微积分的内核裂变与“后微积分范式”的数学教育价值

黄秦安

微积分的内核裂变与“后微积分范式”的数学教育价值

黄秦安

（陕西师范大学 数学与统计学院，陕西 西安 710119）

微积分理论作为人类历史上伟大的知识创造之一，自诞生之后在相当长一段时期内被奉为描绘宇宙与自然运行强有力的数学语言与模型．20世纪以来，作为具有典型革命性意义的知识创新，诞生了分形几何学、混沌理论和复杂性科学等多种新兴学科．这些重要的数学知识创造构成了后微积分时代的主流数学知识形态并凝聚成为一种新的数学范式——“后微积分范式”．作为微积分范式的一种内核裂变，它实现了对原有范式的颠覆、突破和迁越，具有非确定性、混沌性和复杂性等显著的当代科学革命特征．“后微积分范式”已经构成了大学数学课程的重要组成部分和必要内容，也必将成为未来高中甚至义务教育数学课程的基本内容．因此，“后微积分范式”的数学教育意义以及如何开展教学的话题需要予以充分的论证和关注．

微积分；内核裂变；后微积分范式；混沌理论；复杂性科学；数学课程

微积分是人类历史上最伟大的数学创造之一，它在数学发展过程中的地位和在人类文明进程中的重要性是无论如何估计都不会过高的．然而，如同人类任何其它的知识创造一样，微积分也有自己固有的思想、知识与方法的局限性．在肯定其价值的同时，有必要对其范式的内在局限性进行若干分析．与20世纪的科学进步相互辉映，持续的数学知识创新与革命构成了后微积分时代绚丽多彩的科学画卷，书写了数学哲学的新观点和新方法．突破传统的微积分范式，既是数学发展的要求，也是数学教育改革需要特别加以关注的．

1 微积分的知识价值与范式局限性

这里用“微积分范式”来表示自微积分诞生以来，以微积分的内容、思想与方法为主导，以微积分的理论体系为知识本体，以微积分理论为数学模型的所有数学类型和分支的整体．包括微积分的基本思想、精神、方法、内容、体系和应用．在微积分范式中具有典范性知识特征的学科有：数学分析（包括微分学、积分学和级数论等）、常微分和偏微分方程、微分几何、实变函数和复变函数、泛函分析、拓扑学、微分代数、黎曼几何、微分流形、微分动力系统、积分方程和非标准分析等．概括起来看，微积分的思想与知识价值主要表现在以下方面：

第一，在数学知识范式上，微积分完成了数学历史发展的一次极其重要的范式转换，即常量数学范式向变量数学范式的转换．虽然在古希腊数学中直至微积分诞生之前，已有一些变量数学的思想萌动，如古希腊著名数学家阿基米德在没有使用极限概念的情况利用穷竭法（the method of exhaustion）求出了诸如球面和球体等许多著名几何图形的面积和几何体的体积[1]．在17世纪初，卡瓦列里（F. B. Cavalieri）对不可分概念的澄清并使之成为求面积和体积的有用技术，还有费马（P. D. Fermat）设计的求多项式曲线切线的方法[2]，等等．但上述工作尚没有构成范式转换的全部必要条件．经过数代数学家的努力，特别是牛顿和莱布尼兹两位著名数学家的工作，微积分的初步知识构型得以建立．正如微积分（calculus）的另一个叫法“无穷小分析”（infinitesimal analysis）一样，微积分的思想核心是对于“无穷小”和“极限”这些新的数学概念的引入和处理．微积分的思想及方法，超越了对于数学对象的静态分析和单纯方法，并且构成了许多后续学科的知识基础．从数学的历史发展看，微积分作为整个连续数学范式的先导，是一系列后续数学知识的基础．在高等数学中，数学分析的系列知识内容都是建立在微积分的理论基础之上的，例如常（偏）微分方程、微分几何、实（复）变函数、积分方程，以及微分流型、泛函分析、拓扑学、黎曼几何，等等．

