白晋《易经》象数研究的思路与贡献

张西平

(1.北京语言大学，北京 100083；2.北京外国语大学，北京 100089)

在梵蒂冈图书馆所藏的白晋易学研究手稿中，最为复杂的是他对象、数、图的研究，而这也是他在易学研究上最有所创新和独特之处。本文拟对其《易经》外篇思想，即象数研究展开分析，对白晋易学象数研究的思路内在逻辑、主要观点展开研究，同时对他在整个问题上与康熙帝的互动及其学术贡献展开讨论。

一、中国传统易学象数研究的历史

《四库全书总目》将易学分为两派六宗，两派指象数派、义理派。在历史文献上，“象”、“数”对称，最早见于《左传·僖公十五年》：“龟，象也；筮，数也。物生而后有象，象而后有滋，滋而后有数”。“象数”连用，大约在汉代。如《易纬·乾坤凿度》：“八卦变策，象数庶物，老天地限以为则。”然而，作为龟象筮数的”象数”则应上溯到《易经》以前的远古时代。

邵雍说：“象也者，尽物之形也；数也者，尽物之体也。”(《皇极经世书·观物内篇》)在易学研究史上，所谓的“象数派”就是“以象数为本位，采用取象取数的方法阐释《周易》经传，以回答象辞相应之理。属于易学范畴，而易学又是经学的一处，因而构成了经学>易学>象数易学的层次关系。象数易学的目的是解释《周易》经传，研究《周易》卦爻象与卦爻辞，研究方法是立足于‘象’和‘数’，从‘象数’出发，寻找卦爻象数所象征事物之象，然后反过来解释卦爻辞，认为卦爻辞与卦爻象之间有必然的逻辑关系。为了解《易》，扩大了取象取数的范围，增加了大量物象、事象，并发明了各种象数图式，如卦变图、河图洛书、先天图、太极图等”。①

对《易经》最早的研究应是从《易传》开始，经是经，传是传，传的根本在于研究经。这样一来，研究《易经》就存在着取象说和取义之说两种不同的方法。取象是以卦象所象征的物象来解释《易经》中的卦爻象和卦爻辞。取义说是取八卦和六十四卦卦名的涵义，解释卦爻象和卦爻辞。这两种研究方法，在最初研究《易经》的成果《易传》的体系中是并存的。可是，汉朝以后，这两种说法逐渐发展为两大对立的流派：象数学派和义理学派。“着重从阴阳奇偶之数、九六之数、大衍及天地之数、卦爻象以及八卦所象征的物象来解说《周易》经传文义的，称为象数之学。而着重从卦名的意义和卦的德行解释《周易》经传文，注重阐发其中义理的，则属于义理之学。这两大流派，无论对《周易》经传文字的解释，还是对其理论的阐发，都具有自己的特色，而且展开了长期的争论。”②

从汉到清，象数派为易学的发展贡献了自己的智慧，如果对象数派作一总结，一般认为有两点：(一)运用象数方法阐释《周易》象辞关系。象数派延用取象取数的方法解释《周易》卦爻辞，说明象辞之间存在相应的逻辑关系。但有些学者认为，“取象取数完全是为了解经的需要，并没有固定不变的规则，哪种物象能解通卦爻辞就取哪种物象，因而不能不走向烦琐之途，并带来种种弊端”。③这也说明象辞之间并没有必然的逻辑关联，不过象数学寻找事物之间普遍联系的思维方式还是有积极意义的。(二)创立象数图式发挥《周易》哲学原理。象数学派创立图式解《易》，借图式以阐发《周易》基本原理，图的研究成为易学一个重要的方面。这主要是宋明象数派的特点。

白晋之前，在中国悠久的《易经》象数研究历史中，尚未见到一个欧洲人所绘制的易图图式。白晋是中国历史上第一个绘制《易经》图式的欧洲人。应该说，白晋的《易经》象数图式丰富了清代的《易经》图式历史。

二、白晋关于数象图总的说明

(一)象数图总体关系

白晋在《易经一》(Borg.cin.317-8)这份文献中有一个对易经数象图的总体说明，十分重要，转录如下：

易数象图总说

内《易》之秘，奧蕴至神。虽难测而难达，幸由外《易》数象图之妙，究其内之精微，则无不可知矣。《易传》云：“参伍以变，错综其数。通其变，遂成天地之文。拯其数，遂定天下之象。”此乃统贯象图，而包括外《易》之广大也。若能拯其数，观其象，即真可知矣。是以古者包羲氏之王天下也，未有文字，欲通书契，以开天道于穆无声无臭之秘。惜其书不尽言，言不尽意。由是仰观俯察，度天测地，近取诸身，远取诸物，而儗诸其形容，象其物宜，审其数象之理。凡可见者皆象，可计者皆数。虽殊类异性，千变万化，莫越于数象之外，莫非神与物，莫不归于有形无形之二宗。皆本于天，同为帝德神明之象。因推大本，至于帝出乎震之初，当发令而生物，则以数生象，成形之规，造化神形。其万有之生生，无异于数之生生。理与数，数与象，自然相关而不相离。因言理莫如数，明数莫如象。数象所不及者，莫如图以显之。于是先师倚数列象画卦，而成大《易》方圆二图。其中六十四卦、三百八十四爻，莫非数也，莫非象也。则是象由数而出，数因象而行焉。所以古今言易图者，无不以数象言之也。数无象而先于象，为万象所寓而出之原。故凡有形者，生于无形。数本无形，惟可度可计，有多寡之类，应天无形，以阴阳言之也。象无异于形，惟可测可见，有大小之类，应地有形，以刚言之也。数与象皆有始而无穷，故先师所立方圆二图者，以穷天地万物始终之情，乃明先天生其物之理，尽后天成其物之义也矣。欲详《易》外学之妙，俱在于详究《易》数象图之奥耳。④

