数学发现与发明关系新说

李昌官

数学发现与发明关系新说

李昌官

（浙江省台州市教育教学研究院，浙江 台州 318000）

数学是发现还是发明是一个古老且争议不断的问题．数学是客观与主观、发现与发明的融合；数学的内涵是客观的、发现的，数学的表达方式是主观的、发明的，并且这种客观性与主观性、发现性与发明性是相对的，而不是绝对的．不同属性的数学内容的客观性与主观性、发现与发明的成分是不同的；数学在发现与发明的交织与融合中发展．数学发现是数学发明的基础与依据，发现是数学的第一性，发明性是数学的第二性．

发现与发明融合说；发现与发明分类说；发现与发明相对说；发现第一性发明第二性说

数学是发现的还是发明的，几千年以来，人们对此争论不休，至今还没有形成相对统一的、明确的观点[1]．

1 已有数学发现与发明的主要观点及其局限

历史上，关于数学是发现的还是发明的观点大致可归结为3类：一是数学是客观的、发现的；二是数学主观的、发明的；三是数学是客观与主观、发现与发明的统一体．

1.1 数学发现说及其缺陷

早在古希腊时期，毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580—公元前500）学派就认为：“宇宙是以数学方式设计的，而不是杂乱无章的；万物皆数．”柏拉图（Plato，公元前427—公元前347）认为：“数学是独立存在于可感知的事物之外，是以永恒不变的理念的形式存在的客观实在．”数学追求的是“关于永恒事物的知识，而非关于任何必然毁灭的短暂事物的知识．”[2]克罗内克（Kronecker，1823—1891）认为：“上帝创造了整数，其他的都是人的工作．”[3]拉卡托斯（Imre Lakatos，1922—1974）认为：“自然科学是一种后验的、内容丰富的、（至少在原则上）可谬的，而数学是先验的、同语反复的、不可谬的．”[4]M·克莱因（Morris Kline，1908—1992）认为：“上帝一开始就创造了数学，然后再按照数学定律创造了宇宙和地球．”[5]由于确信数学知识具有绝对真理性，因此上帝创造了数学这种具有明显唯心主义性质的观点在西方长期占主导地位．人们相信：数学是独立于具体对象的永恒客观实在的理念世界，人们只能发现它、理解它、接受它．

与上帝创造数学的唯心主义“发现说”不同，恩格斯（Friedrich Engels，1820—1895）等持唯物主义“发现说”．恩格斯指出：“纯数学具有脱离任何个人的特殊经验而独立的意义，这当然是正确的，而且这也适用于一切科学的，一切已经确立的事实，甚至适用于所有的事实……数和形的概念不是从其它任何地方，而是从现实世界中得来的……纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料．”[6]与此相类似，亚历山大洛夫（A. D. Aleksandrov，1912—1999）认为：“数学，连同写在纸面上的和数学家所想的，都是反映现实世界的，而数学的真理则在于它同客观现实相一致．”[7]尽管唯物主义“发现说”也认为人们只能接受数学、发现数学，但它与唯心主义“发现说”有着质的区别，它实现了由发现上帝创造的数学到发现作为客观世界本质、关系与规律表现的数学的飞跃．它认为，不是宇宙以数学方式设计，而是人们借助数学、通过数学发现、认识宇宙的本质与规律；客观世界与数学世界具有高度的一致性，是因为数学是按客观世界的本来面貌建构的，而不是偏离它的规律．

“发现说”后来受到了广泛的质疑．因为数学对象并非客观世界中的真实存在，客观世界中找不到数学意义上的点、直线、随机现象，更找不到高等数学中的微分、积分、偏微分方程；数学结论不是建立在直接经验的基础上，而是建立在心智和逻辑的基础上，数学与人的思维、人的心智是分不开的．

