应用意识”。因此，单元教学从一开始就要给学生渗透研究不等式的基本思路，即“定义—性质—求解—应用”，并且在后续学习中让学生不断用类比、化归的数学思想进行学习。但是尽管如此，由于每个板块学习时间间隔较长，许多学生仍然不容易体会每个板块之间的明确关系，在学习过程中不会主动建立联系。

图1 教材的单元结构

因此，为了让学生更清楚本章知识结构，更直接感受类比、化归的数学思想，我们可以尝试将本单元内容重新编排设计为以下三大板块（图2）：第一板块“认识不等式”，第二板块“求解不等式”，第三板块“不等式的应用”。这样的单元设计，既能让学生从单元大框架上理解研究不等式的基本思路，即“定义—性质—解法—应用”，又在每个板块中让学生及时进行类比学习，看到“共性”与“个性”。学生在第一部分“认识不等式”学习中感受类比、抽象、建模思想，在第二部分“求解不等式”中感受化归思想，在第三部分“不等式的应用”中感受化归思想，提升综合应用能力。同时在第二部分学生还充分进行了求解不等式的技能训练，提高了数学运算素养，为后面应用环节奠定了扎实的基础。

图2 重组的单元结构

二、数学基本技能主线单元

数学基本技能主线单元，就是以掌握某类数学基本技能为目标的单元。以运算技能为例，数学运算是数学核心素养之一[4]，运算能力是数学的基本能力，同时初中阶段学生的运算问题也是令许多老师头疼的问题之一，很多学生往往还没弄清楚算理就进行运算，盲目模仿套用，因此错误连连。许多老师在实际教学中也没有深究学生计算错误的原因，就盲目进行做题训练，结果收效甚微。因此，针对这样的情况，我们可以设计计算技能主线单元教学，从原理到操作程序再到实际应用进行系统设计。

例如北师大版数学七年级下册“整式的乘除”单元。这是一个运算章节，本单元学习目标主要是理解整式的乘除法算理，然后进行整式乘除运算，并在学习过程中学习应用类比、归纳、转化等方法进行思考与运算，发展运算能力[5]。教材的编写思路是从简单的基本运算（算法）到复杂运算，先讲“同底数幂的乘除法”，再讲“整式的乘除法”。但在教学过程中一些学生仍然容易混淆乘除法运算，错误使用运算公式。其原因在于学生在较短时间同时进行乘法和除法的学习，增加了记忆负担，同底数幂的乘法和除法法则尚且没有使用熟练，更别谈后面较复杂的单项式和多项式的乘除法了。因此，本单元我们可以尝试重新规划如下教学顺序（图3）：把乘法运算和除法运算分开学习，即先讲整式乘法，再讲整式的除法。这样能让学生先在整式乘法中经历完整的学习过程，即“运算原理→运算公式及操作步骤→运算练习”，先明确研究运算的基本思路并熟练掌握乘法运算技能，再在此基础上类比乘法学习“整式的除法”，达到事半功倍的效果。

图3 重组的“整式的乘除”运算单元结构

三、数学思想方法主线单元

布鲁纳提出学习结构和基本原理更容易进行知识的迁移应用并解决类似问题[6]36。但现状却是许多老师仅满足于对某几个题型的解法研究，缺乏对数学结构、基本原理、思想方法的研究。学生也只是进行机械模仿训练，缺乏对方法的反思、提炼以及对数学思维的感悟和应用，因此在学习新知识和解决新问题时无法做到迁移应用，学习依赖性强，学习负担重，学到的东西零散不成体系，学习效果差[7]。对此，教师可以尝试设计以数学思想方法为主线的单元，即通过对相关知识和问题的重组整合，重点实现对该数学思想方法的显性呈现和多情境下的理解应用，最终能够迁移应用该方法解决其他类似问题。

以初中数学“方程思想”为例。方程思想是“从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解”[8]。在设计以方程思想为主线的数学单元时，可以将所有方程和不等式单元整合设计如下（图4），即按照提炼方程思想到应用方程思想的思路进行。具体教学流程为（图5）：从“一元一次方程的应用”教学中提炼方程思想，即“分析数量关系—建立数学模型—求解数学问题”，再利用该方程思想解决后续其他方程和不等式的实际应用问题。