第二，微积分所开创的现代数学理论与应用体系适应了第一次工业革命的要求，解决了大量的科学、工程和技术问题，为近代文明的创立以及从近代文明走向现代文明发挥了重要的推动作用．17世纪以来，大量的科学技术与工程问题都遭遇到了理论解决方案的瓶颈，按照著名数学史家M·克莱因的研究，有4种主要类型的问题必须寻求理论上的突破．第一类是，已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离．第二类的问题是求曲线的切线．第三类问题是求函数的最大值和最小值．第四类问题是求曲线长；曲线围成的面积；曲面围成的体积；物体的重心；一个体积相当大的物体（例如行星）作用于另一物体上的引力[3]．而微积分理论的建立，为上述4类问题的解决提供了绝佳的方法．

第三，微积分作为一种新的数学语言和工具，为自然科学的发展奠定了必要的语言基础和理论模式．从更广泛的意义讲，微积分理论提供了相当一大类自然现象的定量模型．例如在偏微分方程理论中，三大类典型的偏微分方程：双曲型偏微分方程、抛物型偏微分方程、椭圆型偏微分方程分别对应着不同的自然现象．波动现象或振动现象，如声波、水波、光波、弦振动和杆振动等，可以用双曲型偏微分方程来描绘．各种传导现象，如热传导，则可以用抛物型偏微分方程来刻画．而对各种场，如静电场、磁场则可以用椭圆型偏微分方程来表示．

第四，微积分范式的局限性．一般来看，20世纪诞生的许多数学新理论表明，用连续变化的观念去对自然做出一种刻画，在许多情况下是否只是一种简单化和理想化？微积分的知识范式就假设了研究对象的许多理想属性，如连续、可微、光滑、收敛、可积等．如果对象不具有这样的属性，微积分思想方法就会出现散焦现象，即难以对这些对象进行很好地刻画．形象地说，微积分是喜欢那些可以具有连续性、可以求导、可以微分、可以积分等诸如此类的“理想”性质的函数．而对于那些不连续、不可微、发散、不可积和不收敛的对象，如大量的随机现象、模糊现象、突变现象、离散现象和混沌现象等，就显得勉为其难或无能为力了．随着对自然刻画的深化，微积分范式的局限性必须予以突破．为了更真实地描绘自然现象，就需要创造更为精致复杂的数学理论，对既有的理论模式予以超越．

2 微积分知识的内核裂变与当代数学的知识创新与超越

20世纪以来，数学的知识进步呈现出新的特征，它从单纯的知识量的积累转变为一系列具有革命性意义的知识变革．而克服微积分知识范式及其解释理论的固有局限性并予以超越也正是20世纪数学发展的一个鲜明和突出的特点．许多新的数学进展和分支都是从突破微积分的范式视阈开始的．下面以分形几何学和混沌理论等几个领域中的典范例子对相关论点予以论证．

2.1 “病态函数”的新生与分形几何学

按照微积分的知识直觉，处处连续的函数虽然可以在某些有限的点上不存在导数，但似乎不可能在其定义域内没有一个点上都是不可求导的．然而，这一似乎毫无瑕疵和理所应当的数学直觉却并不正确．推翻这一直觉的反例有很多．其中的一个例子是著名数学家魏尔斯特拉斯首先构造出来的．如下是这个处处连续、但却处处不可微的函数：

这一发现极大地震惊了数学界，因为它重度冲击了经典的微积分观念．这类具有奇特甚至怪异性质的函数曾一度被斥为“病态函数”而被主流数学所贬抑．而恰恰是这些具有似乎相当怪异性质的“病态函数”，却构成了数学新学科和新知识的生长内核．

在微积分范式下不受人待见的种种知识型中，有些开始了新的生长并逐渐硕果累累．其中最为引人瞩目的成就之一就是“分形”这一学科的创立．分形（fractal）一词，是法国数学家曼德勃罗（B. B. Mandelbrot）于20世纪70年代创造出来的，其原意是不规则、支离破碎等．起源于如何刻画自然界大量的诸如云朵、山峰、海岸线和闪电等经典微积分无法很好描述的物态和形状，曼德勃罗提出了分形几何学的基本思想，它是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学．曼德勃罗曾经为分形下过两个定义．（i）满足条件Dim()>dim()的集合，称为分形集．其中，Dim()为集合的Hausdoff维数（或分维数），dim()为其拓扑维数．一般说来，Dim()不是整数，而是分数．（ii）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形．