1.2 数学发明说及其缺陷

柏拉图的学生亚里士多德（Aristotle，公元前384—公元前322）提出了与自己老师不同的观点．他认为，数学对象不可能独立存在于可感的事物之中，也不可能独立存在于可感的事物之外；它是通过数学家的抽象建构而获得的，是一种抽象存在，而不是客观存在．进入20世纪后，随着科学的发展，上帝隐退了，许多数学家转而认为，数学是人的主观意识的反映．直觉主义者认为，数学的基础在于直觉；存在必须被构造．直觉主义主要代表人物之一黑丁（A. Heyting，1899—1980）认为：“数学思想的特性在于它并不传达关于外部世界的真理，而只涉及心智的构造”“我的数学思想属于我个人的智力生活，并限于我个人的思想．”[8]克罗内克后来也认为：“数学概念是自主的数学活动；数学研究对象一定能够通过有限步骤构造出来．”戴德金（R. Dedekind，1831—1916）非常肯定地认为，数不是由时间和空间感觉得来，而是“一种纯粹思维规律的直接产物”[3]．布里奇曼（P. W. Bridgman，1882—1961）说得更明确、更绝对：“数学是人类的发明，这是最起码的真实，即便未经训练的观察，都会很快明白这一点．”[9]集合论创始人康托尔（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845—1918）认为：“数学是绝对自由发展的学科，它只服从明显的思维．就是说它的概念必须摆脱自相矛盾，并且必须通过定义而确定地、有秩序地与先前已经建立和存在的概念相联系．”[10]“到19世纪末，盛行的看法是，数学里的一切公理都是任意的．公理只不过是导出结论的推理的基础．既然公理不再是关于包含在它里面的概念的真理，于是也就不用去管这些概念的物理意义了……数学已经从实在性中分裂出来了；它已经明显地而且无可奈何地失去了对自然界真理的所有权，因而变成了一些没有意义的任意公理之必然推论的随从了．”[11]国内也有学者持与此相类似的观点，如，胡作玄（1936—）认为：“自然科学工作的本质是发现；数学工作的本质是发明．”[12]

“发明说”受到的质疑更多、更大．正如郑毓信（1944—）所说：“如果数学对象并非不依赖于思维的独立存在，而只是抽象思维的产物，从而也就必然地从属于个人的思维活动，那么，数学又何以可能具有超越个人的‘客观性’？何以具有广泛的应用性？”[8]

1.3 数学发现与发明统一说及其局限

柏拉图已隐约地感受到数学具有发现与发明的两重性质．他认为：“数学是使灵魂脱离变化世界进入实在世界的学问；数学对象具有居间的性质，数学家的心理状态是介于理性与意见之间的理智．”[13]吕埃勒（David Ruelle，1935—）认为：“数学是人或人脑研究的数学．当我们讨论数学的形式方面时，人脑的考虑是无关紧要的，但如果涉及数学的概念方面时，则并非如此．数学概念是人脑的产物，应该会反映出人脑的特质．”[14]M·克莱因认为：“数学研究并不是对自然的记录，而是对自然的探索；数学知识是人们对世界的一种认识、一种解释，与自然界的本来面目相距甚远．”[5]爱因斯坦（Albert Einstein，1879—1955）也持相似的观点．他认为：“从来没有一个真正有用的和深刻的理论果真是靠单纯思辨去发现的……要是数学的命题所涉及的只是想象中的对象而不是实在的客体，那么别的科学部门的研究者还是没有必要去羡慕数学家．”[15]

国内大量的专家、学者支持“数学研究既是一种发明，同时又是一种发现的活动”[8]的观点．张景中（1936—）院士认为：“数学从客观世界汲取营养，形成自己的概念．然而概念一旦形成，就有了自己的性质，数学家奈何它不得……数学世界是人的创造，它却是客观的．它的内在性质与规律不以人的主观意志为转移．”[16]林夏水（1938—）先生认为：“数学的本质是经验性与演绎性在实践基础上的辩证统一．”[13]张楚廷（1937—）先生认为：“数学创造的复杂过程实际上是主、客观达到统一的过程，是发明与发现的结合．”[17]

数学发现与发明统一说在很大程度上弥补了“发现说”与“发明说”的缺陷，但“统一说”没有说明统一的方式：一是所有的数学知识都既是发现的又是发明的还是部分是？如果是部分是，那么哪些数学知识是主观—发明的？哪些数学知识是客观—发现的？二是这种客观与主观、发现与发明是绝对的还是相对的？是侧重于客观与发现，还是侧重地主观与发明？三是发现与发明有怎样的联系？它们中谁是第一性、谁是第二性？

