作业育人：实践与理论的对话

2022-02-12刘晓萍陈六一

教育科学论坛 2022年5期

■刘晓萍，陈六一

一、现实之困

（一）内涵界定含糊

作业反映着教的有效性与学的水平层次，影响着育人目标的达成，所以从世界范围来看，作业都是各国课程改革的关键词之一。但如何恰当地定位作业，国内外表述不一（见表1），国内的界定也多为经验性表达（见表2）。国内的关注点多是课本内容学习的延伸，需要个人付出努力；国外的关注点多是生活性作业，有个人的独立思考，不少时候需要团队一起成长。

表1 国内外对作业的表述

表2 国内对作业的经验性表达

（二）观念二元对立

接受课外作业对于一线老师、教育研究者都是一个难题，他们的观点非常明确，却又泾渭分明。

基金项目：苏州市姑苏教育人才基金资助项目“诗意数学课堂实践与研究”（项目编号：RCZZ202116）阶段性成果

反对的观点：

（1）课堂上边讲边练，不布置家庭作业更有利于成绩提升[5]。

（2）重复的操练让学习者身心疲惫，对学科失去兴趣。

（3）虽然作业可以提升家长、学校、教师的参与度，但也是他们之间的冲突所在。

（4）干扰了其他兴趣爱好。

（5）不受监控的作业容易形成表层学习。

支持的理由：

（1）数学作业促进了学生对数学内容、数学思想方法丰富性的理解。

（2）培养了学生自律性与时间管理能力。

（3）满足了家长、政府、公众对学校的期望。

（4）能提高学生的学业成绩。

尽管双方都拿不出权威的、普遍接受的论证数据，但以上所有对立的观念都值得认真对待，因为被反对可以让我们反思作业设计的策略是否得当、作业的实施与评估是否因时因人；更重要的是作业承载着育人的拓展价值：对学科的持久热爱与学科核心素养的积淀。为此，我们研究的着力方向是小学数学课后作业，试图平衡以上二元对立的观念，让数学课后作业成为小学生发现自我、发现数学的载体，进而学会用数学的思维、数学的语言思考并表达现实世界。

二、实践重塑

（一）作业即或同化或顺应

按照皮亚杰“结构与智力发生理论”，儿童的智力结构是在“平衡—不平衡—平衡”的过程中，获得了最终发展；而平衡是指同化与顺应两者的平衡[6]。所谓同化，就是把外界元素整合于一个具体的已经形成的结构当中；所谓顺应，就是同化的图示或结构受到同化元素的影响而发生的改变。进一步来说，同化在数学学习上其主要标志就是把新的、未知的，想办法纳入或联结到旧的、已知的结构中去；而顺应则是同化的对立面，新的、未知的与已有的结构发生了冲突，需要改变原来的结构，让新的、旧的融于一个新的可以解释的结构中。于是在课后作业中，我们尝试让学生将数学问题不断往两个方向深入，一方面，在同化中往后退，退到越基础越好，以此领悟数学的本质；一方面，在顺应中往前走，走到利用数学的一致性，不断产生新方法、新思想，以此感悟数学的自由。

1.在同化中往后退

作业样例1：（常熟市报慈小学六年级）测量学校百年红豆树有多高？

设计思考：人们经常需要知道一棵大树、一根旗杆、一个高大建筑物有多高，但又无法直接测量，其原因或是不能登上物体的最高点，或是测量工具太短。如果通过间接测量，发现杆长与影长成正比例关系，则可算出物体的高度。而这，需要学生将正比例的知识退到以下图示当中:解比例、比、倍数、比较、测量。在退的过程中，学生能逐渐懂得现实测量工具不好完成的测量任务，需要借助思想测量，即数学运算；而算出所求高度其实依靠的是比与倍数关系，即先算出参照物实际高度是其影子长的倍数（或者比值），这样利用测出的所求物的影子长反推出所求物的高度；但不管怎样退，其起点是长短的比较，及利用工具测量线段的长短。经过这样的实际探索与思考，学生能认识到今天测量红豆树的高度，只不过是更智慧地利用昨天的测量工具，而且让学生感受数学是解释未知更为理想的手段。

设计启示：显然，解决“测量红豆树有多高”这类的课后作业，可以帮助学生形成结构化数学，但布鲁纳也说：“习得结构，就是学习事物是怎样互相关联的。”所以，如果有一类知识，能将更多的数学概念关联起来，那就能极大地促使学生形成数学的整体观。不妨将这样的知识称为核心知识，一旦以核心知识作为作业设计的基点，无疑利于学生将所学经验迁移到新的事例（见图1），而且这也符合格式塔学习理论中的顿悟观点：若要帮助孩子领悟学习内容，教育者就应为他们创设一些必要的环境，让孩子在环境中分析问题、发现联系、重组事件。