由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又被称为描述大自然的几何学．分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值．因为分形在所有的大小尺度下都显得相似，所以通常被认为是无限复杂的（在不严谨的用词意义下）．自然界里一定程度类似分形的事物有云朵、山脉、闪电、海岸线和雪片，等等．而著名的分形图形有皮亚诺曲线、科契雪花曲线、康托集、曼德勃罗集、朱丽叶集、谢宾斯基毯、无限二进制树等（见图1）．

图1 几种典型的分形图形

随着分形理论的诞生，人们逐渐发现了越来越多的处处连续、处处不可微的函数，如著名的魏尔斯特拉斯–曼德勃罗分形函数：

（0

图2 魏–曼分形函数的两种图形

这一函数的特点是连续，不可微，无标尺．图2显示了这一函数在两种不同取值下的图形．从中可以看出，当值逐渐变大时，图形的幅度变化加剧，呈现出更加密集的分布．

2.2 混沌理论的开创：洛伦兹吸引子与KAM定理

更广泛地看，分形是构成了更为一般的混沌理论的一个重要分支．混沌理论的开创者之一是美国麻省理工学院教授洛伦兹（E. N. Lorenz）．1963年，洛伦兹在《大气科学》杂志上发表了题为“决定性的非周期流”的文章，其中阐述了在气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着非周期性与不可预见性之间的关系．其中一个主要结论就是“随着一个小的改变非周期的解通常变得不稳定，因此初始状态的微小改变可以演化成相当不同的状态”[5]．该论文的发表被认为是一个划时代和具有里程碑意义的杰作，被科学界看作是对牛顿的古典物理学所确立的一直未受挑战的决定论的一个致命打击[6]．洛伦兹在计算机上用他建立的微分方程（被称为洛伦兹方程或洛伦兹系统）：

这里，表示对流强度；是上升气流与下降气流的温度差；表示垂直方向温度分布的非线性强度．系统参数、、分别表示普朗特数、瑞利数和与对流纵横比有关的外形比．）模拟气候变化的时候，偶然发现当输入的初始条件发生极微小的差别之后，居然会引起模拟结果的巨大变化，这一奇异的运动结果被称为“洛伦兹吸引子”．

“洛伦兹吸引子”被称为混沌的范式．“洛伦兹吸引子”具有这样几个特性：“（1）它是复杂的和混沌的，但不是双曲型的；（2）无论是从拓扑学还是遍历理论的观点，其动力学可以很好且合理地描述；（3）它承认某些双曲性质；（4）它是稳健的，任何一个洛伦兹模型的摄动会形成另一个洛伦兹模型．”[7]1972年，洛伦兹在一次讲座中曾比喻说，在南半球巴西某地一只蝴蝶翅膀的拍打所引起的微小气流，可能会在几周后演变成席卷美国得克萨斯州的一场陆龙卷[8]．这就是著名的“蝴蝶效应”（butterfly effect），是对“洛伦兹吸引子”的一个通俗解释．

与传统微积分科学所擅长处理的线性科学不同，混沌学的研究对象是非线性科学，比如非线性动力系统．“一般而言，动力学是关于时间进化过程研究的一个术语，而对应的描绘这一进化的方程组，叫做动力系统．其中，非线性系统即可以指具有一个物理存在的动力过程，也可以指这一过程模型的方程．”[9]非线性系统理论的奠基者是彭加莱、李雅普诺夫和伯克霍夫．在非线性动力系统的理论发展中，一个具有重要里程碑意义的成就是著名的KAM定理（KAM由3位数学家名字的首字母构成，由科尔莫戈诺夫提出，1960年代早期被阿诺德和莫泽所证明）．在非线性系统的研究进程中，人们开始意识到即使是一个极小的非可积摄动都会导致困难的分析问题．在KAM定理诞生之前的很长一段时间，这样一种摄动是否会即刻导致一种可积的系统混沌性是一个未解决的问题．这一问题可以更为形式化地表述为当一种非可积的摄动被添加到可积系统中后，是否存在一种平滑和即刻的从规则到混沌的运动转换（在摄动的强度下）？KAM定理回答了这个问题．KAM定理表明，在微小的摄动下规则结构的存在性，非线性系统中出现混沌具有普遍性．