2 数学发现与发明关系新说

2.1 数学发现与发明融合说

2.1.1 数学发明是以数学发现为基础的

一般来说，数学对象的形成有两个基本环节：第一个环节是发现其内涵，即发现这个数学对象所蕴含的事物的本质、关系与规律；第二个环节是发明其表达形式，即把发现的东西用便于人们理解的方式简约地表达出来．数学的真正源头是客观世界的本质、关系与规律；数学发明和创造的基础和前提是发现，是人们发现客观世界的本质、关系与规律．“任何稍有数学常识的人都一定有这样的体会：我们在数学中所从事的是一种客观的研究，这也就是指，我们不能随心所欲地去创造数学规律，而只有按照数学对象的‘本来面貌’去对此进行研究．”[8]“数学中的术语、定义具有约定的性质．不过，它不完全是任意的约定．约定论无法说明为什么数学家普遍使用基本上一致的推理规则，也无法解释由约定产生的结论和现实世界符合得这样好，为什么数学有如此广泛的应用．”[16]

2.1.2 数学发现与数学发明相互作用并相互转化

数学发明是人与客观世界相互作用的结果．皮亚杰（Jean Piaget，1896—1980）认为：“认识既不是起因于一个有自我意识的主体，也不是起因于业已形成的、会把自己烙印在主体之上的客体；认识起因于主客体之间的相互作用，这种作用发生在主体和客体的中途，因而同时既包含着主体又包含着客体．”[19]希尔伯特（David Hilbert，1862—1943）认为：“数学的根源就在于思维与经验之间的反复出现的相互作用．”[20]这些论述充分揭示了数学发展是客观与主观、发现与发明相互作用、相互转化的结果．更进一步，不仅应看到“思维对象”向“客观对象”的转化，还应看到数学发展之初时“客观对象”向“思维对象”的转化．也就是说，数学的发展先是“客观对象”向“思维对象”转化，再经由“思维创造”，由“思维对象”向“客观对象”转化．从源头和根本上说，数学是客观的、发现的；从形成的途径和方式上说，数学是主观的、发明的．

2.1.3 数学是“客观与主观”“发现与发明”的融合

“纵观历史长河，数学的灵感有两种源泉——现实世界和人类的想象世界．哪一个更重要呢？都不是．重要的是两者的结合．历史见证了，正是这两者的综合作用创造了数学的力量和美．”[21]“科学的客观内容总是被置于这些或那些思想形式中；这两个辩证的对立面——客观内容和思想形式——的统一和斗争，在数学中，如同在一切科学中一样，对于这门科学的发展起了远非微末的作用．”[7]“数学艰难地徘徊在现实与非现实之间；它的意义不存在于形式的抽象中，也不存在于具体的事物中……数学联结了心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实的物质世界．”[22]冯·诺伊曼（John von Neumann，1903—1957）认为，数学的本质存在着经验与抽象的二重性[20]．R·柯朗（Richard Courant，1888—1972）认为，数学“进入抽象一般性的飞行，必须从具体和特定的事物出发，并且又返回具体和特定的事物中去”[23]．

“统一”是指各部分联成整体，或各部分归于一致．“融合”是指几种不同物体合成一体，是“你中有我，我中有你”．世上本没有数学，数学来到人间的方式必然在下列4种之内：一是所有数学都是发现的；二是所有数学都是发明的；三是有的数学是发现的，有的是发明的；四是发现中有发明，发明中有发现．数学中，“发现”与“发明”的关系，犹如微观粒子的“粒子性”与“波动性”的关系，有时发现特征明显而发明特征不明显，有时发明特征明显而发现特征不明显．数学的发展不是“发现”与“发明”简单的叠加，而是发现与发明相互作用、相互渗透、相互转化的“融合”．

