多约束条件极值下Lagrange函数的构造详析

◎刘 倩 张冬燕 鲁志波

(信息工程大学基础部，郑州 450001)

1 引 言

数学分析教材[2]类比地给出了更一般的结论.考虑目标函数f(x1,x2,…,xn)在m个约束条件

gi(x1,x2,…,xn)=0(i=1,2,…,m;m

(1)

下的极值，f,gi(i=1,2,…,m)均关于x1,x2,…xn具有连续偏导数，且gi(x1,x2,…,xn)=0(i=1,2,…,m;m

rank(J)=m.

(2)

在满足上述条件的基础上，则有

在此基础上构造Lagrange函数

使得L(x1,x2,…,xn,λ1,λ2,…,λn)关于各变量的一阶偏导数为0的点即为可能的极值点.

下面我们将从代数上证明目标函数在多个约束条件下的条件极值的必要条件，并由此构造出相应约束条件下的Lagrange函数.

2 主要推导过程

设目标函数y=f(x1,x2,…,xn)及gi(x1,x2,…,xn)(i=1,2,…,m)关于x1,x2,…,xn具有连续偏导数，且满足条件(2)，则由隐函数存在定理可知，由m个约束条件gi(x1,x2,…,xn)=0(i=1,2,…,m)组成的方程组确定了m个隐函数：

xi=hi(xm+1,xm+2,…,xn)(i=1,2,…,m).

(3)

则y=f(x1,x2,…,xn)=f(h1(xm+1,…,xn),h2(xm+1,…,xn),…,hm(xm+1,…,xn),hn(xm+1,…,xn)).问题变为求解y=f(h1(xm+1,…,xn),h2(xm+1,…,xn),…,hm(xm+1,…,xn),hn(xm+1,…,xn))关于自变量xm+1,…,xn的无条件极值.

根据多元函数无条件极值的必要条件[2]

(4)

可知使得y=f(h1(xm+1,…,xn),h2(xm+1,…,xn),…,hm(xm+1,…,xn),hn(xm+1,…,xn))取得极值的点(xm+1,…,xn)满足

(5)

将(3)代入(1)中，得

(6)

(i=m+1,…,n,j=1,…,m).

(7)

上述方程均可以行列式形式给出，第一个方程的行列式表示如下所示，其他可同理表示.

(8)

将(8)按照第一列展开得

令

(9)

则第一个方程可表示为

此时其他方程可表示为

⋮

(10)

接下来对(9)进行整理，先处理第一个式子，将其写成

(11)

将左端行列式的第i行乘以-λi(i=2,3,…,m)，加到第一行上，再由行列式的运算法则可得

对(11)中第二个式子进行同样处理，将左端行列式的第i行乘以-λi(i=1,3,…,m)，加到第二行上，可得

(12)

⋮

(13)

至此，方程组(13)和(10)组成了一个完整的方程组，其向量表示即为 ∇f=λ1∇g1+λ2∇g2+…+λm∇gm.

3 结 语