混沌打破了确定性方程由初始条件严格确定系统未来运动的常规模式，会出现所谓各种“奇异吸引子”现象等．而如何从数学上研究混沌一直是数学家孜孜以求的目标．当代英国著名数学家阿迪亚写道：“孤立子和混沌是微分方程理论两个非常不同的方面，在本世纪已经成为极其重要和非常著名的研究课题．它们代表着可供选择的极端．孤立子代表非线性微分方程的不可预料但有组织的行为，而混沌代表的是不可预料且无组织的行为．”[10]与20世纪中叶之前的数学分支不同的是，混沌理论的数学表示既是独立于应用性和可观察的现象的，同时又很难与从一般科学角度研究混沌中分离开来[11]．

3 当代数学知识的迁越：走向复杂性科学与后微积分范式

“复杂性科学”是对各种显示了与传统科学范式明显不同的具有复杂性科学知识形态的多门学科的总称．尽管目前对复杂性科学尚没有完全一致的看法，但有一些观点已逐步成为学者的共识．在Springer出版社出版的复杂性丛书的前言中，对复杂系统性的定义是：“复杂系统是包含许多相互作用的部分组成的系统，这些部分具有产生宏观集群行为的新特性，这些新特性的显现是暂时的、立体的或功能型结构所自发形成的．”[12]

富特（R. Foote）曾在著名的《科学》杂志上撰文，提出了“复杂系统”（complex system）所描绘的现象、结构、集合、组织和问题所具有的4个共性：“（1）它们都是内在复杂或缠绕的；（2）它们很少被完全确定的；（3）系统的数学模型通常是复杂的并包含着非线性、不适定的（ill-posed）或混沌的行为；（4）系统易受意外结果（所谓的‘突现行为’）的影响．”[13]诸如突变理论、非线性科学（如非线性动力系统）、模糊数学、随机数学和计算复杂性等都是具有复杂性科学特征的学科．其中，复杂关联度（即与其它学科的交叉度高，难以完全析出知识的独立指标性）、内隐性（即难以完全刻画和穷尽的）和边际模糊性构成了这些学科的知识特点．

复杂性科学不是一门单一的学科，而是具有内在复杂性的一系列学科的集合．这些学科之间存在着学科对象、内容和思想方法的交叉、重叠和复杂的关联性．借助于计算机图形学，分形成为探索复杂性现象的一个有力工具，如朱丽叶集．（朱丽叶集由一个复变函数的迭代生成．在复平面上，像这样一个带有常数c的简单函数，由很简单的迭代过程，就能生成非常复杂的集，或者说具有奇异形状的分形．）

图3显示的是计算机在某些给定条件下做出的c取两种不同数值时所得到的朱丽叶集的图形．分形诞生以来，人们从不同的数学理论视角对之进行了更为深入广泛的研究．例如从度量拓扑学的角度对分形进行的研究；还有从测度论角度对分形开展的研究；进而产生了分形维度、多重分形、超级分形等概念．由此，分形被纳入了当代数学复杂的学科间性之中，并成为复杂性科学的标志性科学之一．