波普尔（Karl R. Popper，1902—1994）的“3个世界”理论有助于大家更深刻地理解发现与发明的关系．他认为，世界由3个部分组成：“世界1”是通常所说的物理世界；“世界2”是指心理学世界，即精神世界；“世界3”是指人类精神产物的世界．世界1不是自足的或“封闭的”；它受到世界2的影响，与世界2相互作用；或者它在因果关系上对于世界2开放，因此又进一步对世界3开放[24]．

2.2 数学发现与发明分类说

2.2.1 数学的内涵是客观的和发现的

内涵是指概念所反映的事物的本质属性．决定数学是被发现还是被发明的最大依据是数学的内涵，是“数学到底是什么”．尽管数学对象不是现实世界的客观存在，而是思维加工的结果，但不能由此否定这些数学对象内涵的客观性．以数学中的“点”为例．现实世界中不存在抽象的、没有大小的、数学意义上的点，但不能否定点概念的内涵是被发现的：即人们研究某些物理对象时，是把它作为一个整体而无需考虑其局部，或无需考虑其大小，或无法考虑其大小．尽管一些数学对象不是直接从现实世界的具体存在中抽象出来的，而是对已有的数学对象进行再加工、再抽象的结果，是人类的发现与创造，但从源头和根本上说，这些数学对象是发现的，是建立在数学发展内在规律和人们关于客观世界已有认识的基础上，而数学发展的内在规律与内在逻辑归根到底是客观世界的内在规律与内在逻辑．

数学源于现实世界．假如另一个星球上的生物也有数学，也许这些数学与“人类数学”有很大的不同，但这些数学也一定刻画和反映那些生物所赖以生存的物质世界的本质、关系与规律．这类似于欧氏几何与非欧几何尽管有很大的不同，并且有各自不同的适用范围，但它们都是不同物质世界中的关系与规律的反应．数学的最终目的是服务于人类认识自然、改造自然，正是数学内涵的客观性保证了数学在特定的范围内具有确定性与有效性．缘于这些，伽利略（Galileo Galilei，1564—1642）认为：“自然之书是用数学的语言写成的．”亚历山大洛夫认为：“归根到底，数学的生命力的源泉在于它的概念和结论尽管极为抽象，但却如我们所坚信的那样，它们是从现实中来的，并且在其它科学中，在技术中，在全部生活实践中都有广泛的应用；这一点，对于了解数学是最主要的．”[7]“数学结论的真理性不是在一般的定义和公理中，也不是在证明的形式的严格性中，而是在现实的应用中，也就是说，归根到底是在实践中得到最后的证实．”[7]

2.2.2 数学的表达方式是主观的和发明的

2.3 数学发现与发明相对说

前面所说的“数学的内涵是客观的和发现的”是相对的，因为数学作为人类的一项活动，必然受制于人类的活动空间和社会发展水平，必然受制于人的思维方式与思维水平．类似地，“数学的表达方式是主观的和发明的”也是相对的，因为它归根到底是为人类认识自然、刻画自然服务的．不仅如此，不同属性的数学内容的客观性与主观性、发现与发明的成分是不同的．

2.3.1 数学语言

数学语言是人类的发明．它属于数学表达范畴，具有较强的主观性，但这种发明和主观性不是绝对的，是受各种客观因素影响和制约的．以数的进位制为例．人们曾分别用五进制、十进制、十二进制、十六进制、二十进制、六十进制表示一个数，但最后大家都不约而同地采用十进制，说明数的进位制不是纯主观的．事实上，数学符号和数学语言都是长期进化的结果，都服从“适者生存”的法则．徐利治曾精辟地阐释了数学符号与现实世界的关系．他指出：“一般来讲，形式符号给人一种错觉，好像它是人类意志的自由创造，可以和现实世界毫不相关．然而同样的事实是，那些和我们关系密切的符号，如词汇、数字、逻辑符号，都是人类文化进化过程的产物．它们与现实世界有关密切的联系．这座联系的桥梁就是同构．”[25]因此，尽管数学语言具有比较强的主观性和较大的发明成分，但也具有一定的客观性和发现成分．