白晋在这里表达了几层意思：首先，《易经》起源于对象观察。这就是“由是仰观俯察，度天测地，近取诸身，远取诸物，而儗诸其形容，象其物宜，审其数象之理”。其次，说明了在易学研究中象数图之间的关系，这就是“理与数，数与象，自然相关而不相离。因言理莫如数，明数莫如象。数象所不及者，莫如图以显之”。白晋在这段总论中确立了象数图在整个易学研究中的地位和象数图三者之间的关系。易学象数的价值在于：“吉凶之关，天文之妙、历法之正，格物之规，穷理之矩，治平之范、轻重之衡，几何之实，律吕之美，算法之要，象图之微，万学万殊，先圣之所以尽备于《易》。”⑤这说明白晋的易学外篇研究包括了天文历法、律吕几何、象数图等多方面的内容。这正是白晋易学外篇不同于中国传统易学象数派之处。

(二)易学外篇与易理内篇之关系

《易经总说稿》⑥和《易经一》⑦是白晋留在梵蒂冈图书馆易学研究的两份重要手稿，这两份文献对于解开这批文献的内在关系有重要价值，因为它们都是作者研究的总纲。在《易经总说稿》中，白晋说：“夫易自为经也，有理焉，有数焉，有象焉，有图焉。图不离象，象不离数，数不离理；理生数，数生象，象生图；图备而象显，象立而数著，数出而理明。是故，凡欲知理者，莫若明数，欲明数者，莫若观象，欲观象者，莫若玩图。四者之中，理为要，盖易之所以为易者，道也”。⑧

由此，白晋把易的内容分为两类，一类是图，一类是理。白晋认为在上古的三易时，易中就有内外之分，“三易之中复有内外焉，象者，外焉，道者，内也。数也，几何也，轻重也此三者，象也。天也，地也，人也，此三者道也。由外入内，因象明道，易之本也”。⑨在《易经一》即《易经总说》中，他也表达了同样的意思，认为《易经》是文字之祖，义理之宗，概括了天下的道理。

理也，学也，约之为两端：一天学，一世学耳。夫天学着者，大到也，神道也，即内学心法也，其义之精微，尽蕴于易之文之秘；夫世学者，其理之广大，品类虽繁，无不具于数，几何，天文，律吕，格物，尽现于易之数象图之奥。⑩

这样，易理就分为内外之学，白晋的研究路径在于：“谨遵圣教，竭尽鄙诚，是以分为易学内外两篇……此先以外篇言之，嗣以内篇言之”。“三易之中，有内外焉。象者，外焉，道者，内也。数也、几何也、轻重也。此三项者，象也。天也、地也、人也，此三项道也。由外入内，因象明道，易之本乎矣。”

照此思路，应是易学外篇的写作在前，易学内篇写作在后。笔者也是依据白晋这个思路，将其文献分成“义理研究文献”和“象数研究文献”两大部分，对这两部分文献分别展开辨析，从而分别从“白晋易学义理研究述略”和“白晋易学象数研究述略”两个角度展开研究。

在易学外篇的研究中，白晋首先从总体上确定了象数研究在易学研究中的地位。他认为在易学研究中无非是内外两条思路，这两条思路各有其对象和内容。他说：

言乎其内，易学即天学心法也，虽测不可见，道理之精微，不外于此；言乎其外，即天地之始终，人物之生死，古今之世变，凡有性可见，有数可测者，尽备于其中，而显于易数象图。

三、先天后天三易是象数图之本原

在易学研究中，白晋认为理解易理要从数入手，而理解数又要从象入手，“数象所不及者，莫如以图示之，正因为此，伏羲先师倚数列象画卦而成大易方圆图，而六十四卦，三百八十四爻莫非数也，莫非象也”。这里，他说明了易学研究中的数象图之间的关系。在白晋看来，易学之象数源于对数的理解，他说：

道规之始，既立于一，先师思夫一为数之本，其能虽全无极，然独一不生，乃万数无不属于阴阳，皆由其先阴阳之所生。数之本已立，则以阴阳之二元继之。论数之理，一与一为二，乃一生一。夫二可半，为偶为阴，诸阴偶之元也。二与一为三，乃二生三。夫三不可半，为奇为阳，诸阳奇之元也。是知一二三为阴阳奇偶诸数，生生之三才一本二元。天地阴阳诸数，生生至于无穷，必始于一而成于三。理与数相关，在数既然，在理亦莫不然也。

这里，白晋是从阴阳引出数的一二三，同时，一二三之提出也和易学历史相关。在他看来，在易学的数象图研究中最根本的是什么呢？他引经据典指出：

《周礼·大卜》三《易》云：一曰《连山》，二曰《归藏》，三曰《周易》。”《易纬乾凿度》云：“《易》一名而含三义。”《易传》云：“六爻之动，三极之道也。”《传》云：“易有太极。”既有易简、变易、不易之三《易》，则各有其太极，共三个太极而已。注云：“天地人三才，各一太极。”若归之于一不易之《周易》则非，《周易》岂有三太极乎？若归之于三《易》，即所谓天地人三才，则自然各有其太极也。

