带变动偏序结构的集优化问题的适定性

熊佳琪，王三华李秋英

(南昌大学a.数学系,江西 南昌 330031;b.科学技术学院,江西 共青城 332020)

1 引言与研究背景

集优化由Kuroiwa[1]于1997年首次提出，它以目标函数的每个像集(集合)作为处理对象，通过像集间的优劣比较来获得最优解。集优化是向量优化研究的深入与发展，它为研究和处理模糊优化、向量优化、随机优化、鲁棒优化以及变分包含等问题提供了简洁且统一的框架，并逐步被应用于运筹学、经济学、管理学等诸多学科领域，受到极大关注。经过不断发展，目前，集优化的研究在最优性条件、对偶理论、标量化、适定性、稳定性、Ekeland变分原理等方面都取得了很好的进展(参见[2-8]及其参考文献)。

另一方面，在大量决策问题中，时间是一个不可忽视的因素。于是，由于时空的改变，决策者的“偏好”随时间变化而不同。为了处理这类问题，研究者们引入了变动偏好结构(控制结构)，得到带变动偏序结构的向量优化问题。由于应用前景广泛，这类问题受到极大关注并得到了很好发展，产生了丰富的理论和应用研究结果(参见专著[9]及其参考文献)。2016年，Eichfelder和Pilecka[10-11]还把变动偏序结构引入到集优化，给出了最优解概念及其相互关系等基础研究成果。本文将进一步把变动偏序结构引入到集优化的适定性问题，讨论其Levitin-Polyak(简写为LP)适定性及广义LP适定性的充分性条件与刻画。据我们所知，之前还没有这方面的成果报道。

2 预备知识

设X，Y是实赋范线性空间，M是X中的非空子集。记2Y={A⊆Y:A≠∅}。再设F:X→2Y是一个集值映射。考虑集优化问题：

为了给出(SOP)最优解的概念，我们先引入序关系。

若C⊆Y是闭凸点锥，则C能诱导Y上的偏序：x≤yiffy-x∈C,x,y∈Y。

2016年，Eichfelder和Pilecka([10])利用变动锥，定义了变动序关系。

定义2.1设C,P:Y→2Y是集值映射，使得∀y∈Y,C(y),P(y)是闭凸点锥。称C,P为变动偏序(控制)结构。在Y中定义两种不同的变动序关系：

(2.1)

(2.2)

注2.1(ⅰ)一般来说，这两种变动序关系并不是前序，从而也不是偏序；(ⅱ)变动序关系(2.1)反映了控制思维，而变动序关系(2.2)体现了偏好想法。详见文献[10]。

进一步，Eichfelder和Pilecka([10])又给出了集合的变动序关系。

定义2.2设C,P如定义定义2.1所述。在Y中定义关于集合的两种变动序关系:A,B∈2Y，

A≤CB⟺(∀a∈A,∃b∈B:a≤Cb)⟺∀a∈A:B∩(a+C(a))≠∅

(2.3)

(2.4)

注2.2若∀a∈Y,C(a)=P(a)=C(C⊆Y是一固定的闭凸点锥)，那么上述关于集合的两种变动序关系(2.3)与(2.4)相同，且均退化为文献[1]中由固定锥所定义的序关系。

利用变动序关系，我们给出(SOP)在变动偏序结构下的最优解概念。

接下来，我们给出文中要用到的一些基本概念和已知结论。

定义2.4[12]设X,Y是两个拓扑空间，称映射F:X→2Y

(ⅰ)在x0∈X点是上半连续的(简写为u.s.c.)，如果对每一开集V且F(x0)⊆V，存在x0的邻域U(x0)，使得F(x)⊆V,∀x∈U(x0)；

(ⅱ)在x0∈X点是下半连续的(简写l.s.c.)，如果对每一个开集V且F(x0)∩V≠∅，存在x0的邻域U(x0)，使得F(x)∩V≠∅，∀x∈U(x0)；

(ⅲ)在X上是u.s.c.(相应地，l.s.c.)的，如果F在X上的每一点是u.s.c.(相应地，l.s.c.)的。

引理2.1[13]设X,Y是两个拓扑空间，F:X→2Y是一集值映射。给定x0∈X。

(ⅰ)如果F(x0)是紧集，则F在x0是u.s.c.的当且仅当，对任意的网{xα}⊆X且xα→x0和任意的网{yα}且yα∈F(xα)，存在某个y0∈F(x0)以及网{yα}的某子网{yβ}，使得yβ→y0；

(ⅱ)F在x0∈X点是l.s.c.的当且仅当，对任意的y0∈F(x0)和任意的网{xα}且xα→x0，存在网{yα}，使得yα∈F(xα)且yα→y0。

定义2.5[14]设X是一Hausdorff拓扑线性空间，Y是一实赋范线性空间，BY是Y中的闭单位球。设C：X→2Y是一锥值映射，即∀x∈X，C(x)是Y中的锥。称映射C