2.3.2 数学思想方法

数学思想方法是人们因解决问题的需要发明创造的，是受人的需求、知识、能力、情感、意志影响的．模型思想、集合思想、公理化思想，莫不如此．从微观层面看，一个勾股定理就有四百多种不同的证法，更从一个侧面说明不同的人可以用不同的方法解决同一问题．因此数学思想方法是人的发明，具有很大的主观性．另一方面，数学思想方法之所以有效，是因为它们与客观实际相符合，与待解决的问题相适应．从根本上说，采用怎样的数学思想方法解决问题是在发现事物本质、关系与规律基础上的选择或创造，是发现基础上的发明．计算机的出现和广泛应用对数学思想方法产生了重大影响，也说明数学思想方法不是纯主观的．

2.3.3 数学概念

数学概念是源于现实、又高于现实的抽象物．直接由客观现实抽象出来的数学概念，它们的内涵是由客观现象决定的，因而是客观的、发现的．容易引起人们争议的是，由人的大脑直接建构的虚数、非欧几何等概念的内涵是客观的还是主观的？是发现的还是发明的？表面上看，虚数、非欧几何的内涵似乎是主观的、发明的，但从本质上看，它们仍具有较强的客观性与发现性．正如亚历山大洛夫所说：“虚数不是像整数那样从现实世界中提取出来的，这是一个历史事实．同样地，罗巴切夫斯基几何学也是作为这个伟大学者的创造物而产生的；他还没有看到它的现实意义，所以称它为‘想象的几何学’．但是它不是智慧的自由游戏，而是根据几何的基本概念做出来的必然结论．‘自由创造和想象’，不能理解为简单的思想任性．科学中的自由创造——这是为来自经验的初始概念和原理所决定的有意识的逻辑必然性．”[7]

R·柯朗对数学可以自由创造的观点提出了尖锐的批评．他指出：“有一种观点对科学本身是严重的威胁，它断言数学不是别的东西，而只是从定义和公理推导出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾之外，可以由数学家根据他们的意志随意创造．如果这个说法正确的话，数学将不会吸引任何有理智的人．它将成为定义、规则和演绎法的游戏，既没有动力也没有目标．认为灵感能创造出有意义公理体系的看法，是骗人的似是而非的真理．”[22]看似“思维自由创造”的负数、虚数、四元数、非欧几何等正是因为经受了客观世界的检验，才被人们最终接受，因此“思维自由创造”的本质是对自然规律的一种猜想和假设，它最终要接受实践的检验．数学概念的内涵本质上是客观的．这里的“本质上是客观的”，一是指数学概念的源头是客观的，是人们认识和把握客观世界过程中形成的阶段性成果；二是指数学概念的建构要遵循数学发展的内在规律与内在标准，并接受“数学共同体”的“审查”；三是指数学概念最终要接受客观世界的检验．

2.3.4 数学定理

数学定理揭示的是客观世界深层次的关系与规律．它们的内容是客观的，是发现的，但这种客观性与发现性也不是绝对的，而是相对的．

数学定理的内容源于人的直觉和经验．“数学正是建造在某种直觉之上的，这些直觉是我们的感觉器官、大脑和外部世界结合的产物．它是一个人为的构造，任何为其寻找绝对基础的尝试注定是要失败的．”[3]完全独立于精神，却又想构造它、理解它、探求它的现实是不存在的．如此客观的世界，即使存在的话，也永远无法深入其中．被称之为客观实在的东西，归根到底对大多数思维者是共同的，而且对所有的思维者也应当是共同的[26]．数学定理归根到底是人对客观世界的认识，具有一定的局限性与主观性．“数学，至少最有意义的数学理论，像自然科学理论一样，是拟经验的．”[4]拟经验的东西是可谬的．观察与经验告诉人们，大地表面基本上是平的；是观察经验把人们引入歧途[27]．又如，人们往往认为光线是直的，而事实上，光线不是直的，甚至不能体现任何一维的形式．人们是在不需要考虑光线的弯曲程度，或没有能力考虑光线的弯曲程度的情况下，把光线看成是直线的．“没有任何最微不足道的证据来表明欧氏几何的真理性．没有任何一点．”[5]“我们知晓的一切事物是通过我们自己的人脑为我们所认知的．即使当代我们所理解的我们生活的地球不过是物质世界中的极小粒的尘埃．”[14]

