两圆相减为什么是直线

楼文胜

浙江电大富阳学院 (311400)

一、问题的提出

在普通高中课程标准实验教科书《数学》(2)“圆与圆的位置关系”中有一个例题：已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0，圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的关系.教材的解法为：

圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组x2+y2+2x+8y-8=0 (1)

x2+y2-4x-4y-2=0 (2)(1)-(2)，得x+2y-1=0(3)，由(3)得y=x-12，代入(1)，并整理得x2-2x-3=0(4)，方程(4)根的判别式△=(-2)2-4×1×(-3)>0.

所以方程(4)有两个不相等的实数根.也即方程组有两个解，所以两个圆相交.

此解法的旁注中，提出了如下思考问题：“画出圆C1与圆C2以及方程(3)表示的直线，你发现了什么?你能说明为什么吗?”

笔者在教学中发现：学生能够发现(3)是过两圆交点的直线，也能说明理由.但当笔者按照教参的要求提出：“当两圆相切、相离或内含时，两圆方程相减为什么还是直线方程?这条直线与两圆在图像特征上存在什么关系?同心时相减为什么又不是直线方程?”，让学生在课外作为研究性学习的课题，基本上学生都不能完整解决这一课题.笔者向同行们请教，大家均说没有深入思考过这一问题，说明旁注没有引起数学教师们的重视.教参对各个习题均给出了解答，但对上述这么有意义的问题却没有给出参考答案或提示，笔者认为这实在是一个遗憾，所以不惴浅薄，在这儿给出一个解答，供大家参考.

二、问题的探究

右图是例题的图示，A、B是两圆的交点，如设A(x1,y1),B(x2,y2)，则其坐标满足(3)是易于说明的，但是(3)所代表的直线还有不少点，其含义是什么呢?其实上面(1)、(2)组成的方程组，相减得到(3)并不是等价的，与(3)等价的应该是(1)、(2)两式的右边同时加上一个常数k，即x2+y2+2x+8y-8=k (1)

x2+y2-4x-4y-2=k (2)加k的几何意义是C1的半径变为25+k，C2的半径变为10+k，这样k一变就得到一组圆，如有两个交点就在(3)所表示的直线上，让k变动，就能得到很多交点，这些交点构成直线(3).

同样的理由可以说明为什么相离两圆的方程相减还是直线方程.不失一般性，我们可以举两个简单的圆方程加以说明：x2+y2=1(5),(x-3)2+y2=1(6)，易知两圆相离，(5)-(6)得x=32(7),(7)与(5)、(6)式并不等价，要等价在(5)、(6)两式右边可以同加一个常数k，如k为正，则(5)(6)两圆的半径同时扩大，当扩大到一定程度两圆相切，进而相交，这些交点构成了直线(7).因为两圆一开始相离，半径扩大后才相交，所以交线肯定在一开始两圆的外部，由圆的对称性，相减所得直线必与两圆的连心线垂直.这儿需要说明的是，如一开始两圆的半径不等，则两圆的半径也不是相同数量扩大的.

可以完全类似的说明相切、内含两圆的方程相减也是直线方程.这儿再讲一下为什么同心两圆的方程相减得到的不是直线方程，如x2+y2=1,x2+y2=2，相减得0=1，这是因为半径在扩大的过程中，两圆始终不相交，当然也就不会出现交线了.

三、问题的结论与应用

由上面探究，我们可以得到一个初步结论：当两圆相交时，两圆方程相减得到方程所表示的直线是两圆交点的连线；当两圆相切时，两圆方程相减得到方程所表示的直线是过两圆交点的两圆的公切线；当两圆内含时，两圆方程相减所得的方程所表示的直线在两个圆的外部，且与两圆的连心线垂直(延长线)；当两圆相离时，两圆方程相减所得的方程所表示的直线在两个圆外部，且与两圆的连心线垂直.

从上面初步结论可知：两圆相减所得直线与连心线交于两圆变化过程中的相切位置.由此，若两圆方程已知，我们可以定量的知道交点的位置.

设圆C1的方程：(x-x1)2+(y-y1)2=R2，圆C2的方程为(x-x2)2+(y-y2)2=r2,两圆的圆心距为d,如两圆外离，且方程右边加k后相切，则R2+k+r2+k=d,解得r2+k=d2+r2-R22d,R2+k=d2+R2-r22d.所以直线与连心线(小圆圆心为起点、大圆圆心为终点)交于定比为d2+r2-R2d2+R2-r2的分点处，当两圆外切时结论仍成立.

设圆C1的方程：(x-x1)2+(y-y1)2=R2，圆C2的方程：(x-x2)2+(y-y2)2=r2，两圆的圆心距为d，如两圆内含时(不同心)，如方程右边加k后相切，则R2+k-r2+k=d，同理可求得直线与连心线(小圆圆心为起点、大圆圆心为终点)交于定比为d2+r2-R2d2+R2-r2(这时小于0)的分点处，当两圆内切时结论仍成立.

综上，两圆方程相减所得直线方程与连心线(小圆圆心为起点、大圆圆心为终点)垂直交于定比为d2+r2-R2d2+R2-r2的分点处.

应用举例

例 从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2，3)，向该圆引切线PA、PB，切点为A，B，求过A、B的直线方程.

解法一：如设已知圆的圆心为C，根据几何性质知，切点是以PC为直径的圆与圆C的交点，以PC为直径的圆方程为(x-1)(x-2)+(y-1)(y-3)=0，联立

(x-1)(x-2)+(y-1)(y-3)=0 (1)

(x-1)2+(y-1)2=1 (2)

(1)-(2)得x+2y-4=0，即为AB的直线方程.

解法二：因为PA=PB，所求直线AB可以看作以P为圆心、以PA为半径的圆与圆C相减所得，易知以P为圆心、PA为半径的圆方程是(x-2)2+(y-3)2=4，与圆C方程联立得(x-2)2+(y-3)2=4,

(x-1)2+(y-1)2=1,相减得x+2y-4=0，即为AB所在直线方程.