这样就引出了易学中的“一二三”的概念，白晋认为易学中的“一二三”，最重要的原和本，即连山易，归藏易，周易这三种文本。对一二三的论述，他有三易逐步转向象数，如他所说：

白晋对一二三的论述在不同的手稿中表达不一。一方面，他把一二三这个数的问题引向神学，例如《易引》的第六节说：“此节发明一三主造宇宙之原旨”。另一方面，他又从一二三数字开始，为其易学外篇的象数研究打开门户。这是我们在把握白晋的易学外篇时要注意的。

同时，白晋认为，这个一二三也可以说是“三才”。白晋在此基础上又借用易学研究中“先天后天”的概念加以发挥。《月令广义》中有：“先天、中天、后天”之说，王弘的《周易图说述》：“邵子尝云：先天学，心法也。万化万事，生乎心也。图虽无文，天地万物之理，尽在其中。或问何也？曰：朱子云：一日有一日之运，一月有一月之运，一岁有一岁之运。大而天地之始终，小而人物之生死，远而古今之世变，皆不外乎此”。这样，白晋的“先天后天”之说就有了历史的基础。所以，他在《易学外篇》的首节就讨论“先天后天三易各数象图之本原”。

白晋认为，连山易所以简洁、易行，根本在于“先天全吉之时，天道平平，贵灵贱形，神而阳明，天心纯仁普施，连山易简之易行焉”。后归藏变化“贵形贱灵”，由此天震怒，这样才产生“与鬼神合其吉凶，仁义之德备”的周易不易之易。他说：

先天未变，先天已变，后天不变三易之道，一分各兼三才，而为三才之道各本于函三一太极也。连山之易，即系神纯明，归藏之易，即系鬼纯幽，周易即系神鬼幽明。故之，先师以一纯明，一纯幽，一半明半幽三环之圆为其太极图，而分别传于世。

纯明是“天”，纯幽是“地”，一半明一半幽是“人”。这样，他把三易和太极图连在了一起，同时为后面的以天主教解经埋下了伏笔。同时，白晋的先天后天之说也是对易学史的一个总结，他认为：“或云伏羲氏之小成，神农易之为中成，黃帝易之为大成。伏羲氏之先天，神农易之为中天，黃帝易之为后天”。

白晋在易学外篇研究上有一个庞大的计划，他说：“故于凡观大《易》三义之数象图，分解印符，其中所系先天未变、先天已变、后天不变者，分析而成三卷。于三卷之首，将《易》一而函三义之原旨，各释详注矣”。白晋是受康熙皇帝之命来研读《易经》的，他的研究结果都要送康熙审阅，因而文中不时有对康熙的溢美之词。在提到三易之象数图由于年代久远，无法考证，历代众说纷纭时，白晋说：

今盛朝，我皇上天纵聪明，远迈前代，学贯上古，五十载，日专务道之本，洞察格物穷理、历数律吕之精，躬教臣工，实可复明易学内外之正，而阐明奥秘之微旨。

那么，这个奥秘之微旨是什么呢？白晋认为“一二三为易数象图原本”，即一二三这三个数是易象数的全部奥秘 。他认为，包羲氏在上古未有文字时“知天道之精唯一无二，其理无穷，其体至神难测，不可见，不囿于方圆，自根自立，至先无始，超越天地数象之上，而为天地始终，万有生生化化之原”。在白晋看来，这一个数非奇、非偶、非阴、非阳、非数、非象，这样，它就是超越奇偶阴阳数象之上的，因而也是数象图之本，为天地始终，万有生生化化道心之象。有了这个本，

则阴阳之二元继之，论数之理，一与一为二，乃一生一。夫二可半为偶为阴，诸阴阳偶之元也。二与一为三，乃二生三，夫三不可为半，为奇为阳，诸阳奇之元也。

这说明了由一到三的过程。这个一本二元，天地阴阳诸数，生生至于无穷的数象图“必始于一而成于三”。一二三在数象图中得到清楚的定位。白晋说：“上层之一自根自本，不在数内，不显象形却为万数万象之根本，此正唯微之道心。”他又说：“三一内容不曾发外，无极太极之象万物之奥也。”由此，有数之一二三推出天地人，易学之数就奠定了基础。

四、天尊地卑之图为先天未变易象图之原

在对一二三作了初步的说明后，白晋进一步解释他的易学外篇之观点，并由此推演出《天尊地卑图》作为易学数象的最高解释。河图洛图与天尊地卑之图为易象之原。白晋根据《易传》和河图、洛书的基础数字，推演出《天尊地卑图》为易学象数图之原。他说：

河洛二图，所以为先天未变，数象图所出之原，其式何以知之？《易上传》首章云：“天尊地卑，乾坤定矣。卑高以陳，贵贱位矣。动静有常，刚柔断矣。方以类聚，物以群分，吉凶生矣。在天成象，在地成形，变化見矣。”于此可见上始于一，下终于十，天尊地卑图，真为先天未变，大《易》数象图之原也。观天尊地卑图之数，即《易传》所记“天一、地二、天三、地四、天五、地六、天七、地八、天九、地十。天数五，地数五，五位相得而各有合。天数二十五，地数三十，凡天地之数五十有五”是也。观天尊地卑图之式，即洛书始于一，终于九，五奇四耦，为四十五，乃地缺不足之数。河图之始于一，终于十，五奇五耦，为五十五，乃天地均平之全数。将此河洛之数，于天尊地卑图求之，即成河洛相兼合一之图式可见矣。先师欲明此图，所以为先天未变，《易》数象图所出之原。