第二，数学定理是发现的，但它的证明是发明的，而定理证明是定理的一部分．数学定理的证明是演绎的，但证明的前提是归纳的、假设的．克吕格尔（Georg S. Klügel，1739—1812）曾指出：“人们接受欧几里得平行公理的正确性是基于经验；公理的实质是在于符合经验而并非其不证自明．”[11]实践最终证明：两千多年来被人们视为绝对真理的欧氏几何并无必然的真理性．同样，其它数学定理、法则也无绝对的必然性．弗雷格（G. Frege，1848—1925）、罗素（Bertrand Arthur William Russell，1872—1970）试图“从无可置疑的真逻辑公理出发演绎出全部数学真理（借助于巧妙的定义）．结果是，有些逻辑公理（更确切地说，是集合论公理）不仅不是无可怀疑地真，而且甚至是不相容的”[4]．“我们的知识有各种各样的源泉；但是，没有一种源泉有权威性．”[27]“一切知识都是概率性知识，只能以假定的意义被确认．”[28]“规律绝不会是精确的，因为我们是借助于概念来表达规律的，而即使概念会发展，在将来仍然会被证明是不充分的．”[15]“我们应当做的是放弃终极知识源泉的观念，承认一切知识都是人的知识；承认知识同我们的错误、偏见、梦想和希望混在一起，我们所能做的一切就是探索真理，尽管它是不可企及的．”[27]

第三，从更本质的方面来说，数学主要是一种方法[5]．包括数学定理在内的数学知识都是人类认识自然、改造自然的工具，而工具在某种程度上必然是人类的发明和创造．

应抛弃数学是绝对真理的观点，但又不否定数学的真理性；抛弃客观与主观、发现与发明非此即彼的二元对立观点，走向彼此的相互作用与相互融合．数学中的发现与发明是相对的，而不是绝对的；不同属性、不同侧面的数学处于一个客观与主观、发现与发明的连续体中（如图1）；没有什么数学知识是纯粹主观的，也没有什么数学知识是纯粹客观的；不同属性、不同侧面的数学在客观与主观、发现与发明方面的差异是程度上的差异．在客观还是主观、发现还是发明这个问题上，数学作为人类的创造与其他人类创造的东西没有本质的区别，只有程度上的差异．

图1 不同属性数学知识的“主观与客观”“发明与发现”成分

2.4 发现第一性发明第二性说

2.4.1 客观性与发现性是数学的第一性

数学发现是数学发明的基础与依据．“不但数学概念本身，而且它的结论，它的方法都是反映现实界的．”[7]“数和分析中的函数不是我们精神的任意产物；它们在我们之外存在着，并且和客观实在的对象一样，具有某种必然性的特征；我们找到或发现它们、研究它们，就和物理学家、化学家及动物学家所做的事情一样．”“数学定理的真伪，它们的真实性和谬误性是独立于我们对它们的了解的．在某种意义上，数学的真理是客观实在的一部分．”“我相信数学的实在性是在我们之外，我们的作用只是发现它们或观察它们，而那些被我们夸张描绘成为我们的‘创造物’的定理，其实只是我们观察的记录．”[11]

“人创造出虚数，可是虚数服从的数学规律不以人的主观意志为转移，因此，数学家觉得，不是人创造了虚数，而是人发现了虚数．”[16]数学的基础与源头是客观现实，三八二十四还是二十三，归根到底是客观现实说了算，人们无法改变它们．数学从源头、本性与本质上来说是客观的；数学知识的客观性、发现性是第一性．这从根本上回答了皮亚杰提出的数学认识论3个主要问题：“数学虽然是奠基于极少数内容相当贫乏的概念或公理之上，为什么却这样富有成效呢；尽管数学具有建构特性，这可能成为不合理性产生的根源，但为什么数学仍然具有必然性从而保持恒常的严格性呢；尽管数学具有完全演绎的性质，为什么数学跟经验或物理现实是符合一致的呢？”[19]