（左图为f(z)=z2-1的图象；右图为f(z)=z2+i）的图象[14]）

“量子混沌”研究的是在量子水平上的混沌现象．维姆伯格（S. Wimberger）在《非线性动力学与量子混沌》一书中讨论了两种定义量子混沌性的方式，一种是用半古典的强有力方法去刻画动力量子系统，第二种是从量子力学的最核心处，即量子谱及其性质出发[15]．“在一个量子系统中，如果允许以一种自洽的方式与其边界相互作用，就会出现混沌．”[16]与经典混沌运动不同，“在现实中，一个量子系统不像在经典混沌中那样轨道通常是多样的，它对初始条件的依赖并不强”[7]．

综上就可以归纳出“后微积分范式”的概念．其基本含义是在若干关节点上突破了传统微积分的理论框架，尤其是对于那些在微积分范式下被轻视或被看低的研究对象与性质（如不连续（离散）、不可导、不可积、初始条件和最终解之间的关系是渐变平衡的对象等等）予以重新认识并获得新生的理论丛和学科群的一个总体的概括．其中以混沌理论和复杂性科学为主要学科标志．在后微积分范式中，新的问题会被不断提出并激发有生命力的新学科的萌生和生长．其基本理论对各种现象的解释力要高于旧的理论体系．这些新的理论丛和学科群在数学界和科学界获得了专家系统高度和普遍的认可和好评，并与自然科学和社会科学的最新进展有着更好的亲和力．

4 后微积分范式下数学课程与教学改革的开创与前瞻

从哲学的视域看，后微积分范式是20世纪后半叶以来整体科学革命图景的一个突出的亮点．它的确立意味着自伽利略以来西方现代性科学的整体范式（即基于确定性、决定论、还原论和机械论的世界观念及其思想框架）正在遭受前所未有的挑战并逐步解体．亚瑟（W. B. Arthur）等学者认为“预测性数学”（即以微积分理论为标志的，特别是以经典的常微分与偏微分方程为基础的数学）是以一种平衡态的假设为前提的，而诸如分散化的相互作用、没有全局的控制者或原因、多重水平的组织、连续修正适应性和远离平衡态等经济特征是“预测性数学”难以描绘的[17]．而后者正是复杂性科学所着力刻画的对象和现象．

虽然复杂性科学的学科范围要大于或超出数学的理论框架，但数学对于复杂性科学等一系列新兴科学的发展无疑有一种“数学视野”的敏感性．面对相对论、量子力学、非线性科学、复杂性科学、耗散结构、自组织和协同学（上述学科之间许多是相互交叉和相互包含的）等新科学的出现和挑战，数学自然不会示弱．对此，富特的预测是：“数学与物理的发展将会深刻地超越它们的历史源头．在更大的意义上，数学自身的研究，正在不断地超越研究者‘用手’验证的能力，将会是根本的复杂系统．”[13]可以期待的是，随机过程、混沌理论、非线性科学和计算复杂性（包括生物计算、膜计算、量子计算和云计算等新的计算方法和类型）等具有复杂性科学特征的领域将成为后微积分时代数学知识的重要形态，并将对未来科学的形态和走向产生持续而深刻的影响．

在后微积分范式下，数学教育会面临怎样的机遇与挑战？事实上，20世纪后半叶以来，已经有越来越多的研究者开始重视与后微积分范式相关的课程设置和教学问题．需要指出的是，虽然后微积分范式是数学知识进步的一场革命，但它与微积分范式并不是对立的和截然分离的关系．后微积分范式是微积分范式的一种超越和突破，强调后微积分范式的价值，并不是以完全取代微积分范式为代价，微积分的知识价值和教学价值依然是不可替代的．只是后微积分范式是在原有的范式上更进一步，在观念、视角、方法和应用等维度上予以开拓，以适应科学技术创新、社会发展和教育改革的需要．具体来看，后微积分范式将会在以下几个方面对数学教育形成影响和推动力．

第一，后微积分范式将动摇并变革传统数学课程体系．

在内容上，后微积分范式具有更大的知识体量和更加兼容的知识结构．法国数学家曼德勃罗曾对传统几何学的知识形态予以诟病：“为什么几何学常被说成是冷酷和干涩的？一个原因就在于它不能描绘一朵云、一座山、一条海岸线或一棵树的形状．云朵不是球体状的，山峦不是锥体状的，海岸线不是圆形的，树皮是不光滑的，甚至闪电都不是以直线行进的．”[18]扩大对几何学内涵的认识就成为几何教学改革的先决条件．与微积分范式不同的是，后微积分范式包含了微积分但不限于微积分，是一种集大成（连续与离散、纯粹与应用）的综合数学知识体．