为何《天尊地卑图》有如此高的地位？白晋在这里给了三条理由：其一，天尊地卑，乾坤定矣。这句话是《系辞》开篇之语，说明其地位；其二，《天尊地卑图》所含之数合《系辞》中大衍数；其三，此图之数又合河图洛书之数。由此，白晋指出：“凡《易》卦爻之象，何以由天尊地卑图之式而生，于前已释矣。今将其数何以亦由天尊地卑图所衍而出者释之。《易》卦爻之数，有大成，有小成。其大成与小成之数，皆由河图所衍，而本于天尊地卑图之数也”。他认为：“天尊地卑图真为先天未变，大易数象图之原也。”《天尊地卑图》是如何形成的呢？白晋从易学上给予了说明。“此无极太极将生万物，一本二原，发本之象。”然后，从三角形向四层推进，“此无极太极，一本二原，发于外，衍成四方之象”。由此，而层层相加，不断推进，“此图即时将天尊地卑之图层层相加相联而成”。

《易传》云：“生生之谓〈易〉》。”又云：“在天成象，在地成形。”白晋认为在《天尊地卑图》上既包含天象之数也包含地象之数，实际上他用天象之数和地象之数来表达在《天尊地卑图》中包含着平方的道理。所谓天象之数就是，在《天尊地卑图》中黑白微圆，如果所位微圆谓天一，与次下位之地二，连积成三，这就是图中第一个三极天象。如果再向下三格，连积成六，这就是第二个三极天象。“已下至于终十，次第连积，仿此所生者，即十、十五、二十一、二十八、三十六、四十五、五十五，皆有三极之式，而成天象。由此推之，至于无穷，莫不皆然。”白晋在这里实际讲的是平方数，即由三而成六，这是三的平方。

所谓其诸地形之数之式，从天尊地卑图来看，此图有九层空间，各层之数为极。次第连贯而成。如果上层之为一，向下三层三，连积而成四，就是到了第四层。而四意味着是二自乘之方数。这可称为第一个三角之地形也。同样，从第四层向下五层，连积成九，就是到了第九层。而九意味着三自乘之方数，即第二之三角地形。这样推演下去终九，次第连积，仿此所生者，即十六、二十五、三十六、四十九、六十四、八十一，皆为方数，各有三角，而成地形也。由此推之，至于无穷，莫不皆然。白晋说：

已上所谓之地形者，面之方数也。实惟系天象。然因其数由诸三角形所生，故谓之形。其数之生生，亦莫不见于此图矣。

同样，《天尊地卑图》也包含着立方的道理。他说：

天尊地卑图中，凡微圆三极天象，与容方三角地形，各类之九，衍之至于五十五，乃天地相得合一之全数，则成天地大衍之图。其中之微圆五十五位，三极天象，合于天一至尊，超诸形象之上者，共五十六位也。将此图之容方五十五层，以始于一、终于十，五奇五耦，十位数自然之比例，次第分之为十层，则于此容方之积数，次第分见十个立方之例序。将此十个立方之积数并合之，则成三千二十五，即天数二十五、地数三十，共五十五自乘之方数。大衍之图，衍之至于无穷。凡立方积数，次第之序，莫不见于其中矣。

白晋这里所说的五十五就是《天尊地卑图》中共有五十五个微圆，五十五之立方就是三千二十五。五十五是个什么数呢？就是《系辞》中大衍数。通过这两个论证，白晋认为在《天尊地卑图》中既包含了平方之数也包含了立方之数。由此，说明天尊地卑之图的价值，“《易》大成小成之数，所以由河图之数式所衍，而本于天尊地卑图者”。

五、白晋在易学外篇中关于开方的介绍

(一)平面象的论述

在Borg.cin.317-3中有一节题目为“此论系易学七节八节 一明凡有角边之数象皆生于天尊地卑之图，一解此图内含有开诸方之本。”在这一节白晋介绍了开方的知识。他说：

今因数象之类，总归于二种，即平面象与形象是也。平面象如三角三边、四角四边之等象，形象如立方、三乘方、四乘方等。是故将二种数学解明，如何毕具在古图之内。

就平面而言，他举出三角形、四边形和五边形的例子。他认为，在《天尊地卑之图》内，一二三等相连，得到三角三边诸面象的数序。将第一层和第二层相连，构成第二个三角形，然后越过四、五两层到底六层，就构成第三个三角三边面象之数。再然后越过四层到底十层，即成第四个三角三边之面象。以此推之，凡五、六、七等层之面象数，都是如此。这是一个平面图之间的关系。那么，论四角四边之面象，即是将图内的诸奇数自然之序，一、三、五、七等相联，就可以得到四角四边诸面象之数。具体而论就是，将上层之一联向下三层到第四层，这样就有了作第二个四角四边之象。接着越过五层，到第九层就得到第三个四角四边性。以此类推，诸四角四边之面象，无不可类推矣。论五角五边之面象，亦无不然。将图内上层之一与第四层之四，相联为五，这样有了成第二个五角五边面象之数。又隔两层，并第七层之七为十二，成为第三个。又隔两层，并第十层之十为二十二，这样成了第四个。以此推之，至于无穷。