图4 “方程思想单元”设计思路

图5 “方程思想单元”实施流程

四、项目式问题主线单元

项目式问题主线单元类似项目化学习。其主要是学生通过观察生活现象提出要解决的实际问题，围绕这个问题进行数学建模并求解得出结论的过程。目前国内对这部分的教学实践更多放在了教材的“综合与实践”部分。这类型的单元教学，教师可以以某个数学知识板块为“工具库”，让学生观察生活提出自己要研究的具体问题，并综合应用该板块的知识进行求解[9]。

例如，对于初中的“一次模型”内容，教师可以设计“一次模型的应用单元”（图6）。教师给出的工具库为初中阶段的“一次模型”，学生采取分组合作探究的方式进行研究。首先组内确定自己的研究主题和背景，例如“探究小明爸爸上班中的行程问题”，然后提出自己感兴趣的能够通过一次模型研究的具体问题。通过实地调查、查阅资料等方式进行数据的采集，梳理数量关系，然后抽象出模型。即将实际问题抽象为一元一次方程（组）问题或一次函数问题或一次不等式（组）的问题，再通过求解数学问题，得出答案，再检验答案是否符合实际，然后对具体问题、研究范围、数据等进行微调，最终得到符合实际情况的结果，得出最终结论。

图6 “一次模型应用单元”设计举例

通过这样的项目式单元教学，学生不仅能够熟练掌握知识、技能、方法，更能够将学到的数学知识迁移应用于解决实际问题，培养了学生用数学的眼光观察世界、用数学的方法分析世界、用数学的语言表达世界的能力。

五、数学核心素养主线单元

布鲁纳提出学习结构和基本原理能够弥补缩小“高级”知识与“低级”知识之间的差距[6]37。即结构的学习和能力的培养能使学生更好适应知识难度逐渐提高的过程，能更好地学习更高层次的知识。思维和能力的培养才是数学教育的关键。核心素养主线单元正是以培养数学核心素养、数学基本能力为目的的单元。素养和能力的培养注定是一个长期复杂的过程，核心素养单元也必定是跨课时、跨单元、跨年级甚至是跨学段、跨学科的[10]，需要教师将所教的整个学段甚至整个初等数学内容进行整体设计，其囊括的数学知识必定涉及多个知识模块，并且这样的大单元教学的实施也需要遵循 “螺旋式课程”的方式，将单元任务和单元目标分散于每个学段、每个学期、每个课时中去实现，因此这样的教学设计是最难的，但也是最有意义的，最接近我们数学教育的根本目的。

以设计“初中数学建模素养单元”为例。首先其目的是让学生能够理解数学建模的基本思路，并且能够熟练应用几个数学模型解决生活中的现实问题，发展其模型思想和应用意识，培养其数学建模素养。初中阶段主要应用到的数学模型包括方程、不等式和函数。因此，教师可以尝试将初中阶段涉及的所有方程、不等式和函数的应用教学进行统一设计：在该单元的第一课时就介绍数学建模思维和基本步骤，然后在后续的所有内容的教学中继续渗透建模思想，让学生体会、理解直至掌握数学建模基本方式，最终形成数学建模思维和素养。

总之，数学核心知识和基本技能主线单元重视基本原理的学习，重点显现知识的关联和结构，使学生能够更好地理解数学，更好地记忆以及进行知识的重建和再生。数学思想方法和核心素养主线单元重视思想方法和素养的形成，能使学生更容易进行知识的迁移应用，能够弥补缩小“高级”知识与“低级”知识之间的差距，从容应对难度增加后的数学学习以及新问题的解决。项目式问题主线单元重视提出问题和解决问题，提升学生迁移能力及综合解决问题的能力。对于以上五种设计方式，教师需要根据自己教学中存在的问题，选择合适的单元教学方式进行教学实践。