美国的Seidman和Rice在“熔离散数学与连续数学观念于一炉的高等数学基础教程”一文中，介绍了把离散与连续观念紧密结合的数学课程．这种课程的基本特点是，既能克服传统单一的微积分课程的不足，又没有用离散数学完全替代微积分，因为微积分的知识体系对于数学而言是必不可少的，并且能够把离散数学的基本概念和方法与微积分的概念与方法相融合，让学生能够获取更为宽阔的知识视野，显示出更为灵活和优化的数学知识结构[19]．为了更好地开展后微积分范式的教学，中外教材的比较是很重要的工作．例如中国学者对中美微积分教材进行的有益的比较[20]．

中国数学新课程标准实施以来，数学教育界对后微积分范式中的离散数学内容，予以了越来越多的关注．《全日制义务教育数学课程标准解读》中，对当代数学的许多趋势给予了描述．“近年来，在通信业中发展起一门新的科学——安全技术，包括消息认证和身份验证两个方面．消息认证是检查收到的消息是否真实的一种手段，应用十分广泛……在当今通信事业以及军事指挥中心、军事监听机构中都要有很好的消息认证系统，以使受假消息影响的程度为最小．身份验证是检验消息的来源（发信者）是否正确，或者传递的消息是否到达正确目的地（收信者）的方法．”[21]“由于计算机的广泛应用带来的信息革命，适宜于计算机作离散化处理的离散数学日益显示出其巨大的威力，并导致了在高等数学课程中微积分核心地位的动摇．”[22]

第二，在后微积分范式引导下的数学教育，将会带来许多数学观念的全新变革．例如，简单性曾被包括彭加莱在内的数学大师视为数学知识和数学美的一个典型特征[23]，而在后微积分知识中，除了简单性之外，复杂性则会成为基本的数学知识样貌．不仅如此，传统微积分理念中的许多舒适的假设都被颠覆了．例如前面谈到的魏尔斯特拉斯所构造的存在处处连续，处处不可导的函数就与微积分的直觉相违背．雪花曲线则提供了一个面积有限、周长无限的非经典图形的范例．在后微积分时代，一个重要的观念转换就是“从线性的、可逆的、可还原的动力学的数学模型向非线性的、不可逆的、功能上不可还原的复杂的动力学模型（特别是包括所有生命系统在内的复杂的适应系统）的转换”[24]．

第三，在方法论层面，后微积分范式带来数学方法论的许多变革．例如，模糊逻辑为不精确推理提供了理论基础．“这种推理又称为近似推理．近似推理引用精确推理的谓词逻辑来处理部分真命题，因此它是经典命题演绎的推广．”[25]再比如，“在离散数学中，猜测、算法、试错和计算机实验成为基本的方法，这是一个数学方法论的重大转变，具有典型的方法论革命意义”[26]．计算机辅助化成为做数学的基本方法，如阿佩尔和哈肯运用计算机对四色定理的证明，就颠覆了传统数学手工证明的观念．计算机实验也逐渐成为做数学的一种基本方式．进而，机器证明作为一种计算机与数学结合的新方法，将会对几何教学带来深刻的变革[27]．

第四，后微积分范式还将给数学建模等数学应用领域带来新的生机，在计算机与数学教学日益融合的时代更是如此．比如，在混沌理论的研究中，计算机科学就扮演着十分重要的作用．计算机对于建立非线性系统的模型十分重要．与以往数学与物理学的紧密联系不同，在混沌理论中，物理与数学模型的对应性不再是直接的，而是经过了计算和计算机模拟与实验这一中介方式．