(二)关于立方的论述

白晋说：“面象数学，以前既已明之矣。而形象之说何如？要之，形象数学，无不归于立方。三乘方、四乘等方之数，自平方起。然平方、立方、三乘、四乘等方之法，无不全备于此图之内。诸方之学，总归于二，一为生成诸方之数，一为解开诸方之数。果明此图之义，而穷究其理，则形象数之说了然矣。”

白晋在介绍立方之数时，引入了《算法统宗》，就是开方求廉之图。程大位著《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著。程大位(1533—1606年)，字汝思，号宾渠，休宁率口(今属屯溪区)人，《算法统宗》17卷，卷1、卷2介绍数学名词、大数、小数和度量衡单位以及珠算盘式图、珠算各种算法口诀等，并举例说明具体用法；卷3至卷12按“九章”次序列举各种应用题及解法；卷13到卷16为“难题”解法汇编；卷17“杂法”，为不能归入前面各类的算法，并列有14个纵横图。书后附录“算经源流”一篇，著录了北宋元丰七年(1084年)以来的数字书目51种。在第6卷和第7卷中，“程大位首先提出开平方、开立方的珠算方法。所有言算步骤与筹算术相同。只要把开方术中的‘方法’放在被开方数的右边，所得方根放在被开方数的左边，把原来的上、下陈列改为左台并列，就可以依术演算”。因为《算法统宗》开篇有“揭河图洛书，见数有本。”因此，此书也受到历代易学象数之家的重视。

白晋很自然认为《算法统宗》图就是天尊地卑之图。第一层是一，这是万数之本，其实不在数内。所以一乘一者，即千百万次，仍为一，到底不变。白晋说，一很像造物者，生万物，变万物，而自无始，无所从生，总不变也。然使一独立，必不生数。只有一分为二，遂因二而生此图内无穷之数。

如果说从三易推出一二三，由一二三推出天尊地卑之图是白晋易学象数思想的前三个逻辑环节，那么将天尊地卑之图和易学的河洛之图加以沟通和连接则是他的第四个逻辑环节。在“释河洛合一天尊地卑图，为先天未变易数象图之原”一节中，白晋说：

上始于一，下终于十，天尊地卑图真为先天未变，大易数象图之原也。观天尊地卑图之数，即易传所记：天一，地二，天三，地四，天五，地六，天七，地八，天九，地十，天数五，地数五。五位相得而各有合，天数二十五，地数三十。凡天地之数，五十有五是也。观天尊地卑图之式，即洛书始于一终于九，五奇四偶，为四十五，乃地缺不足之数。河图之始于一，终于十，五奇五偶，为五十五，乃天地均平之全数。

这是说从数字的角度来看，河图和洛图与天尊地卑之图是完全契合的，而河图和洛图是易学传统中的最重要内容之一，这样白晋就为他从数学角度解释《易经》找到了一个根据。

白晋从象数来解释易学的中心是《天尊地卑图》，如果说前面的论证说明了《天尊地卑图》的地位，白晋并未停止，他继续以《天尊地卑图》为中心来解释《易经》的具体内容。

他认为，《易经》的八卦、六十四卦和《天尊地卑图》有着内在的联系。“易传云：‘易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。’”白晋认为，在《天尊地卑图》中完全包含着这些易学的基本概念和图象。《天尊地卑图》是始于一成于三，这个图内外各三层，有“三极六极天圆阴阳之象”，同时，这个图有“三角六角地方刚柔之象”。而干坤卦的三奇三偶，上、中、下三爻正和《天尊地卑图》的内三层相对应，干坤之下爻是一奇一偶，对应的是两仪，这正和图中的一黑一白相对应。在谈到八卦时，白晋说：

由是应天尊地卑图外层外推于干坤之上爻，又于奇偶双画之四象，再各分为二，衍而推之，则生配三画八个不同之象，所谓八卦也。于圆方二图其名同，观其序有二，以先天对待观之，乃干、坤、兑、艮、离、坎、震、巽是也，即先天天地位于上下，日出于东，月出于西，雷起于地中，风行于天上。西北多山，东南多水之象，以先天方位观之，即先天天地位乎上下，日出乎于东，月出乎于西，雷起于地中，风行于天上。西北多山，东南多水之象，以先天方位观之，即干一，兑二，离三，震四，巽五，坎六，艮七，坤八是也。三爻八卦之小成，本于天尊地卑图如此。

在谈到六十四卦时，白晋以同样的思路加以论证，他说：“易传云：‘六爻之动，三极之道也’。盖天尊地卑图自内向外既不过于内中外三层而止。故，易小成八卦之爻数，亦至于上中下，内中外之三爻而止，所以必然矣”。由三爻之动，可推出八卦，同理，由六爻之动，也可推出六十四卦，所以由内向外衍于六层天尊地卑之图，就可以得易之大成六十四卦。

白晋通过《天尊地卑图》解释了传统易学里八卦、六十四卦、三百八十四爻。不仅如此，《天尊地卑图》还超出了易学的范围，成为天历地律之根本，由此阐明了《天尊地卑图》在他的易学象数理论中的地位。

