“分类讨论”在圆中的应用

王正

摘要：分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。在圆中的应用也是非常广泛，其中大致包含以下几个分类的热点，热点1：点与圆的位置关系不确定;热点2： 弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论;热点3：两弦与直径位置;热点4：直线与圆的位置的不确定;热点5：圆与圆的位置的不确定。

关键词：分类讨论;圆的分类

一、分类讨论思想的定义及原则

每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：

1、每级分类按同一标准进行：确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一;

2、分类应逐级进行：对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果;

3、同级互斥、不得越级：不重不漏，科学地划分，主次清晰，不越级讨论。

最后进行归纳小结，综合得出结论。灵活巧妙地运用分类讨论思想解题，可化繁为简，达到事半功倍的效果。

“分类讨论”在圆中的应用

由于圆的的任意轴对称性及圆的旋转不变性，给圆的问题解答增加了难度，往往容易造成学生解答不完整，下面就圆中出现的几个热点分类，结合例题加以归纳与分析。

二、热点1：点与圆的位置关系不确定

例1：在平面上半径为4的⊙O中，圆上的点到平面上一点P的最小距离为2，求OP的长。

分析：由于P点位置的不确定性，我们需要分类讨论P点的位置。

①P点在圆内;

②P点在圆外。

热点2：弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论

例2：已知⊙O的半径为2，弦BC=2，点P为⊙O上异于B，C点一动点，则∠BPC=____________。

分析：由于圆上P点位置关系的不确定性，我们需要讨论P点在优弧还是在劣弧上。

①点在弦BC所对的优弧上;

②点在弦BC所对的劣弧上;

热点3：两弦与直径位置关系不确定

例3：已知⊙O的半径OA=1，弦AB，AC的长分别是，

求∠BOC的度数。

分析：A点位置可以设定圆周上任意一点，但AB、AC弦可以分布在半径OA的两侧，故有2×2共四種情况，又由于圆的轴对称性，其中两种结果算法是对称的，所以不需要重复计算，所以我们此时只需要分AB、AC在OA的同侧与异侧进行分类。

①AB、AC在OA的同侧;

②AB、AC在OA的异侧;

热点4：直线与圆的位置的不确定

例4：已知⊙O的半径为4，点A在直线m上，且OA=4，则直线m与⊙O的位置关系是_______。

分析：学生容易出现误判OA就是点O到直线m的距离，判定直线与圆是相切的，从而出现漏解的情况，在这里我们需要考虑OA是切线还是交线的情况进行分类。

①直线与圆相切;

②直线与圆相交;

热点5：圆与圆的位置的不确定

例5：已知⊙M，⊙N相切，圆心距是8，其中⊙M的半径为3，求⊙N的半径。

分析：由于两圆的相切关系分为内切和外切，故需要分类讨论。

①两圆外切;

②两圆内切;

综上所述，在圆的应用解答过程中，我们要注意图形的变化，关注由于图形的不确定性所导致的分类讨论，在掌握圆的分类讨论方法后，善于举一反三，触类旁通，使得这类问题不再是我们的易错点。