学生数学问题提出能力的培养策略——以“等比数列”教学为例

◎王菁菁 汤 强

(西华师范大学数学与信息学院，四川 南充 637000)

一、问题提出

2017年颁布的《普通高中数学课程标准》提出六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模，直观想象、数学运算、数据分析，旨在引导学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界.换而言之，便是要引导学生从数学的角度提出有价值的问题，通过提问促进思考，通过思考促进理解，通过理解加深应用.在“知网”查询与学生数学问题提出有关的期刊、文献和硕士论文，我们可以发现学生提出数学问题的能力直接影响其对数学知识的理解以及学习数学的兴趣，最终影响数学知识的掌握和运用.

将现有研究进行总结，往往涉及以下四个方面：第一，注重从学生自身出发，找到影响学生问题提出能力的因素，再提出相应的策略，比如，向兴等学者便通过调查问卷研究非智力因素对学生问题提出能力的影响[1]，安徽师大丁亚元从元认知训练入手进行实证研究[2]，有的学者研究创造性人格对问题提出能力的影响，逻辑推理能力和问题提出能力的关系，逆向思维对问题提出能力的影响等.第二，从数学问题提出和解决之间的关系入手.第三，从问题提出能力的评价体系入手.洪清玉等学者将测评模型分为三部分内容，分别是问题的本质特征、问题的数学特征、问题的语言特征，具有一定的灵活性和操作性[3].第四，从培养策略入手，通过具体的教学方式或者教学环节，如问题—情境研究，翻转课堂等.

通过上述整理分析我们知道，学生问题提出能力的发展除了依靠个人外，还十分依赖教师的引导，教师的教学会潜移默化地对学生思维和能力产生影响.因此，本文立足于高中教学内容：等比数列，从以下几个角度提出培养学生数学问题提出能力的策略以及有关的建议，希望教师在培养学生问题提出能力的时候，有方向可寻.

二、培养学生数学问题提出能力的策略

在教学过程中,如何选择合适的方式或者策略引导学生提出问题，将直接影响学生问题提出能力的培养方向，因此，教师在备课时，要仔细研究课标、教材，提前准备好相应的教学设计，注重预设性和生成性，仔细研究与打磨每个提问环节.在教学的引入环节要借助情境，但不能仅依靠情境，不能为了情境而创设假情境；在形成概念的环节，要通过问题链，一步步诱导学生得出概念，并对初步形成的概念提出疑问，进而完善概念；在练习巩固环节，要立足基础知识和基本技能，引导学生对问题进行变式；在教学反思中，要在现有基础上不断改进教学方式，不断完善提问方式.另外，在教学的整个环节中，教师要注重师生平等交流，使学生不害怕犯错，不担心提出的问题被忽略，进而合理地把控教学进度.

1.培养学生问题提出能力的“源泉”：创设适宜的问题情境

虽然数学源于生活，但在数学概念的形成过程中，已经舍去了非本质属性，保留了其本质属性.[4]因此，不少学生对学习数学感到害怕.弗赖登塔尔曾说过：“数学源于现实，寓于现实，用于现实.”数学教学要注重两个现实，分别是学生的现实和数学现实.创设合适的问题情境不仅可以建立两个现实的联系，而且可以激发学生的问题意识[5].

在“等比数列的前n项和公式”一课中，教师创设如下情境：象棋发明者在第1个格子上放1枚麦粒，在第2个格子上放2枚麦粒，在第3个格子上放4枚麦粒，以此类推……[6]教材中将64个格子上放的麦粒总数和国王现有的总麦粒数进行对比，体现数字的庞大.其实，类似于这种指数增长模型，学生在必修1的学习中已经深有体会，教材将问题直接抛出来，虽然引出了本节课的课题，却忽略了学生发现和提出问题的能力.因此，教师在本节内容情境创设时，可以这样设计：在第1个格子上放1枚麦粒，在第2个格子上放2枚麦粒，在第3个格子上放4枚麦粒，以此类推……[5]你能提出什么问题？你能够解决吗？有的学生可能想到：第8个格子上有多少枚麦粒？有的学生可能想到：第50个格子上总共有多少枚麦粒？对于第一个问题，可以通过等比数列的通项公式进行求解，这有利于巩固上节课所学的知识.对于第二个问题，教师可以引导学生观察思考，并动手操作，找出项与项之间的联系，从而引入本节课的课题.学生提出数学问题，再将该问题解决，不仅能够体会成功的快乐，还能唤醒学生的问题意识.