六、白晋在《易经》象数研究上的互动及其贡献

梵蒂冈图书馆的《易考》这份文献中(Borgia Cinese 317[4] )就有多份康熙帝对白晋研读《易经》的批复：

二十四日进新改了的释先天未变之原义一节，又释河洛合一，天尊地卑图为易数象图之原一本，并历法问答定岁实法一本，交李三湖。

呈奏奉 旨朕俱细细看过了，明日伺侯。钦此。

二十五日呈览。

上谕，尔等所译之书甚好，朕览的书合于一处，朕所改已上，所谓地形者之处，可另抄过送上。

七月初四日呈御笔改过的《易经》，并新得第四节，释天尊地卑图为地形立方诸方象，类于洛书方图之原及大衍图一张，进讲未完。

上谕，将四节合定一处，明日伺侯。钦此。

初六日，呈前书，并新作的释天尊地卑图得先天未变始终之全数法图二张，进讲。

上谕，王道化，白晋作的数甚是明白？虽为他将新作的释天尊地卑图，得先天未变始终之全数法图。晋下。《易经》明日伺侯。钦此。

这说明在《易经》研究上白晋和康熙帝有着紧密的互动，他们所集中讨论的就是《易经》所包含的象数问题。白晋也极力向康熙说明《天尊地卑图》所包含的数学问题，以引起康熙帝的注意。《算法统宗》是白晋在研究易学象数时的重要参考书。这点无论在康熙帝的批复中，还是在他自己的研究手稿中都十分清楚。在他给康熙帝的易学研读汇报中有以下记录：

七月初五日，上曰：白晋所释易经如何？钦此。

王道化回奏：今现在解《算法统宗》之欑九图、聚六图等因具奏。

这里首先涉及到《算法统宗》这本书。在程大位的时代，《算法统宗》所记述的口诀已相当完备。程大位用几十年时间，走遍多地收集数学文献，并潜心研究，将历史上的珠算著作加以系统整理，出版了《算法统宗》这本书。在这本书中，他最早提出了珠算开平方和开立方的方法，他还创造了测量田地用的“丈量步车”。《算法统宗》出版后一时洛阳纸贵，成为古代中国数学史上发行数量最多、流传和影响最广的一部数学著作。数学史专家李俨先生说：“在中国古代数学的整个发展过程中，《算法统宗》是一部十分重要的著作，从流行之长久、广泛和深入来说，那是任何其他数学著作不能与它相比的。”

利玛窦所代表的西方传教士来到中国之后，西方数学传入中国，“徐光启著《勾股义》、《测量异同》等书，欲以《几何原本》的原理解说《算法统宗》。……《同文算指》是李之藻在利玛窦传授西学的基础上，结合中西数学成果完成的，其中有不少内容引自《算法统宗》”。白晋肯定读过《几何原本》《勾股义》《测量异同》这些前辈们的书，对《算法统宗》在中国数学上的地位必定十分了解。在《算法统宗》中保留了杨辉三角的内容，这样，白晋在介绍《算法统宗》时，也介绍了杨辉三角的内容。

白晋在对《天尊地卑图》的象数研究中有些地方并未逐一对照《算法统宗》，但在文字叙述中表达了与杨辉三角一样的思想，而在另一些文字中则直接对《算法统宗》图作了详细的解释。在这些研究中，我们可以看到白晋展示出了他的《天尊地卑图》和杨辉三角之间的数学关系。他说：

夫天尊地卑之图，其天外包微圆之数，既始于一，终于十，而为十层列之。若于各层分而观之，即明别其阴阳上下，共十层三极之图，各径一围三而圆也。其地内三角微容之数，既始于一，终于九，而为九层列之。若各层分而观之，即明奇偶上下共九层三角之图，各有一定之数，自乘而方也。其天为圆，其地为方，合之即为阴阳诸圆，奇偶方正生生变化之宗图。

这一段是对天尊地卑之图所包含的的主要内容：天地阴阳之数，奇偶之数，方圆之数三个问题作一个总的概括，说明在这幅图中都包括了。所以，天尊地卑之图成为“阴阳诸圆，奇偶方正生生变化之宗图”。第二段，白晋以“或问”“答曰”的问答形式展开具体论述。

或问曰：九天阴阳三极微圆之数，其生生何如？

答曰：天圆三极诸层之图，九层各下生与已相继者，盖上层积数与下层之径数相加，即生下层之积数。如地九层乃洛书四十五之积数，相加于下第十层河图径之十，即下生河图五十五之积数。自此衍至于无穷，凡上层生下层皆仿此。

这里讨论的是天尊地卑图内三角形微圆上下之数量关系。他提出上层是上层的微圆积数和下一层的径数相加，产生下一层的积数。他说的“积数”是指微圆数，所说的“径数”是指天尊地卑图的三角形的层数。例如，顶端之一微圆加上第二层这个二的层数，就变成第三层微圆的积数，即成为三个微圆，按照这样下推。如他所说第九层是45个微圆，加上第十层的十这个径数，就是55个圆。白晋在这里把九层的45个微圆说成洛书的积数，把第十层的径数说成河图之径，把积数和径数相加所得的55，说成是河图五十五之积数。这是完全用传统易学的术语来表达。

但这个解释也含有对《算法统宗》里的杨辉三角的介绍。在文献Borgia .cin .317-3《易经总论》中，白晋在介绍《天尊地卑图》时详细介绍了杨辉三角，从杨辉三角来说明开方、立方问题。他说：

面象数学，以前既已明之矣。而形象之说何如？要之，形象数学，无不归于立方。三乘方、四乘等方之数，自平方起。然平方、立方、三乘、四乘等方之法，无不备于此图之内。诸方之学，总归于二，一为生成诸方之数，一为解开诸方之数。果明此图之义，而穷究其理，则形象数之说了然矣。