计算复杂性是计算机科学的复杂性理论和数值计算的复杂性理论的总称．在大数据、云计算、互联网+的技术背景下，计算复杂性的思想正扮演着越来越重要的角色．计算复杂性的概念源自于图灵机（TM）在采用一种算法进行计算时的运算时间问题．有时候为了得到一个答案，即使TM运行得足够快，也仍然会出现TM会花费不切实际的运行时间的可能．比如，假如你想去参观遍布于世界各地的50个旅游目的地．并且你也知道从一个目的地到另一个目的地所需的费用．具体取决于你从哪一个地方开始，以及下一个目的地去哪里．这样，你就有50!（即50的阶乘）种旅游方案可供选择．而各种不同可能性的数目将是一个巨大的数字，50!>10025．如果计算每次旅行这50个地点所需花销的时间仅需十亿分之一秒（这已是相当快的了），那么要确定那次旅行的费用最低，将用掉不少于1025次一个人一生的时间[28]．因此，仅仅满足于算法可解性是远远不够的，还需要考虑实际可解性．这就涉及到TM所采用的计算模式以及TM运行的时间和空间．这正是计算复杂性所要考虑的问题．

第五，教学改革的可行性与渐进性．

20世纪60年代风靡西方数学教育的新数学运动之所以没有获得成功，一个原因就是在课程体系中没有充分考虑数学知识的整体性，偏于抽象数学之一隅而偏废了应用数学．而后微积分范式则体现纯粹与应用数学的统一，展现了数学的历史连续性，完整地表达了现代数学的思想观念和知识体系．后微积分知识可以在不同阶段的课程设置和教育实践中得以渐进地安排．其实，在高中数学教学中，不少后微积分的知识内容并非像天外来客那么遥不可及．如前面提到的雪花曲线的周长和面积问题，都是高中阶段知识完全可以解决的．混沌理论中的“蝴蝶效应”在数学教育圈内则是家喻户晓的文化常识．

可以期待的是，数学知识范式的演变将对数学课程的设置和数学教学产生持续深刻的革命性影响．应该指出的是，在当下，无论是大学教育阶段，还是义务教育和高中教育阶段，对后微积分范式的敏感度仍然是不够的．改革的必要性还没有被充分意识到．尤其是中国师范院校的数学课程体系，依然是微积分本位的．而以微积分为基底的大学数学知识形态，对于未来数学教师的知识准备和未来数学课程的展开而言是远远不够的．从微积分范式向后微积分范式的转换，前景可期，路程漫漫，数学教育工作者仍需努力．

[1] PAIPETIS S A, CECCARELLI M. The genius of archimedes-23 centuries of influence on mathematics, science and engineering [M]. New York: Springer, 2010: 3-7.

[2] KLEINER I. Excursions in the history of mathematics [M]. New York: Birkhäuser, 2012: 69.

[3] 克莱因．古今数学思想（第2卷）[M]．上海：上海科学技术出版社，1982：49-51．

[4] BERRY M V, LEWIS Z V. On the weierstrass-mandelbrot fractal function [J]. Mathematical and Physical Sciences, 1980, 370 (1 743): 459-484.

[5] LORENZ E N. Deterministic non-periodic flow [J]. Journal of Atmospheric Sciences, 1963, 20 (2): 130-141.

[6] AMBIKA G. Ed Lorenz: Father of the “butterfly effect” [J]. Resonance, 2015, 20 (3): 198-205.

[7] DUPLANTIER B, NONNENMACHER S, RIVASSEAU V. Chaos: Poincaré seminar 2010 [M]. New York: Birkhäuser, 2010: 46, 142.

[8] 洛伦兹E N．混沌的本质[M]．刘式达，译．北京：气象出版社，1997：171．

[9] MARINCA V, HERISANU N. Nonlinear dynamical systems in engineering [M]. New York: Springer, 2011: 1.

[10] ATIYAH M. Mathematics in the 20th Century [J].The American Mathematical Monthly, 2001, 108 (7): 654-666.

[11] EKELAND I. What is chaos theory [J]. Review (Fernand Braudel Center), 1998, 21 (2): 137-150.