(ⅰ)在x0∈X点为无限上连续(简记为c.u.c.)，如果映射x→C(x)∩BY在x0点为u.s.c.；

(ⅱ)在X上为c.u.c.，如果它在X上的每一点为c.u.c.。

注2.3易知，C在x0∈X点为c.u.c.当且仅当-C在x0点为c.u.c.。

引理2.2[14]C在x0∈X点为c.u.c.的充要条件是，对任意有界闭集B⊆Y，映射x→C(x)∩B在x0点是u.s.c.的。

定义2.6[15]设(E,d)是度量空间。集合A,B⊆E的Hausdorff距离定义为

H(A,B):=max{h(A,B),h(B,A)}，

定义2.7[15]设(E,d)是完备的度量空间。集合A⊆E的Kuratowski非紧性测度定义为

这里diam(Ai)表示集合(Ai)的直径，其定义为diam(Ai)=sup{d(x1,x2):x1,x2∈Ai}。

引理2.3[16]下述结论成立：

(ⅰ)若A是紧集，则μ(A)=0；

(ⅱ)若A⊆B，则μ(A)≤μ(B)；

(ⅲ)若{An}是E中的一列非空闭集，满足An+1⊆An且μ(An)→0(n→∞)，那么集合A:=∩n∈An是非空紧集且H(An,A)→0(n→∞)。

3 主要结果

本节，我们将讨论(SOP)在变动偏序结构下的LP适定性与广义LP适定性。

除特别说明外，本节始终假设X,Y是实赋范线性空间，M是X中的非空闭子集。再设F:X→2Y是一集值映射，C,P:Y→2Y是锥值映射，满足∀y∈Y,C(y),P(y)是闭凸点锥。∀ε>0，用B+(0,ε)表示中的闭区间[0,ε]。为了讨论方便，令并假设集合均非空。任取给定和

定义3.1称点列{xn}⊆X为(SOP)

为了方便，我们定义近似解集如下：∀ε→0,

我们先讨论(SOP)关于变动偏序结构C的LP适定性和广义LP适定性。

命题3.1下列结论成立：

(ⅰ)SC=∪z∈SCSC(z,0);

证明(ⅰ)若x∈SC,则由序关系≤C的自反性，可知x∈SC(x,0)⊆∪z∈SCSC(z,0)。故SC⊆∪z∈SCSC(z,0)。进一步，若x∈∪z∈SCSC(z,0)，则存在z∈SC，使得x∈SC(z,0)。于是x∈M且F(x)≤CF(z)。∀u∈M，若F(u)≤CF(x)，则由序关系≤C的传递性，知F(u)≤CF(z)。又z∈SC，故F(z)≤CF(u)。再次利用序关系≤C的传递性，知F(x)≤CF(u)。这说明x∈SC，因而∪z∈SCSC(z,0)⊆SC。

注意到0≤ε1≤ε2，有d(x,M)≤ε2，且B+(0,ε1)e1⊆B+(0,ε2)e1。于是

(3.1)

(3.2)

(3.3)

对上述0点的开邻域V0，存在r0>0，使得Br0⊆V0，这里Br0表示Y中以0点为中心，r0为半径的闭球。进而，存在ε0>0，使得∀ε∈(0,ε0)，B+(0,ε)e1⊆Br0。于是，∀ε∈(0,ε0)，有

定理3.1设M是紧集。若下列条件成立

(ⅱ)C在Y上是c.u.c.的。

(3.4)

(3.5)

我们断言

(3.6)

(3.7)

对上述V0，因为C在Y上是c.u.c.的且εn→0，yn→y0，故存在n0∈N+，使得∀n≥n0，

C(yn)∩G⊆C(y0)∩G+V0，

结合(3.7)式，可得

下面，我们用非紧性测度来刻画(SOP)关于变动偏序结构C的广义LP适定性。

定理3.2设X是实Banach空间，M是X中的紧子集。若下列条件成立

C在Y上是c.u.c.的。

由此可知，为证结论成立，我们只需证明

(3.8)

事实上，假若(3.8)式不成立，则存在实数r>0，数列{εn}⊆+，εn→0以及序列使得于是

(3.9)

例3.1设X=，M=[1,8]⊆X。又设Y=2，BY为Y中的闭单位球。令-=(-∞,0]。对任意的y=(y1,y2)∈Y，令

这里cone(A)表示集合A的锥包。再定义集值映射F:X→2Y

接下来,我们再讨论(SOP)关于变动偏序结构P的LP适定性和广义LP适定性。

命题3.2下列结论成立：

(ⅰ)SP=∪z∈SPSP(z,0)；

证明(ⅰ)和(ⅱ)的证明过程类似于命题3.1中对应的(ⅰ)和(ⅱ)。

(3.10)

[u-y+Vy]∩[-P(y)∩B+Vy]=∅

(3.11)

(3.12)

最后一个包含关系用到了集合Vyi的平衡性。又

故由(3.12)式，有-P(z)∩B⊆-P(yi)∩B+Vyi。结合(3.11)式，得u-z∉-P(z)∩B。而

注3.2通过比较命题3.1和命题3.2的证明过程，可以看出序关系≤P比序关系≤C更难处理。

F(x0)≤PK，即F(x0)⊆∪z∈K(z-P(z))

(3.13)

因此，还需证明(3.13)式成立。事实上，假若不成立，则存在u0∈F(x0)，使得∀z∈K,u0∉z-P(z)，即u0-z∉-P(z)。对上述的u0∈F(x0)，由F在X上的l.s.c.性以及引理2.1(ⅱ)知，存在点列{un}⊆X，使得un∈F(xn)且un→u0。对任意给定的z∈K，令B=u0-K+BY，其中BY为Y中的闭单位球，则B是Y中的有界闭集且u0-z∉-P(z)∩B。由分离性质知，存在0点的平衡邻域Vz⊆Y，使得

[u0-z+Vz]∩[-P(z)∩B+Vz]=∅

(3.14)

(3.15)

若ε=0，则由d(x0,M)≤ε及M的闭性，知x0∈M。从而由命题3.3的证明可知：

定理3.4设M是紧集。若下列条件成立

(ⅱ)P在Y上是c.u.c.的。

最后，按照定理3.1所对应的剩余部分证明即可得结论。

分别仿照定理3.2和3.3的证明那样讨论，我们还可得到(SOP)关于变动偏序结构P的LP适定性及广义LP适定性的刻画。

定理3.5设X是实Banach空间，M是X中的紧子集。若下列条件成立

(ⅱ)P在Y上是c.u.c.的。