图1 依据同化理论设计作业的思考

2.在顺应中向前走

课后作业样例2：（张家港市沙洲小学二年级）征集与分享学生、家长、老师感兴趣的关于时间的话题后，让学生自主设计不同形式的“认识时、分、秒”。

设计思考：常见的人民币单位元、角、分是十进制，长度单位米、分米、厘米也是十进，而时分秒则是六十进制，打破了学生关于单位进率的既定图示，就需要扩充学生的认知结构，但是学习的过程如果充满着无理由的规定，学生就会渐渐失去对数学的兴趣；如果能让学生持有对数学不同的长久好奇，则能激发学生更深刻地理解数学，并在数学史、数学精神的营养中，帮助学生于顺应中改变数学结构，保持数学结构的弹性，也能让学生感悟数学发展进程。

设计启示：学生完成“制作钟面”“体验时间”和“时分秒知识梳理”，在解钟面的结构，感受钟面计时的原理、方法中夯实了基础知识与基本技能；在完成“只有北京时间吗？ ”“计时工具发展史”“动手测时间”“一天的作息计划”“其他时间单位”中，学生感受到数学源于实际生活的需要，数学为工具的制作提供了方法，同时解决工具的局限性在于大脑（如图2）。为此，人们要不断改变时间单位的定义：从1 秒是平均太阳日的1/86,400，终止于1 秒是铯-133 原子基态的两个超精细能级间跃迁对应辐射的9,192,631,770 个周期，人类开始进入原子时间时代。由此可以发现，设计一些认知失衡的作业，不强调数学概念的强制规定性，而是从失衡处起步，让学生不断走远，学生将欣赏到数学思维冒险带来的意料之中与预料之外。

图2 学生对时、分、秒的研究

（二）作业即数学再创造

弗赖登塔尔认为数学教育的核心是“数学再创造”，即学生在学习活动中通过自己的实践与思考，发现或者发明出已有的数学原理[6]。当“数学再创造”贯穿于数学教育的全过程，学生便能通过组合先前已知的概念来建构有意义的新概念，或发现数学事实之间不曾知晓的关系，也就实现了大数学家庞加莱的“创造是选择”的隐喻[6]，与波利亚所说的“换一种方式去看它”[6]。

1.诞生精彩观念

课后作业样例3：（常熟市常欣小学五年级）体验100 平方米（如图3）、1 公顷（如图4）、1 平方千米（如图5）有多大。

图3 体验100 平方米

图4 体验1 公顷

图5 体验1 平方千米

设计思考：首先，平方厘米、平方分米、平方米的进率是以100 倍的方式扩大，而平方米的教学之后，教材让学生认识的是公顷，公顷与平方米的进率是10000，这样一来打破了进率的一致性，学生必然在平方米与公顷间失衡，所以务必要通过建构100 平方米（其实100 平方米是用公亩命名的），让学生发现数学不但讲道理，而且道理始终如一。其次，和认识平方厘米、平方分米、平方米的“看一看”“摸一摸”“找一找”“比一比” 等直接的具身体验不同，“100 平方米（公亩）”“公顷”和“平方千米”很难在课堂上直接体验，而且生活中大多数学生缺少相关的经验积累，需要借助“长度”“时间”作为抓手进行间接体验。这也符合格式塔心理学家的观察：真正的学习常常会伴随着一种兴奋感，学习者了解到数学概念之间有意义的关系、内在的结构，会诞生精彩的观念。

设计启示：学生通过完成作业，发现了面积单位的真相，创造了属于自己的观点：其一，1 平方厘米就是边长1 厘米的正方形，1 平方分米就是边长1 分米的正方形，1 平方米就是边长1 米为单位的正方形，自然推理出它们之间的进率，照这样，也能自然创造出新的更大的面积单位，其方式就是在头脑中构造以边长为10 米的正方形（公亩）、为100米的正方形（公顷）、为1000 米的正方形（平方千米）；其二，边长为10 米的正方形其面积自然是100 平方米，但是100 平方米不只是正方形，还可以探索出100 平方米的其他形状……当把细节放在整体之中，学生也会通过放大细节，考量细节与整体的联系，从而真正理解数学的上位概念与下位概念。

2.看见自己的成长

课后作业样例4：（姑苏区沧浪新城第二实验小学四年级）根据给定条件制作年历（如图6）、制作平年与闰年的游戏器具（如图7）、制作普通计时法与24 时计时法的转化学具（如图8）。