[12] MAINZER K. Thinking in Complexity [M]. New York: Springer, 2007: Preface.

[13] FOOTE R. Mathematics and complex systems [J]. Science, New Series, 2007, 318 (5 849): 410-412.

[14] FASSETT J E. Eigenvalues in filled Julia sets [J]. Mathematics Magazine, 2011, 84 (3): 221-227.

[15] WIMBERGER S. Nonlinear dynamics and quantum chaos [M]. New York: Springer, 2014: 103.

[16] BLÜMEL R, MEHL J B. Quantum chaos [J]. Journal of Statistical Physics, 1992, 68 (1): 311-319.

[17] MCKELVEY B. Toward a complexity science of entrepreneurship [J]. Journal of Business Venturing, 2004, 19 (3): 313-341.

[18] EMMER M. Imagine math between culture and mathematics [M]. New York: Springer, 2012: 6.

[19] 张奠宙．国际展望：九十年代的数学教育[M]．上海：上海教育出版社，1990：59-66．

[20] 王彩芬，曹荣荣，张丽，等．中美微积分教材内容建构比较与启示——以“微分”为例[J]．数学教育学报，2021，30（4）：63-67．

[21] 教育部基础教育司．全日制义务教育数学课程标准解读（实验稿）[M]．北京：北京师范大学出版社，2002：15．

[22] 黄秦安．20世纪以来数学发展的特点及其对数学教育的意义[J]．数学教育学报，2010，19（2）：3-7．

[23] 徐利治．数学方法论[M]．大连：大连理工大学出版社，2018：218．

[24] SIEGEL H. Hooker’s revolutionary regulatory realism [J]. Study in History and Philosophy of Science, 1998, 29 (1): 129-141.

[25] TIMOTHY J R．模糊逻辑及其工程应用[M]．钱同惠，译．北京：电子工业出版社，2001：163-164．

[26] 黄秦安．“离散数学”的范式革命及其意义[J]．科学学研究，2019，37（2）：228-234．

[27] 张景中，彭翕成，邹宇．几何机器明证引发的思考[J]．数学教育学报，2020，29（1）：1-5．

[28] SINGH A. Elements of computation theory [M]. New York: Springer, 2009: 327.

Kernel Fission of Calculus and the Significance of Mathematics Education of “Post-Calculus Paradigm”

HUANG Qin-an

(School of Mathematics and Statistics, Shaanxi Normal University, Shaanxi Xi’an 710119, China)

Calculus theory, as one of the great knowledge creations in human history, has been regarded as a powerful mathematical language and model to describe the universe and natural operation for a long period of time since its birth. Since the 20th century, as a typical revolutionary knowledge innovation, a variety of emerging disciplines such as fractal geometry, chaos theory and complexity science have emerged. These important mathematical branches constituted the mainstream of mathematics knowledge form in the post-calculus era and condense into a new paradigm-“post-calculus paradigm”. As a kernel fission of the calculus paradigm, it realizes the subversion, breakthrough and transition of the original paradigm, and has the remarkable characteristics of contemporary scientific revolution such as uncertainty, chaos and complexity. “Post-calculus paradigm” has already constituted an important part and necessary content of college mathematics curriculum, and it will also become the basic content of mathematics curriculum in high school and even compulsory education in the future. Therefore, the significance of “post calculus paradigm” in mathematics education and the topic of how to use the post calculus paradigm to carry out teaching need to be fully demonstrated and paid attention to.

calculus; kernel fission; post calculus paradigm; chaos theory; complexity sciences; mathematics curriculum

G640

A

1004–9894（2022）01–00013–06

黄秦安．微积分的内核裂变与“后微积分范式”的数学教育价值[J]．数学教育学报，2022，31（1）：13-18．

2021–10–21

中央高校基本科研业务费专项资金资助——数学定理背后的发现细节及心理学解析（GK202105007）

黄秦安（1962—），男，陕西西安人，教授，博士生导师，主要从事数学教育、数学教育哲学和数学文化研究．

[责任编校：周学智、张楠]