人教A版的一道“四点共圆”题的教学实践与思考

贾 立 忠

(牡丹江市第一高级中学，黑龙江 牡丹江 157000)

新课程标准的基本理念是通过教材上的例题、练习题、习题、复习参考题来呈现和贯彻的。教材上的习题具有最强的示范性，应有效应用课本典型习题，更重要的是能运用课本题所呈现的思维与方法，再适当加以应用拓展来解决高考、竞赛、强基计划的相关试题。

一、问题呈现

普通高中教科书《人教A版(2019)选择性必修第一册》第88页，习题2.4，第6题：平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？

二、基本解法呈现及分析

标准解法：设过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)

则把A,B,C三点代入圆的方程有，

故过A,B,C三点的圆的方程为

x2+y2-2x-6y+5=0

(1)

将D的坐标代入(1)式有1+4+2-12+5=0，故D在过A,B,C三点的圆上，

从而A,B,C，D四点共圆。

点评与分析：这种解法实际上是待定系数法，它的本质上是代数思维。这是因为圆的一般方程突出了圆的方程的一般特征，即含有D,E,F三个参数的二元二次方程，只需要代入不共线的三个点，则圆的一般方程便转化为D,E,F的三元一次方程组，只需解出这个三元一次方程组，就得到过三个点的圆的方程，最后把第四个点代入验证即可。这类似于初中求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的求解过程。类似地本题也可以设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r≠0)，代入三个点求解a,b,r，然后再代入第四个点看是否满足方程，这里从略。

解法二：由A(0,1),B(2,1)知，直线AB斜率kAB=0,所以线段AB的垂直平分线为l1:x=1

由B(2,1)，C(3,4)知，直线BC斜率kBC=3,

所以线段BC的垂直平分线

所以线段CD的垂直平分线l3:y-3=-2(x-1)，即l3:2x+y-5=0.

点评与分析：这种解法实际上是从几何的视角来思考的，它的本质上是几何思维，即垂径定理，圆的弦的垂直平分线必过圆的圆心，或者也可以理解为三角形的外心是三边的垂直平分线的交点。

所以 ∠DAB+∠BCD=π,故A,B,C，D四点共圆。

点评与分析：这两种解法实际上是从平面几何角度思考的，我们知道，若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆。但是如何来求这个角呢？方法三是正切值的角度来求解的，方法四是从余弦值的角度来运算的，两种方法只是演算的三角函数值的不同，没有本质的不同。

三、延伸性解法呈现及分析

解法五：由A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)得,直线AC和直线BD的斜率分别为

从而得直线AC的方程为：y-1=x-0，即x-y+1=0。

从而|AE|·|CE|=|BE|·|DE|,由相交弦定理的逆定理知A,B,C，D四点共圆。

点评与分析：该解法实际上应用的相交弦定理的逆定理：两条线段AB和CD交于点P点，若PA·PB=PC·PD,则A,B,C,D四点共圆。这种解法需要补证一下相交弦定理的逆定理才可以应用。

解法六：由A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)，得

又因为cos∠ADB∈(0，π)，cos∠ACB∈(0，π)，所以∠ADB=∠CDB,

所以A,B,C，D四点共圆。

点评与分析：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，这个定理。

解法七：由A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)得，

所以|AC|·|BD|=|AD|·|BC|+|AB|·|CD|由托勒密定理的逆定理可知A,B,C，D四点共圆。

点评与分析：托勒密定理的逆定理 若四边形两组对边乘积之和等于它的两对角线之积，则该四边形是圆内接四边形。这个定理如果使用也需要证明才可以使用。

四、与四点共圆有关的高考题链接

(1)求直线AB的方程

(2)如果线段AB的垂直平分线交双曲线于C,D两点，那么A,B,C,D四点是否共圆?为什么?

2.(2005年高考湖北卷理科第21题)设A，B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N(1,3)是线段中点，线段的垂直平分线交椭圆于C,D两点。

(1)确定λ的取值范围，并求直线AB的方程.

(2)试判断是否存在这样的λ，使得A,B,C,D四点共圆?并说明理由。

(I)求C的方程；

(II)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.

(I)证明：点P在C上；

(II)设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.

(1)求C的方程；

五、与四点共圆相关竞赛题链接

1、(2017年全国高中数学联赛湖南预赛)

设AB是椭圆mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的斜率等于1的弦，AB的垂直平分线与椭圆交于两点C,D.F为线段CD的中点.

(1)求证：|CD|2-|AB|2=4|EF|2

(2)求证:四点A,B,C,D共圆。

六、与四点共圆相关强基计划试题题链接

1.(2020年清华大学强基计划试题)非等边三角形ABC中，BC=AC,O,P分别为ΔABC的外心和内心，D在BC上且OD⊥BP,下列选项正确的是( )

A.BODP四点共圆 B.OD//AC

C.OD//ABD.DP//AC

2.(2020年复旦大学强基计划试题)如图所示凸四边形ABCD,则

“∠BAC=∠BDC”是“∠DAC=∠DBC”的___________条件

七、教学反思

我们要尽量把教材上的例题、习题不断挖掘、拓展、变式，不要轻易放过每一个题目。四点共圆的证明和求解，是一个非常好的培养学生思维的载体，在解决这个问题的过程中，培养学生勤于思考，多角度、逐步深入地探究四点共圆的相关解决方法。

数学教学要帮助学生形成正确的数学学习观。解决数学问题的思路是“如何想”，习题的教学也要展示给学生思考的过程，解决问题的过程应该是学生思维的范例，老师要搭建脚手架，让学生逐步学会思考，发展思维，最终走向独立解决问题。