白晋指出所有开方、立方问题均可以在《天尊地卑图》中得到解决。然后他具体说明其与《算法统宗》的一致性。他说：

以生成诸方之数言，观《算法统宗》中，开方求廉之图，即天尊地卑之图也。但此处各以墨线上下联络之，则易见矣。上层之一，总为万数之根本，其实不在数内。故以一乘一者，即千百万次，止是为一，到底不变。此象造物者，生万物，变万物，而自无始，无所从生，总不变也。然使一独立，必不生数。是故一分为二，遂因二而生此图内无穷之数。

或问生法何如。答曰：上层之一分为二，生二层左右之各一。若止论各层方所容之件数，即二层左边之一，生三层左边之一；二层右边之一，生三层右边之一。又以二层左右之各一，相合下来，生三层中间之二。细观图中之墨线，贯络自明。三层左边之一，生四层左边之一；三层右边之一，生四层右边之一。三层左边之一，同三层中间之二，相合下来，生四层左边之三；三层右边之一，亦同三层中间之二，相合下来，又生四层右边之三。亦各有墨线联络。四层左边之一，生五层左边之一。四层左边之一，又同左边之三，相合下来，又生五层左边之四。四层右边之一，生五层右边之一。四层右边之一，又同右边之三，相合下来，生五层右边之四。四层中间之两三，相合下来。又生五层中间之六。以此推之，至于十层，衍于无穷，无不皆然。得此诸层之数，诸方之形亦得矣。

上层之一，分为二层之二，尚未成方，以二不能包括面形故也。至三层之四，即为二层之二之平面方，一乘方也。第四层之八，即为二层之二之立形方，二乘方也。第五层之十六，即为二层之二之三乘方也。其第六层、七层之三十二、六十四，亦为二之四乘方、五乘方也。以此推之，至于无穷，亦得偶数无穷自然之序。即《易》中生卦之法，亦不出此。

生成诸方之数，其法亦已明矣。今欲解开，其法何如？答曰：诸方之第一平方是也。天尊地卑图内，上层之一，即诸方未分之根也。此根未分，其方亦无分，总称为一。若根分为二，如古图二层之内，即各方亦有分，便有件数。假如三层内之四，即为二自乘之总平方。其总方中所容之面，必有小方，有廉有隅……

下边甲合乙之墨线，即当天尊地卑图内，一分为二之方根。甲合乙之方，即为古图二自乘之方。今甲合乙之总方，明含有四件：一小方，两廉、一隅是也。甲甲即是甲之小方，乙乙即是乙之隅，两甲乙即是甲合乙相乘之两廉。

如此，则天尊地卑图之奧义愈明矣。识此图之精微者，于开平方之法无难。盖依图之序，右边之一指初商，须求右边小方之根。图内之二指须倍根求廉，左边之一指隅。隅法尽，开方之法亦完矣。

开立方之法，无不相同。盖天尊地卑之图，第四层右边之一，指此处暗有一小立方。左边之一，指彼处暗有一隅。右边之三，指右一之根方，合左一之根，三次相乘所生之三廉。左边之三，又指左边之根方，合左一之根，三次相乘所生之三廉。共八件。开立方之时，以此为据，开法不难矣。细观后图，此理固显。然尤不如以六方之木，作成立方式样，开合详辨，如指诸掌。今特备得一个。至于三乘四乘等，更高诸方之理仿此。论开方之详，算法家言之甚悉，自不必赘。但今因《算法统宗》中，载有天尊地卑之图。以为开方求廉之本，可见此图之妙，无所不包，故从而推明称赞云耳。

我们可以将白晋的这些论述结合贾宪三角来逐一分析，就可以看出，上述文字是贾宪三角的详细解释。“贾宪所提出的释解开方有两种：开平方和开立方。……开平方和开立方实在就是二次二项式和三次二项式的数解法。”

白晋在这段文字中先介绍了贾宪三角的三边都是一，然后每一层数字变化的原因都是上一层积数和行数一相加。按照杨辉三角来理解，三角形的两侧径数均为1，将上层微圆之积数和均为1的格层径数相加，这就成为杨辉三角的数量结构。有学者认为白晋在这里指的就是贾宪三角是完全正确的。

贾宪三角在世界数学史上都有着重要的价值。李约瑟在《中国科学技术史》第三卷中利用八国联军所劫走的《永乐大典》卷16344的插图，对贾宪三角作了研究，指出了其在世界数学史的意义。“朱世杰说这个三角形式古法。这一事实说明，二项式定理最晚在12世纪初期就已为人们所知。仅有的另一个文献是1100年前后波斯(今伊朗)的乌马·卡亚米(Umar al-Khayyami)所说的一段话。他说，他能够用它发现的一种不依赖于几何图形的法则，求出各个数的四次、五次、六次以上更高次方根……在中国，虽然这个三角形的现存的最早复制图是在杨辉的《详解九章算法》中，但我们从该书得知它老早就已存在了。贾宪在1100年前后就解释过它。”

在完成上述介绍后，白晋指出了《天尊地卑图》与《算法统宗》的关系，白晋说：

易之天圆地方、阴阳刚柔调和相荡。万数万象生生变化成律之理。既备于此天尊地卑，始于一，终于十之图。此图明为数学之宗，故此图诸圆之内，所列诸数，照中华算法统宗，开方求廉诸圆之法列之，即成开方变化，诸数之总图。较西土借根方算法所用之图，虽外事不同，因其列数之例相同，其用法亦同。故将二图另备，以明其外式虽异，而内例相同也。