图6 学生制作年历

图7 学生制作平年与闰年的游戏器具

图8 学生制作平计时法转换器具

设计思考：老师依次给出年份的1月1日是星期几，一年的最后一天是星期几，某个季度的第几天是星期几，让学生根据所给条件制作年历，学生不仅要熟练掌握年月日的知识与联系，更锻炼了学生的推理素养。平年和闰年的判断对于有些学生是很难的，但学生在制作小卡片与scratch 游戏，将陈述性的判断方法转化成程序性理解。制作普通计时法和24 时计时法的互相转化学具，学生有的在原有的钟面上做简单的加工，有的制成时间尺，都更好地领会了转换原理。制作年历、学具等，学生能显性地看见自己的动手成果，更重要的是学生通过推理演算、理解转化原理，会发现这一切都需要数学思考，从而在数学思考帮助动手达成的认识中，洞察作业即作品。

设计启示：数学离不开计算，小学生甚至将数学窄化到数学就是计算，但他们大多对计算又没有好感，因为一般计算就是反复练、练反复，从而连带着他们对数学也没有好感。而如果学生感受到计算不停留于书面操练，数学计算是为了生成作品，进而解释现象、服务生活，学生会明白算不仅是“技术”，还是“运筹”。这样，学生便在计算的需要中切实掌握计算的方法，便在计算阐释真相中发现了自己实实在在的成长，实现了计算创造新生活。

（三）作业即完整的发展

数学教学追求“不同的人在数学上得到不同的发展”[7]，但这不是直接将学生分成三六九层，然后根据相应的层级进行教学行为，而是要通过数学任务，观察其思维水平就某一个具体的问题解决处在哪个水平等级，进而引导学生寻找努力的方向，逐级而上。而且在向上的努力中，学生不但调动着智力，也发展着情绪、态度、价值观，使得学生在完成作业的过程中，实现全面的、完整的进步。

课后作业样例5：（工业园区第二实验小学一至六年级）节水、惜水、爱水，从我做起。（如表3）

表3 一至六年级节水惜水爱水的作业任务

设计思考：孩子们在日常生活中发现水龙头没有拧紧，水就会一滴一滴往下流，不禁思考：一个没有拧紧的水龙头一分钟会浪费多少滴水呢？一天会浪费多少？一年会浪费多少？一年浪费的水要支付多少钱？全国14 亿人呢？带着这样的疑问，孩子们在家长的帮助下用数学实验的方法解开谜团，通过互联网，参观自来水厂取水口、清水池、滤池，再设计3D 模型、组装过滤式净水器……作业的逐步完成，同学们不仅可以收获数学知识，也初步体验数学的严谨性与广泛的应用性，真实地理解水资源的宝贵和珍惜、保护水资源的必要。作业的最终完成，既发展了大脑，用智力挑战数学困难；也发展了心灵，用善与真挑战不端举止。

设计启示：样例5 以主题为载体进行超级链接，将相关联的内容串成链、织成网，由线到面再到体地编织学生自己的数学系统和经验系统，不断地促使学生对生活现象进行数学思考，而且这一思考就是六年，伴随着学生整个小学阶段，学生每年都会研究同一主题，每年又都超越往年，思考的广度、深度都在增加。的确，数学学习需要“快思”，需要快速得出正确答案，也反映着思维的敏捷性；但数学学习也需要“慢想”，学生经历了困顿、失败，有时还伴随着放弃、不甘心、从头再来，会帮助学生在迎接新的陌生数学任务的时候，有从容的心态，有多种尝试的可能性。

三、价值追问

数学课后作业到底能给学生带来什么？在反思皮亚杰、弗赖登塔尔的观点，以至与他们关系密切的建构主义、再创造、格式塔等学习理论，对课后作业的指导性、预见性外，也可以发现数学作业恰好注释着这些理论。换句话说，我们的作业实践检验着理论的真伪，我们的实践作业丰富着理论的内涵。为此，可以消弭二元对立的声音，因为作业让学生真实发展着，作业开拓了育人的路径。

（一）理性的典范

为什么结论是正确的？为什么得到这样的结果？为什么数学家按照这种方法思考？能否进一步抽象概括？还有其他性质吗？在数学课堂之外，学生心中始终存在这些问题，而这些问题，非理性无以回答。更何况，数学学习并非是一个连续的过程，它涉及知识的重组，甚至要与以前的经验和思考方式决裂，而这些也只有通过理性反思才能解决。

如同以上样例中的问题解决，学生解题是为了学习数学地思考，其经历的头脑风暴和讨论，是对建构主义学习理论的回应：数学学习不是对已有知识的简单被动接受，而是依据其已有的知识和思维经验所做的主动建构。学生建构数学概念、数量关系、空间观念，更进一步理解了数学的统一性、阶段性、整体性、抽象性，更进一步在数学思想方法、数学活动经验中积淀理性精神。