2.4.2 主观性与发明性是数学的第二性

应在下述意义上明确肯定数学的客观性：就整体、过程、总和、趋势、源泉而言，数学正是思维对于客观世界量性规律性的反映；这种反映并非直接的、简单的反映，而是一种间接的、能动的反映[8]．数学发现和创造的过程、方法是受人的习惯、能力、情感和态度影响的，具有一定的主观性；数学结论也因人的关注点和研究对象的不同而不同．1+1＝2是有前提条件的，1滴水加1滴水可以是1滴水，1滴水加2滴水还可以是1滴水．正如几何有欧氏几何、射影几何、解析几何、罗巴切夫斯基几何、黎曼几何、微分几何等各种几何，代数也不是只有一种，而有好几种．普通代数是一种人工产品，它的规则不可能适用于所有的物理世界．四元数、拟四元数、八元数、格拉斯曼（Hermann Günther Grassmann，1809—1877）超复数、向量等几种量的引进揭开新的数学前景——不是只有一个实数和复数的代数，而是有很多个不相同的代数[29]．

3 数学发现与发明关系对数学教育的启示

数学发现与发明的关系是一个重要的数学哲学问题．它对数学教育具有重要的指导价值．

第一，数学教育应揭示并追求数学与自然的和谐与统一．数学是发现与发明的和谐与统一，数学教学应加强对客观现象的归纳与抽象，提升学生把现实问题转化为数学问题的能力；应自觉地按照数学与自然和谐统一的规律建构数学知识；应注意回归自然、从自然中寻找启发是解决数学问题的思路与方法；对所得的数学结论，应自觉地接受客观现实的检验，并力求在现实中应用之．

第二，数学教学应揭示并追求直觉与逻辑的和谐与统一．“如果数学不是独一无二的、严格的逻辑结构，那么它是什么呢？它是任何时候人们乐于使用，经过逻辑筛选、提炼和组织的一系列伟大的直觉．”[3]数学教学应积极追寻直觉背后的逻辑与引领逻辑的直觉，积极探索直觉逻辑化与逻辑直觉化的策略、途径与方式，有效地发展学生的思维能力[30]．

第三，应引导学生从发现与创造的视角看待数学．数学是人类的发现、发明和创造，学生不仅应做数学的学习者、接受者，也应做数学的发现者和创造者．数学教学应揭示发现、建构数学知识的一般策略与方法，增强学生主动建构、创造数学知识的意识与能力．

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[28] 赖欣巴哈．科学哲学的兴起[M]．伯尼，译．上海：上海商务印书馆，1991：195．

[29] 克莱因M．古今数学思想（第二册）[M]．石生明，万伟勋，孙树本，等译．上海：上海科学技术出版社，2014：345．

[30] 李昌官．追寻直觉背后的逻辑与引领逻辑的直觉[J]．数学教育学报，2018，27（4）：76-81．

A New Perspective on the Relationship between Mathematical Discovery and Invention

LI Chang-guan

(Taizhou Institute of Education and Instruction, Zhejiang Taizhou 318000, China)

Whether mathematics is a discovery or an invention is an old and controversial question. Mathematics is a fusion of objectivity and subjectivity, as well as a fusion of discovery and invention. The connotation of mathematics is objective and discoverable, and the expression of mathematics is subjective and inventive. And this objectivity and subjectivity, discovery and invention are relative rather than absolute. For mathematical content with different attributes, the proportion of objectivity and subjectivity as well as the proportion of discovery and invention are different. Mathematics develops in the interweaving and fusion of discovery and invention. Mathematical discovery is the foundation and basis of mathematical invention. Discovery is the primary nature of mathematics, and invention is the secondary nature of mathematics.

fusion theory of discovery and invention; classification theory of discovery and invention; relativity theory of discovery and invention; theory of discovery as the primary nature and invention as the secondary nature

G40–03

A

1004–9894（2022）01–0097–06

李昌官．数学发现与发明关系新说[J]．数学教育学报，2022，31（1）：97-102．

2021–10–10

浙江省教研课题——高中数学研究型教学实践与探索（10455）

李昌官（1964—），男，浙江临海人，正高级教师，博士，主要从事中学数学课程与教学研究．

[责任编校：周学智、陈汉君]