2.培养学生问题提出能力的“前提”：教师有问题意识，注重提问深度和广度

学生的能力和思维的发展主要是在学校进行培养的，尤其是数学思维和数学能力.因此要培养学生的问题提出能力，教师就要有问题意识，意识到问题提出的重要性，并要了解学生的认知水平，将教材中的数学内容进行“再创造”，多想想：该方法如何让学生想到？如何让学生“再发现”？学生能够提出哪些问题？这些问题之间有何联系？需要哪些知识和方法才能解决？如何进行引导从而体现本节课的重点，突破难点？

在“等比数列前n项和公式”一课中，学生在求解自己提出的数学问题时，如：第8个格子上有多少枚麦粒？该问题可以通过一步一步计算解决，但对于问题：第50个格子上有多少枚麦粒时，如果一步一步计算，可见计算量之大，S50=1+2+22+23+24+…+250，观察式子中每项的特点，发现依次相差了一个公比2，从而有的学生会想到能不能每项都乘2，也就是能不能等式左右两边都乘2，从而得到这种具体的等比数列求前n项和的方法：

S50=1+2+22+23+24+…+250，

2S50=2+22+23+24+…+250+251，

(1-2)S50=1-251，

S50=251-1.

教师提问：这种方法具有一般性吗？对于一般的等比数列该如何求解？等式左右两边乘q的实质是什么？可以乘q2或者q3吗？还有其他方法吗？通过问题串，引导学生思考错位相减法的本质，使其体会数学中的简洁美.问题串的提出可以促进学生思考，给学生提供思考的方向，但也对教师提出了高要求，即要提出具有层次性，具有深度和内涵的数学问题，因此，教师必须加强数学专业知识和数学教学教法的学习.

3.培养学生问题提出能力的“手段”：提倡变式教学，注重一题多解

改变原问题的条件或者结论，引导学生进行变式练习，不仅有利于学生掌握知识，而且有利于开拓学生的思维.一题多解的过程可以使学生从多个角度进行考虑，避免思维定式，有利于发展思维的发散性，同时，学生还需要思考：有没有其他解法？哪种方法更简便？哪种方法更具有一般性?如果改变问题的条件，该结论成立吗？

在“等比数列前n项公式”一课中有这样一道课后习题：已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3,S9,S6成等差数列，求证a2,a8,a5成等差数列.

通过常规思路，学生会想到：

①当q=1时，Sn=na1(不符合题意，舍去)；

化简可得2q6=1+q3，两边同乘a1q，可得a2,a8,a5为等差数列.

教师将这道题进行变式：

变式1：已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3,S9,S6成等差数列，求证a1,a7,a4成等差数列.

变式2：已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3,S9,S6成等差数列，求证a3,a9,a6成等差数列.

教师提问：你发现了什么规律？你还能提出什么问题？

学生可以发现这道题的本质是S3,S9,S6成等差数列，即2q6=q3+1，在这个基础上，左右两边同乘，首项为a1，公比为q的等比数列，该结论是成立的.学生由此提出如下变式问题：

变式3：已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4,S10,S7成等差数列，求证a2,a8,a5成等差数列.

变式4：已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S5,S11,S8成等差数列，求证a2,a8,a5成等差数列.

通过以上两个改变问题条件的变式，可以再次发现a2,a8,a5成等差数列的本质是2q6=q3+1，在此基础上同乘某个相同的数，转换到下角标，也就是对于任意的Sn,am，只要n-m的值对应相等，该变式就是成立的.

教师提问：“能否继续推广呢？”

变式5：已知Sn是等比数列{an}的前n项和，Sk,Sm,Sn成等差数列，求证ak+1,am+1,an+1成等差数列.

通过以上五个变式，学生能在教师的带领下，自己提出问题，从而领悟问题的实质，这不仅培养了学生的问题意识，而且提高了学生问题提出的能力，还为学生提供了思考的方向，以变式教学或者一题多解为基础，给学生提供思考的方向，使学生在遇到相应的题目时，知道从哪些角度提出问题，进而打破固有思维，锻炼数学思维.

4.培养学生问题提出能力的“保障”：注重四基的教学，改进教学方法.

四基指的是基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.[7]学生数学问题的提出要建立在自己已有知识基础上，将新旧知识进行对比，找到自己思维的困惑点，从而提出相应的问题.因此，教师要打牢学生的基础知识，锻炼其相应的数学技能.在教学或者习题的练习中，教师要深入挖掘蕴含其中的数学思想及方法，带领学生经历数学知识的发展过程.试想：如果学生连等比数列的概念中的公比、通项公式an=a1qn-1都不能理解，又怎么能灵活地运用通项公式进行解题呢？只有基础扎实，学生在提出问题的时候才能有思路、想法，才敢于质疑，也才有提出问题的自信心.因此，教师在教学时，要不断改进教学方法，牢牢把握教学的重点，突破教学的难点，不可过多提供难题和怪题，并要注重教学方法多样化，根据不同的课型、不同的数学知识，采取不同的教学方法.另外，教师要根据学生的已有知识水平和最近发展区，对不同层次的学生提出不同的要求.[8]

5.培养学生问题提出能力的“温床”：营造良好的学习氛围，注重师生交流.