这样，白晋就完成从《天尊地卑图》到《算法统宗》图之间的转变和连接的论证。通过与白晋等传教士的接触，康熙帝对西方数学的兴趣越来越大。他成为中国历史上对数学和西方科学最为关心的一位帝王，在这个过程中白晋起着重要的作用。康熙帝对《易经》象数之学也一直很重视。他在《御制周易折中凡例》中就说：

然弼所得者，乃老庄之理，不尽合于圣人之道，故自《程传》出而弼说又废。今案溺于象数，而支离无根者，固可弃矣。然《易》之为书，实根于象数而作，非它书专言义理者比也。但自焦赣、京房以来，穿凿太甚，故守理之儒者，遂鄙象数为不足言。至康节邵子，其学有传，所发明图卦蓍策，皆易学之本根，岂可例以象数目之哉？故朱子表章推重，与程子并称。

对于义理之学，康熙帝总结王弼之说“不合于圣道”，所以推崇《程传》。对于象数之学，他认为汉代象数易学的代表人物焦赣、京房等学者的学说“穿凿太甚”，然后又高度评价了邵雍的易说，认为他“其学有传，所发明图卦蓍策，皆易学之本根”。可见，在康熙帝对《周易》的理解中，很重视象数易学，“然《易》之为书，实根于象数而作”。他认为，对《周易》一书义理的阐释应该以象数为基础，义理与象数都不能偏废，强调象数、义理兼重的特质。《四库全书提要》中也评价《折中》一书：“冠以《图说》殿以《启蒙》，未尝不用数，而不以盛谈河洛致晦玩占观象之元冠以《程传》次以《本义》，未尝不主理，而不以屏斥谶纬并废互体、变爻之用。”

可见该书在内容上是做到了象数、义理兼重。通过比较象数和义理两派的诸家易说以此还原了《周易》的原貌。

同时，康熙帝对专门的数学研究也很感兴趣。他在位期间同当时的数学家保持着较为密切的关系，第四次南巡时，听说安徽宣城贡生梅文鼎对数学研究颇深，便向大学士李光地索取梅文鼎的著作。1705年，康熙第五次南巡时，特意在德州的船上中召见梅文鼎，与他谈论数学等科学技术知识达三天之久，事后他感叹说：“历象算法联最留心，此学今鲜知者，如文鼎仅见也!”并赐给梅文鼎“绩学参微”四字愿额。康熙帝与陈厚耀、李光地等清初的数学家都有很多交往，不再一一赘述。

康熙帝不仅自己学习数学，也写了关于数学的论文，代表性的就是他写的《御制三角形推算法》。康熙帝在文中写道：“康熙初年间，以历法争讼，互为奸出，至于死者，不知其甚几。……凡万机余暇，即专至于天文历法二十余年，所以略知其大概，不致于混乱。”从这段话可以知道，康熙帝对于数学的学习已经长达20余年，有学者初步研究认为满汉合璧的《御制三角形推算法》大概成书于1703年。这一时期正是康熙帝安排白晋等人研读《易经》的时期。康熙帝为何写下《御制三角形》呢？有学者指出，这和当时康熙参与的科学活动有关。我以为除此之外，这和他与白晋一起研读《易经》，白晋从象数角度为他介绍《天尊地卑图》的数学内容恐怕也有一定的联系。

七、结 论

自从阎守城先生于上个世纪在梵蒂冈图书馆发现了康熙帝有关与白晋读《易经》的文献后，近一个多世纪来中外学者都停留在阎先生所发现的文献研究上。而我们梳理了白晋易学外篇的总体思路，在易学外篇的研究中他由数开始，一二三是理解数的开始，由数入图。图的关键在于《天尊地卑图》，通过《天尊地卑图》，他解释了八卦、六十四卦、三百八十四爻，由此打通整个易学体系。通过仔细地分析白晋关于易学外篇的文献，本文揭示出白晋的易学外篇研究的重要贡献就是把西方近代数学，即帕斯卡三角介绍到中国。同时，白晋通过对《天尊地卑图》的数学解释将杨辉三角引入到易学的象数研究中。这在中国易学研究史上是开天辟地之作，白晋第一次将易学的象数研究与中国传统数学结合了起来，并第一次将中外数学通过易经研究结合了起来。这是白晋对《易经》研究所作出的重大贡献。白晋的这个发现或者说相关研究，成为康熙帝对西方数学产生兴趣的重要原因之一，并写下了他一生唯一的一部数学著作——《御制三角形》。

注 释：

① 张其成：《象数易学》，北京，中国书店出版社，第63页，2003年。

② 朱伯昆主编：《周易通释》，北京，昆仑出版社，第171页，2004年。

③ 张其成：《象数易学》，北京，中国书店出版社，第147页，2003年。

④ 《易经一》，梵蒂冈图书馆Borg.cin.317-8，第1页。

⑤ 梵蒂冈图书馆Borg.cin.317-3《易经总说》，第3页。

⑥ 余东编号“35-11”，她定为白晋的作品；伯希和编号“Borg.cin.317-3”，未确定作者。

⑦ 余东编号“34-10”，她用了书内的标题《易经总说》，并定为白晋的作品；伯希和编号“Borg.Cin.317-8”，未确定作者。

⑧ 梵蒂冈图书馆Borg.Cinese.317-3，第1页。

⑨ 梵蒂冈图书馆Borg.Cinese.317-3，第6页。

⑩ 梵蒂冈图书馆Borg.Cinese.317-8，第2页。