教学是教师教和学生学的过程，是双边互动的过程，教师不是权威者，而是学生学习的帮助者和引导者.胡典顺教授曾说：“现在教学往往是教师的独白，教师进行的是个人表演，课堂上听不到学生的声音[9].”如果师生连交流的机会都没有，那么学生又怎么能够提出数学问题呢？只有在师生平等的基础上，学生才能心平气和地和教师交流，阐述自身的观点，教师也不一竿子打死，要留给学生思考的余地.在“等比数列的概念”的教学中，学生可能会提出这样的问题：为什么要求后一项和每一项的比值为同一个常数？为什么要讨论q=1这种情况呢？面对课堂上无法解决的问题，教师不可认为是学生想太多或者异想天开，要让学生把注意力集中到数学解题上，如果教师多次否定学生的提问思路，那么学生还能勇敢地提出问题吗？因此，教师要在完成教学目标的同时，多肯定学生的提问，多鼓励学生提出问题，尽可能和学生一起解决问题.

三、教学建议

基于以上研究内容，为了能够更好地培养和提高学生的数学问题提出能力，从教师和学生的角度提出了以下建议，可供思考.

1.教师角度

1.1 要多鼓励学生，使学生敢问

在教学过程中，教师在传授知识的同时要避免一言堂，避免牵着学生的鼻子走，要留给学生足够的空间，营造民主、平等的氛围.并且，教师要多鼓励学生，拉近与学生之间的距离，使学生感到教师值得信赖，即使自己提出的问题很幼稚，很可笑，也不会受到教师的批评，可以放心大胆地提问.若学生的整个情绪处于放松状态，则会集中注意力听课，进而跟上教师的思维进度.

1.2 注重数学语言符号，帮助学生有效选择思考方向

数学往往以其抽象性和形式化闻名，有些学生在其他课堂上比如英语或者语文能够提问，可上数学课却变得十分安静，在和这部分学生交流的过程中，学生说的最多的话便是：我也想提问，但我不知道该怎么提问，有时候我连题目都读不懂.所以，教师在基础知识的教学中，要多分析数学语言和符号，注重抽象与具体的转化，多引导学生得出本节课所要学习的知识和其中蕴含的数学思想方法.对于学困生，教师要组织作业互帮小组，使其在互帮过程中，能够更好地融入其中，进而掌握知识.

1.3 要及时反馈，使学生获得自我效能感

教师对学生提出的每个有意义的问题，都要及时地进行反馈，不可打击学生的自信心.学生在提问的过程中，教师可通过语言、动作、表情传递给学生一种亲切的情感信息.从影响学生问题提出能力的因素中，自我效能感、学习兴趣、情绪等非智力因素与问题提出能力之间呈正相关，因此，在教师每次积极的反馈中，学生可以获得完成数学任务的信心，即使有的问题超过教师能够解答的范围，教师也不应该感到难堪，而要因势利导，创造条件，课后和学生一起对问题进行探究.

2.学生角度

2.1 要有钻研精神，有提问意识

数学的抽象性使得部分学生觉得数学枯燥乏味，没有学习兴趣，也就谈不上提出问题，但通过调查与研究，我们发现只要投入其中，认真思考每一个解答步骤，对不懂的、有疑问的环节进行提问，便能解决问题，进而充分获得成功的喜悦，这种喜悦感是任何东西都无法替代的.因此，在学习的过程中，如果遇到瓶颈，别担心，继续钻研下去，在独立思考的基础上，提出自己的问题.

2.2 能够独立思考，有良好的学习习惯

在学习的过程中，部分学生看起来很认真，也喜欢提问，但成绩依然不见起色.究其原因，有两点：第一，提的问题无意义，没有从数学知识或者思想方法入手，只是浮于表面.第二，没有进行独立思考，总想着依靠其他同学帮忙解决，导致在遇到同类型的问题时，依旧无法解决.因此，要对自身严格要求，先独立思考，再提出与数学知识或者方法有关的问题.

总之，学生数学问题提出能力的培养不是在一节课上就可以完成的，而是贯串整个教学过程.学生数学问题提出的能力不是单方面依赖于教师，而是依赖于本人，学生只有自己想学，自己有问题的意识，才能更多地提出问题.但是教师在学生数学问题提问的过程中起着关键性的作用，因此，教师要改变自身的教学观念，注重师生对话，树立良好的学生观和数学教育观，在数学学习过程中，学生有一定的模仿性，他们会模仿教师的提问技巧、提问方法等，因此，在教学过程中，教师要在创设适宜的问题情境的基础上，以自身为代表提出多样性的数学问题，注重变式教学和一题多解，牢牢把握四基教学，深入挖掘数学思想方法，不断提高自身知识底蕴和教学技能.